數(shù)學(xué)知識的起源 數(shù)學(xué)的起源
數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。”
自古以來，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系（恩格斯）”的認(rèn)識（恩格斯），又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識。數(shù)學(xué)既可以來自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動(dòng)創(chuàng)造。
從人類社會(huì)的發(fā)展史看，人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識在不斷變化和深化。“數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來源于普通常識中的非負(fù)整數(shù)，而且直到19世紀(jì)中葉，對于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識，”另一個(gè)例子是幾何中的相似性，“在個(gè)體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀(jì)以前，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，從19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)的觀點(diǎn)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，這種觀點(diǎn)在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點(diǎn)相對應(yīng)，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問，數(shù)學(xué)家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學(xué)與善》中說，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究，”數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)。”1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的觀點(diǎn)，著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認(rèn)為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)兩種特性。
對于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應(yīng)當(dāng)以歷史的眼光來分析，實(shí)際上，對數(shù)本質(zhì)特征的認(rèn)識是隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計(jì)算時(shí)間、丈量土地和容積等實(shí)踐，因而這時(shí)的數(shù)學(xué)對象（作為抽象思維的產(chǎn)物）與客觀實(shí)在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，這樣，人們自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離越來越遠(yuǎn)，而且數(shù)學(xué)證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問，等等觀點(diǎn)。這些認(rèn)識，既反映了人們對數(shù)學(xué)理解的深化，也是人們從不同側(cè)面對數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)識的結(jié)果。正如有人所說的，“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)是不矛盾的，前者反映了數(shù)學(xué)的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈。”而關(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問的說法，則是從數(shù)學(xué)的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是基于人類對數(shù)學(xué)推理的必然性、準(zhǔn)確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認(rèn)為，發(fā)展數(shù)學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結(jié)論也一定是真的，通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
事實(shí)上，上述對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識是從數(shù)學(xué)的來源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的，并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結(jié)果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學(xué)的全貌，組成數(shù)學(xué)整體的另一個(gè)非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過程，而且從總體上來說，數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，是一個(gè)“思維的實(shí)驗(yàn)過程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個(gè)過程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過程中，數(shù)學(xué)對象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”弗賴登塔爾說，“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動(dòng)，這種觀點(diǎn)“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。”他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)（活動(dòng)）內(nèi)容經(jīng)過自己的組織（活動(dòng)）而形成的；但對大多數(shù)人來說，他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具，他們不能沒有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué)，這就是，對于大眾來說，是要通過數(shù)學(xué)的形式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從而學(xué)會(huì)相應(yīng)的（應(yīng)用數(shù)學(xué)的）活動(dòng)。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動(dòng)”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹l理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識實(shí)體，這一事實(shí)并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個(gè)創(chuàng)造性過程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)是由人類發(fā)明的，”數(shù)學(xué)活動(dòng)由形式的、算法的與直覺的等三個(gè)基本成分之間的相互作用構(gòu)成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數(shù)學(xué)是人類意志的表達(dá)，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構(gòu)造、一般性與個(gè)別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價(jià)值。”
另外，對數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是一種文化體系”，“數(shù)學(xué)是一種語言”，數(shù)學(xué)活動(dòng)是社會(huì)性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進(jìn)程中，人類認(rèn)識自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會(huì)的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對人類的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響．也有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，“和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動(dòng)，具有和藝術(shù)家的，例如畫家的活動(dòng)相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數(shù)學(xué)是推理的音樂，”而“音樂是形象的數(shù)學(xué)”．這是從數(shù)學(xué)研究的過程和數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的品質(zhì)來論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會(huì)中的數(shù)學(xué)》一文中認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，“在認(rèn)識論的意義上它是一門科學(xué)，目標(biāo)是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對象、現(xiàn)象、關(guān)系和機(jī)制等。如果這個(gè)領(lǐng)域是由我們通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)實(shí)體所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數(shù)學(xué)以內(nèi)在的自我發(fā)展和自我理解為目標(biāo)，獨(dú)立于外部世界，另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外，數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用，數(shù)學(xué)的這兩個(gè)側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問題，而是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無論是純粹的還是應(yīng)用的，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個(gè)工具、產(chǎn)品以及過程構(gòu)成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動(dòng)，數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動(dòng)的體驗(yàn)，作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會(huì)同時(shí)而自動(dòng)地進(jìn)行，需要靠人來傳授，所以，數(shù)學(xué)也是我們社會(huì)的教育體系中的一個(gè)教學(xué)科目．”
