證明:如果群G的階為偶數(shù),則G必有2階元 問: 假設(shè)群G是一個階為偶數(shù)的群,證明在G中階為2的元數(shù)的個...
定理中令p=2，k=1，則G有一個2階子群，所以G中一定有2階元。
也可以說:群中的每一個元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。因為任一階大于2 的元素和它的逆元的階相等。且當(dāng)一個元素的階大于2 時，其逆元和它本身不相等。故階大于2 的元素是成對的。從而階為1的元素與階大于2 的元素個數(shù)之和是奇數(shù)。
因為該群的階是偶數(shù)，從而它一定有階為2 的元素。
抽象代數(shù)題 證明:如果群G的階為偶數(shù),則G必有2階元
根據(jù)Sylow第一定理：G是有限群,p是素數(shù),如果p^k||G|,k>=0,那么G中一定有一個階為p^k的子群.定理中令p=2,k=1,則G有一個2階子群,所以G中一定有2階元.也可以說:群中的每一個元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素.因為任一階大于2 的元素和它的逆元的階相等.且當(dāng)一個...
為何群G中一定有階為2的元素?
因為a的1次到m＋1次這m＋1個元素都是G中的元素，而G中只有m個不相同的元素。證明：群中的每一個元素的階均不為且單位元是其中惟一的階為1的元素。因為任一階大于2的元素和它的逆元的階相等。且當(dāng)一個元素的階大于2時，其逆元和它本身不相等。故階大于2的元素是成對的。從而階為1的元素...
證明任意偶數(shù)階群必含有階為2的子群。
設(shè)是群G中異于單位元的元素，且>2，則,? 即階大于2的元素成對出現(xiàn)。因此階等于1和等于2的元素構(gòu)成的集合有偶數(shù)個元素。 所以任意偶數(shù)階群必含有階為2的元素。從而任意偶數(shù)階群必含有階為2的子群。
問: 假設(shè)群G是一個階為偶數(shù)的群,證明在G中階為2的元數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)...
證明：設(shè)a的階為k＞2，則a的逆元的階也是k，且a≠a逆。若a=a逆，則a^2=e，與a的階k＞2矛盾。所以階大于2的元素一定是成對出現(xiàn)，有偶數(shù)個。階為1的元素只有一個，是單位元e。G的元素個數(shù)是偶數(shù)，所以階為2的元素一定有奇數(shù)個。關(guān)于偶數(shù)和奇數(shù)，有下面的性質(zhì)：（1）兩個連續(xù)整數(shù)中必是...
怎么證明:任意偶數(shù)階群必含有階為2的元素
群階為偶數(shù)（設(shè)為2n）,則群中必有一元素a，a的2n階為e, a 的1階，2階，一直到2n階必在群中，a的n階即為階為2的元素。
假設(shè)群G是一個階為偶數(shù)的群,證明在G中階為2的元數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)
一個元素和它的逆元同階，所以階大于2的元素的逆元是不同于自身的其他元素，由于逆元是唯一的，所以階大于2的元素和其逆元可一一配對，因此個數(shù)是偶數(shù)個。而1的階是1，所以階為2的元素個數(shù)為|G|(偶數(shù)）-偶數(shù)-1=奇數(shù)。
假定G是一個階是偶數(shù)的有限群。在G里階等于2的元的個數(shù)一定是奇數(shù).
【答案】：由習(xí)題2知，G里階大于2的元的個數(shù)是偶數(shù)。但G只有一個階是1的元，就是單位元e.于是由于G的階是偶數(shù)，得G里階等于2的元的個數(shù)是奇數(shù).
試證明階為偶數(shù)的循環(huán)群中周期(階)為2的元素個數(shù)一定是奇數(shù).
【答案】：證明 設(shè)(G，*)是具有階為n的循環(huán)群，即|G|=n(n是偶數(shù))，任取a∈G，am=e(m＞2)a的階為m，a的逆元素a-1∈G，故(a-1)m=(am)-1=e-1=e．由群的性質(zhì)，知a-1的階也是m，則必定有a≠a-1．反證法，若a=a-1，則a2=e，所以“的階不大于2，這與m＞2矛盾，所以有a...
設(shè)R是一個無零因子環(huán),證明:若|R|為偶數(shù),則R的特征必為2
證設(shè)R是一個含偶數(shù)個元素的環(huán)，R+是R的加群，又因在一個有限群里，階大于2的元素一定是偶數(shù)，R+必有2階元.又R+為可換群，故2整除R+中最大階元的階，即2 ｜charR 另一方面，由于R是有限的無零因子環(huán)，因此charR一定是素數(shù)，而由2 ｜ charR知，charR =2 ...
【證明】在偶數(shù)階群G中,方程g^2=1總有偶數(shù)個解。
證明如下：當(dāng)g的階大于2時，g^-1也不是二階元，因此階大于2的元素總是成對出現(xiàn)，從而有偶數(shù)個。但是G的階是偶數(shù)，所以階小于等于2的元素也有偶數(shù)個，這些元素恰是方程g^2=1的解。
相關(guān)評說：
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新和縣凸輪： ______ 除了二階元和單位元,每個元素都有與自身不相同的逆元,且逆元與自身同階.
新和縣凸輪： ______ 設(shè)(G,.)是有限群,對于任意x屬于G ,若x絕對值大于2 ,則x不等于x^(-1) .由于(x^-1)^-1=x,x 和x^-1 在群G中是成對出現(xiàn)的,因此這樣的元素有偶數(shù)個.
新和縣凸輪： ______ 由于60=2^2x15,其中2為素數(shù),且(2,15)=1 所以由Sylow第一定理可知G必然存在2、2^2階子群 同理,60=3x20=5x12,其中3、5為素數(shù)且(3,20)=(5,12)=1,所以G必有3階、5階子群 PS:第一Sylow定理:設(shè)|G|=p^r?m,其中r >=1,p是素數(shù),且(p,m)=1,則G含有階為p、p^2、…、p^r階子群,并且G中每個階為p^i的子群是某個階為p^(i+1)的子群的正規(guī)子群
新和縣凸輪： ______[答案] 設(shè)元素a的階為2,則a^2=e,所以a=a^(-1),即a與a的逆元相等.反過來,如果a=a^(-1),則a^2=e.所以a^2=e當(dāng)且僅當(dāng)a=a^(-1) 所以,G中階大于2的元素a,必有a≠a^(-1).又a與a^(-1)的階相等,所以G中階大于2的元素一定成對出現(xiàn),其個數(shù)必是偶數(shù)
新和縣凸輪： ______[答案] (1) 任取G的一個不為單位元的元素a,考查由a生成的子群. 這是一個循環(huán)群,且為G的子群. 由Lagrange定理,這個群的階數(shù)整除P,而顯然不是平凡群(因為a不是單位元),而P為素數(shù),故的階數(shù)只能為P. 那么其實就是整個群G.從而G為循環(huán)群. (...
新和縣凸輪： ______[答案] 對G中的任意元素a,假設(shè)a不是有限階的,則對任意正整數(shù)n有a^n≠e,e是G的單位元. 由群的性質(zhì)知:a,a^2,a^3.a^n.都是G的元素,這與G有限是矛盾的,所以每個元素都有有限階. G的階數(shù)|G|指G中元素的個數(shù),設(shè)a的階為d,則a,a^2,a^3.a^d構(gòu)成G的...
