冪等矩陣證明
姓嫻19641869399咨詢： 冪等矩陣的跡等于冪等矩陣的秩的證明 -
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______[答案] 設(shè)n階冪等A特征值為t,對(duì)應(yīng)特征向量為x,秩R(A)=r Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0 若r=n A有n個(gè)不為零的特征值 t=1 矩陣的跡=所有特征值之和=n*1=n=r 若r
姓嫻19641869399咨詢： 若A是冪零矩陣,如何證明其特征值為0?若A為冪等矩陣,如何證明其特征值只能為0或1? -
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______[答案] 有一個(gè)結(jié)論: 設(shè)P(x)為一個(gè)多項(xiàng)式 A的特征值為a1,a2,...,an 那么P(A)的特征值為P(a1),P(a2),...P(an) 那么A^n=0,而0矩陣的特征值均為0 則特征值a^n=0即a=0 對(duì)于A^2=A,即A^2-A=0 那么a^2-a=0 所以特征值a=1或0
姓嫻19641869399咨詢： 試證:如果A是冪等矩陣,即A^2=A,則秩(A)+秩(A - E)=n -
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______ 你好,我簡(jiǎn)單證明了一下.思路:證明n <= r(A) + r(A-E) <= n即可.證明:由于A^2 = A = AE, 所以 A(A-E) = 0 故r(A(A-E)) = r(0) = 0 由矩陣秩的性質(zhì):r(A)+r(A-E) -n<= r(A(A-E)) = 0 ,故 r(A) + r(A-E) <= n (1) r(A) = r(-A), r(A) + r(A-E) = r(-A) + r(A-E)>= r((-A) + (A-E))= r(-E) = n,故r(A) + r(A-E) >=n (2) 由(1),(2)得 r(A) + r(A-E) = n 畢業(yè)好多年了,又回味了一下,希望對(duì)你有幫助~~
姓嫻19641869399咨詢： 如何證明冪等矩陣的跡等于它的秩 -
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______ 先證其特征值只能為0和1 設(shè)k是他的特征值,a為其對(duì)應(yīng)的特征向量 A^2a=Aka=k^2a 因?yàn)锳^2=A,故A^2a=Aa=ka (k^2-k)a=0,因?yàn)閍為非零向量故k=0或1 再證,矩陣的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù). 因?yàn)锳(A-E)=0 故n=r(A-(A-E))<=r(A)+r(A-E)<=n 故(A-E)x=0的解空間維數(shù)恰為r(A),那么1的重?cái)?shù)>=r(A) 類似的Ax=0的解空間維數(shù)恰為r(A-E),那么0的重?cái)?shù)>=r(A-E) 但1的重?cái)?shù)加0的重?cái)?shù)不大于n,夾逼得1的重?cái)?shù)=r(A) 命題成立.
姓嫻19641869399咨詢： 冪等矩陣可對(duì)角化的證明 -
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______[答案] A^2=A 則 A 的特征值只能是0或1 再由 A(A-E)=0 得 r(A)+r(A-E)=n 即知A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 故 A 可對(duì)角化
姓嫻19641869399咨詢： 證明冪等矩陣可對(duì)角化為什么由A(A - I)=0就可以得到rank(A)+rank(a - I)=n 為什么就又能知道A的維數(shù)是n? -
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______[答案] 對(duì)diag{A,A-I}做塊初等變換可以化到diag{0,I},所以rank(A)+rank(A-I)=rank(I)=n 然后A的特征值只能是0,1,幾何重?cái)?shù)看相應(yīng)的rank
姓嫻19641869399咨詢： 若A的平方=A,則稱A為冪等矩陣,試證若A,B皆為冪等矩陣,則A+B為冪等陣的充要條件是AB=BA=0我只知道證明 AB+BA=0 …… -
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______[答案] AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0 綜合兩式有AB=0 同理BA=0
姓嫻19641869399咨詢： 設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階方陣,且A^2=A(A為冪等矩陣)證明(1)I+A可逆,并求I+A的逆 (2)秩(A)+秩(I+A)=n (3)A一定可對(duì)角化 -
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______[答案] 證明:(1) 因?yàn)?A^2=A 所以 (A+I)A-2(A+I)=-2I 所以 (A+I)(A-2I)=-2I 所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 = (-1/2)(A-2I). (2) 是要證 r(A)+r(I-A)=n 吧!(否則不成立) 因?yàn)?A^2=A 所以 A(A-I)=0 所以 r(A)+r(A-I)
姓嫻19641869399咨詢： 關(guān)于 線性代數(shù) 方陣 秩 的證明.1.A為n階方陣,且A2 = A (這類矩陣稱為冪等矩陣),求證r ( A ) + r ( A - E ) = n2.A為n階方陣,且且A2 = E (這類矩陣稱為... -
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______[答案] 用初等變換把 A 0 0 A-E 變換到 0 0 0 E 即可 第二題也類似 這點(diǎn)提示應(yīng)該足夠了
姓嫻19641869399咨詢： 若A^2=A,則A稱為冪等矩陣,若A^2=E,則A稱為對(duì)合矩陣,設(shè)A=1/2(B+E),證明A是冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B是對(duì)合矩陣 -
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______[答案] 證明:A^2 = A (1/4)(B+E)^2 = (1/2)(B+E) B^2+2B+E = 2B+2E B^2 = E