從上所述可以看出，人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部（又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個(gè)角度）。數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個(gè)方面來討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為我們?nèi)嬲J(rèn)識數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個(gè)視角。
基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認(rèn)識，人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點(diǎn)。比較普遍的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數(shù)學(xué)只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛性”王梓坤說，“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確必”這種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)方面。另外，從數(shù)學(xué)研究的過程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來看，數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”的特點(diǎn)。對數(shù)學(xué)特點(diǎn)的認(rèn)識也是有時(shí)代特征的，例如，關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在各個(gè)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展時(shí)期有不同的標(biāo)準(zhǔn)，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)性的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來的，具有相對性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性，波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！闭菑倪@個(gè)角度，我們說數(shù)學(xué)的確定性是相對的，有條件的，對數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”特點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，實(shí)際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實(shí)驗(yàn)、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。
人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。
對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行。也就是說，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行。
人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。
數(shù)論的發(fā)展簡況
自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。
自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個(gè)最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。
到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。
在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。
數(shù)論的基本內(nèi)容
數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的是解析數(shù)論中的篩法。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義。
由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問題、完全數(shù)問題……
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。
特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。
人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。
對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行。也就是說，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行。
人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。
數(shù)論的發(fā)展簡況
自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。
自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個(gè)最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。
到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。
在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。
數(shù)論的基本內(nèi)容
數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義。
由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問題、完全數(shù)問題……
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。
特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。
其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科
算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理
數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展
數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣，是在一定的社會(huì)條件下，通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累．其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)．這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證．
古代非洲的尼羅河、西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河、中南亞的印度河和恒河以及東亞的黃河和長江，是數(shù)學(xué)的發(fā)源地．這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面積、計(jì)算倉庫的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交換等等長期實(shí)踐活動(dòng)中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識．
數(shù)學(xué)更重要
李殘15194753462： 關(guān)于數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和起源,并作一簡要的介紹與闡述 -
江油市全跳： ______[答案] 數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代...
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)知識 - 搜狗百科
江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展: 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代非洲的尼羅河、西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河、中南亞的印度河和恒河以及東亞的黃河和長江,是數(shù)學(xué)的發(fā)源地.這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要,從控制洪水和灌溉,測量田地的面積、計(jì)算倉庫的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交換等等長期實(shí)踐活動(dòng)中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)的由來是什么呢?義為是怎樣來的?最好有真憑實(shí)據(jù)! -
江油市全跳： ______[答案] “數(shù)學(xué)”的由來 古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱,概念和自我思考,他們很早就開始猜測數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的.雖然他們的猜測僅是匆匆記下,但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域.古希臘人隨意記下的東西在19世紀(jì)變成了大堆文章,而在20世紀(jì)卻變成...
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展快啊啊啊啊啊 -
江油市全跳： ______[答案] 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代非洲的尼羅河、西亞的...
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江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué)的起源:數(shù)學(xué)是一門最古老的學(xué)科,它的起源可以上溯到一萬多年以前.但是,公元1000年以前的資料留存下來的極少.迄今所知,只有在古代埃及和巴比倫發(fā)現(xiàn)了比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn). 遠(yuǎn)在1 萬5千年前人類就已經(jīng)能相當(dāng)逼真地描繪出人...
