正規(guī)(guī)矩陣對(duì)角化的證明
線例17159093823咨詢： 為什么實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化 -
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______ 這涉及到一系列的定理,不是在這里可以詳細(xì)解答的,告訴你這些定理,并注明在同濟(jì)《線性代數(shù)》第三版中的位置,你可以詳細(xì)閱讀,其它版本的《線性代數(shù)》可以到相應(yīng)地方去找. 定理1:n階矩陣A能與對(duì)角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性...
線例17159093823咨詢： 證明只有一個(gè)特征值的正規(guī)變換一定是純量變換 -
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______ 復(fù)域上的正規(guī)變換都可以對(duì)角化,對(duì)角化后的對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素是惟一的特征值,所以是純量矩陣.自然該變換是純量變換
線例17159093823咨詢： 如何證明A是正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A有n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.A是n階復(fù)矩陣 -
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______ A有n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量也就是A可以酉對(duì)角化的意思 利用定義容易驗(yàn)證可酉對(duì)角化的矩陣是正規(guī)陣 對(duì)于必要性,先驗(yàn)證一個(gè)結(jié)論: 如果正規(guī)陣A分塊成 A11 A12 A21 A22 那么||A12||_F=||A21||_F,其中||X||_F^2 = tr(X^*X) = sum |X(i,j)|^2 把正規(guī)陣A酉上三角化:Q^*AQ=T,那么T也是正規(guī)陣,然后用上面的結(jié)論得到T是對(duì)角陣
線例17159093823咨詢： 線性代數(shù)什么樣的矩陣可對(duì)角化,必須滿足什么條件?如何實(shí)現(xiàn)矩陣的對(duì)角化?謝謝了 -
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______ 對(duì)于n階矩陣A,其可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,具體點(diǎn)說(shuō),就是A要有n個(gè)互異特征值,或者有n-m個(gè)互異特征值和m重特征值且這m個(gè)特征值有m個(gè)特征向量.另一種判別方法:實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.
線例17159093823咨詢： 如何證明投影矩陣必可對(duì)角化? -
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______ 設(shè)P^-1*A*P=J P^-1*A^2*P=P^-1*A*P*P^-1*A*P=J^2 J是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 要使J^2=J,則J一定是對(duì)角陣
線例17159093823咨詢： 一般的對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化嗎? -
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______ 實(shí)對(duì)稱陣的特征值都是實(shí)數(shù),所以n階陣在實(shí)數(shù)域中就有n個(gè)特征值(包括重?cái)?shù)),并且實(shí)對(duì)稱陣的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)和屬于它的無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是一樣的,從而n階矩陣共有n個(gè)無(wú)關(guān)特征向量,所以可對(duì)角化.判斷方陣是否可相似對(duì)角化...
線例17159093823咨詢： 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,若A*A=O,證明:A=O -
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______ 一樓是利用實(shí)對(duì)稱矩陣是正規(guī)矩陣,所以可以對(duì)角化.不過(guò)這個(gè)是相似標(biāo)準(zhǔn)型的內(nèi)容,開(kāi)學(xué)到現(xiàn)在可能還沒(méi)學(xué)到這部分內(nèi)容吧.其實(shí)沒(méi)那么麻煩.你看看A*A的對(duì)角線是什么.由于對(duì)稱性,第一個(gè)對(duì)角線元素就是a11^2+a12^2+...a1n^2=0 推出第一行元素都是0 第二個(gè)對(duì)角線元素是 a21^2+a22^2+...a2n^2=0 類似...所以,對(duì)角線元素就是A的對(duì)應(yīng)行的元素的平方和.那么就知道A的所有元素都是0了.這個(gè)有個(gè)一般性的結(jié)論,就是tr(AA')=a11^2+a12^2+...ann^2 A的所有元素的平方和 tr表示跡,就是矩陣的對(duì)角線的元素和,A'是A的轉(zhuǎn)置.上題中由于A實(shí)對(duì)稱,所以A'就是A.
線例17159093823咨詢： 為什麼實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化?或者證明一下實(shí)對(duì)稱矩陣的n個(gè)特徵值一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量? -
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______ 對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣Q,設(shè)以它的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為列構(gòu)成的矩陣為U(U是n行k列) 下證明,如果k<n,總可以找到一個(gè)新的特征向量,這樣可以不斷添加直到找到Q的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量 將U補(bǔ)全為一個(gè)n階正交方陣P=[U V],則V是n行n-...
線例17159093823咨詢： 此矩陣與對(duì)角矩陣相似證明過(guò)程 -
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______ 就是證明可以對(duì)角化,充要條件是有4個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 特征值有兩個(gè)
線例17159093823咨詢： 證明只有一個(gè)特征值的正規(guī)變換一定是純量變換 -
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______[答案] 復(fù)域上的正規(guī)變換都可以對(duì)角化,對(duì)角化后的對(duì)角矩陣主對(duì)角線上元素是惟一的特征值,所以是純量矩陣.自然該變換是純量變換
