矩陣特征值的通俗意義
施福15818779626咨詢： 矩陣的特征值和特征向量到底有什么意義 -
渠縣動件回復(fù)：
______ 特征值和特征向量,是矩陣的一個很重要的屬性,是表征和研究線性變換不變量的重要指標(biāo).
施福15818779626咨詢： 什么叫矩陣的特征值 -
渠縣動件回復(fù)：
______ 如果存在非零向量α,使得Aα=λα,則λ就為A的特征值.特征值一般是利用特征多項式λE-A的行列式進行求解.零向量的特征值即為0
施福15818779626咨詢： 求矩陣的特征值有什么用?對矩陣的運算
渠縣動件回復(fù)：
______ 很多用處,你以后寫論文時或者做課題研究時或許用到矩陣的相關(guān)知識,比如模糊矩陣,求特征根有助于你利用層次分析法進行綜合評價,或者排序.
施福15818779626咨詢： 什么是特征向量?特征值? -
渠縣動件回復(fù)：
______ 設(shè)置方程: 將A分別作用在u和v上,也就是計算Au和Av: 畫個圖就是: Av=2v,A對v的作用,僅僅是將v延長了,這個系數(shù)2就叫特征值;而被矩陣A延長的向量(2,1),就是特征向量.下面給出數(shù)學(xué)定義.A為nxn矩陣,x為非零向量.若...
施福15818779626咨詢： 線性代數(shù)里的那個特征值到底有什么用處? -
渠縣動件回復(fù)：
______ 我們知道對角矩陣是最簡單的矩陣,它的一些性質(zhì)我們很容易知道,而求一個矩陣的特征值就是想把他轉(zhuǎn)換成對角矩陣,所以我們研究的是什么樣的矩陣可以轉(zhuǎn)換為對角矩陣,對角矩陣與原來的矩陣有什么關(guān)系等.比如求一個方陣的高次冪,二次型標(biāo)準(zhǔn)化等都要用到特征值
施福15818779626咨詢： 矩陣的特征值可以理解為經(jīng)過線性變換后拉伸向量的倍數(shù),當(dāng)特征值為0時,怎么解釋這個幾何意義? -
渠縣動件回復(fù)：
______ 怎么沒有拉伸含義...如果把矩陣看作是線性映射的話,那么特征向量在這個映射下,方向不變,長度被拉長或縮短,這個是對的!如果特征值為0,就說明這個方向上的向量在影射后被映射到0,也就是說這個向量位于映射的零空間里. 幾何上可以理解為投影,比如二維向量向x軸投影,這個是個線性映射,矩陣可以表示為[1, 0; 0, 0],有兩個特征向量,一個是x單位向量,特征值是1,另一個特征值是0,也就是沒了.. 所以特征值是0就代表映射之后,這個方向分量沒了,也就是說0特征值對應(yīng)“向其他不為零的特征向量上做投影”這樣一個幾何意義,不知道這么說你能不能理解.
施福15818779626咨詢： 矩陣的特征向量和特征值是怎么回事?
渠縣動件回復(fù)：
______ 從直觀上講:把矩陣其實看作一個線性變換的話,特征向量就是經(jīng)過這個線性變換后你得到的向量與原來的向量共線的那些向量所組成的幾何.而特征向量對應(yīng)的特征值就是代表把特征向量經(jīng)過伸長改變的倍數(shù).
施福15818779626咨詢： 特征值的定義 -
渠縣動件回復(fù)：
______ 設(shè)A為n階矩陣,若存在常數(shù)λ及n維非零向量x,使得Ax=λx,則稱λ是矩陣A的特征值,x是A屬于特征值λ的特征向量. A的所有特征值的全體,叫做A的譜,記為. 如將特征值的取值擴展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域,則一個廣義特征值有如下形式:Aν=λBν 其中A...
施福15818779626咨詢： 矩陣的特征值 -
渠縣動件回復(fù)：
______ 可以先看2階的情況.這時矩陣都是平面上的幾何變換,于是“x是特征向量”就等價于說,A所對應(yīng)的幾何變換在向量x的方向上是拉伸(如果特征值是負(fù)的,那么“拉伸”理解為向相反的方向作的變換).具體例子: A=[0, 2; 2, 0] 它有特征值2,相應(yīng)的特征向量有[a,a].那么A對應(yīng)的變換是將點的兩個坐標(biāo)互換,而容易發(fā)現(xiàn),[a, a]→[2a, 2a],即,在這個方向上的點都被拉伸了2倍. 一般n階也是一樣,就是刻畫矩陣作為n維空間中幾何變換的性質(zhì).比如說n階對角陣,其作用就是在各個坐標(biāo)軸方向的(不同同比例)拉伸變換.所以對角化的過程也就是找出n維空間中的一組標(biāo)架,使得矩陣A在這組標(biāo)架給出的坐標(biāo)下的變換,就是沿各坐標(biāo)軸拉伸.
施福15818779626咨詢： 什么叫 矩陣的特征向量 和特征值? -
渠縣動件回復(fù)：
______ 只說定義吧 [意義,太重要.用途,太多.幾句話說不清,不說了!] n階方陣A,行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣,λ是變量.這是λ的n次多項式,首 項系數(shù)是1] 叫做A的特征多項式,[f(λ)=|λE-A|].f(λ)=0的根(n 個),都叫A的特征值. 如果λ0是A的一個特征值,|λ0E-A|=0,(λ0E-A)為降秩矩陣,線性方程組 (λ0E-A)X=0 [X=(x1,x2,……xn)′是未知的n維列向量] 必有非零解, 每個非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個特征向量. [特征方法是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一,也是其他很多數(shù)學(xué)分支的重要內(nèi)容,可 要認(rèn)真對待了!]