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)的歷史來源 -
江油市全跳： ______ 世界數(shù)學(xué)發(fā)展史 奇普,印加帝國時(shí)所使用的計(jì)數(shù)工具.數(shù)學(xué),起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng),為中國古代六藝之一,亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn).數(shù)學(xué)的希臘語μαθηματικ(mathematikós)意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”,源于μθημα(máthema)(“科學(xué),...
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)方面的知識 -
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李殘15194753462： 數(shù)學(xué)的由來 -
江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué),起源于人類早期生產(chǎn)活動(dòng),為中國古代六藝之一,亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn).其演進(jìn)可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展,或是題材的延展.第一個(gè)被抽象化的概念大概是數(shù)字,其對兩個(gè)蘋果及兩個(gè)橘子之間有...
李殘15194753462： 數(shù)學(xué)的來源? -
江油市全跳： ______ 已解決問題 收藏 轉(zhuǎn)載到QQ空間 數(shù)學(xué)的歷史來源 [ 標(biāo)簽:數(shù)學(xué),歷史 來源,歷史 ] 是誰發(fā)明了數(shù)學(xué),是如何發(fā)明的 ぷ爲(wèi)你變乖 回答:3 人氣:3 解決時(shí)間:2009-07-16 13:05 檢舉 世界數(shù)學(xué)發(fā)展史 奇普,印加帝國時(shí)所使用的計(jì)數(shù)工具.數(shù)學(xué),...
數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位。”
自古以來，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系（恩格斯）”的認(rèn)識（恩格斯），又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識。數(shù)學(xué)既可以來自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動(dòng)創(chuàng)造。
從人類社會(huì)的發(fā)展史看，人們對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識在不斷變化和深化。“數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來源于普通常識中的非負(fù)整數(shù)，而且直到19世紀(jì)中葉，對于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識，”另一個(gè)例子是幾何中的相似性，“在個(gè)體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀(jì)以前，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，從19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)的觀點(diǎn)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，這種觀點(diǎn)在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點(diǎn)相對應(yīng)，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問，數(shù)學(xué)家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學(xué)與善》中說，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究，”數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)。”1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的觀點(diǎn)，著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認(rèn)為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)兩種特性。
對于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應(yīng)當(dāng)以歷史的眼光來分析，實(shí)際上，對數(shù)本質(zhì)特征的認(rèn)識是隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計(jì)算時(shí)間、丈量土地和容積等實(shí)踐，因而這時(shí)的數(shù)學(xué)對象（作為抽象思維的產(chǎn)物）與客觀實(shí)在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，這樣，人們自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離越來越遠(yuǎn)，而且數(shù)學(xué)證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問，等等觀點(diǎn)。這些認(rèn)識，既反映了人們對數(shù)學(xué)理解的深化，也是人們從不同側(cè)面對數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)識的結(jié)果。正如有人所說的，“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)是不矛盾的，前者反映了數(shù)學(xué)的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈。”而關(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問的說法，則是從數(shù)學(xué)的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是基于人類對數(shù)學(xué)推理的必然性、準(zhǔn)確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認(rèn)為，發(fā)展數(shù)學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結(jié)論也一定是真的，通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
事實(shí)上，上述對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識是從數(shù)學(xué)的來源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的，并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結(jié)果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學(xué)的全貌，組成數(shù)學(xué)整體的另一個(gè)非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過程，而且從總體上來說，數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，是一個(gè)“思維的實(shí)驗(yàn)過程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個(gè)過程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過程中，數(shù)學(xué)對象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學(xué)看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”弗賴登塔爾說，“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動(dòng)，這種觀點(diǎn)“是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。”他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)（活動(dòng)）內(nèi)容經(jīng)過自己的組織（活動(dòng)）而形成的；但對大多數(shù)人來說，他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具，他們不能沒有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué)，這就是，對于大眾來說，是要通過數(shù)學(xué)的形式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從而學(xué)會(huì)相應(yīng)的（應(yīng)用數(shù)學(xué)的）活動(dòng)。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動(dòng)”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹l理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識實(shí)體，這一事實(shí)并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個(gè)創(chuàng)造性過程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)是由人類發(fā)明的，”數(shù)學(xué)活動(dòng)由形式的、算法的與直覺的等三個(gè)基本成分之間的相互作用構(gòu)成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數(shù)學(xué)是人類意志的表達(dá)，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構(gòu)造、一般性與個(gè)別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價(jià)值。”
另外，對數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是一種文化體系”，“數(shù)學(xué)是一種語言”，數(shù)學(xué)活動(dòng)是社會(huì)性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進(jìn)程中，人類認(rèn)識自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會(huì)的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對人類的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響．也有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，“和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動(dòng)，具有和藝術(shù)家的，例如畫家的活動(dòng)相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家的嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數(shù)學(xué)是推理的音樂，”而“音樂是形象的數(shù)學(xué)”．這是從數(shù)學(xué)研究的過程和數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的品質(zhì)來論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會(huì)中的數(shù)學(xué)》一文中認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門學(xué)科，“在認(rèn)識論的意義上它是一門科學(xué)，目標(biāo)是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對象、現(xiàn)象、關(guān)系和機(jī)制等。如果這個(gè)領(lǐng)域是由我們通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)實(shí)體所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數(shù)學(xué)以內(nèi)在的自我發(fā)展和自我理解為目標(biāo)，獨(dú)立于外部世界，另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外，數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用，數(shù)學(xué)的這兩個(gè)側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問題，而是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無論是純粹的還是應(yīng)用的，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個(gè)工具、產(chǎn)品以及過程構(gòu)成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動(dòng)，數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動(dòng)的體驗(yàn)，作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會(huì)同時(shí)而自動(dòng)地進(jìn)行，需要靠人來傳授，所以，數(shù)學(xué)也是我們社會(huì)的教育體系中的一個(gè)教學(xué)科目．”
從上所述可以看出，人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部（又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個(gè)角度）。數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個(gè)方面來討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為我們?nèi)嬲J(rèn)識數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個(gè)視角。
基于對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認(rèn)識，人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點(diǎn)。比較普遍的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數(shù)學(xué)只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛性”王梓坤說，“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確必”這種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)方面。另外，從數(shù)學(xué)研究的過程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來看，數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”的特點(diǎn)。對數(shù)學(xué)特點(diǎn)的認(rèn)識也是有時(shí)代特征的，例如，關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在各個(gè)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展時(shí)期有不同的標(biāo)準(zhǔn)，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)性的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來的，具有相對性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性，波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，“數(shù)學(xué)被人看作是一門論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩！闭菑倪@個(gè)角度，我們說數(shù)學(xué)的確定性是相對的，有條件的，對數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性。“可證偽性”特點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，實(shí)際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實(shí)驗(yàn)、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。
人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。
對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行。也就是說，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行。
人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。
數(shù)論的發(fā)展簡況
自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。
自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個(gè)最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。
到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。
在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。
數(shù)論的基本內(nèi)容
數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中使用的是解析數(shù)論中的篩法。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義。
由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問題、完全數(shù)問題……
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。
特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。
人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開始就一直和自然數(shù)打交道了，后來由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來叫做整數(shù)。
對于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無阻礙地進(jìn)行。也就是說，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無阻礙地進(jìn)行。
人們在對整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。
數(shù)論這門學(xué)科最初是從研究整數(shù)開始的，所以叫做整數(shù)論。后來整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說，數(shù)論就是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。
數(shù)論的發(fā)展簡況
自古以來，數(shù)學(xué)家對于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說還沒有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。
自我國古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問題等等。在國外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對于數(shù)論中一個(gè)最基本的問題——整除性問題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來應(yīng)用了。后來的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對整數(shù)性質(zhì)的研究做出過重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。
在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。
到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國科學(xué)院，但是法國科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書開始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。
在《算術(shù)探討》中，高斯把過去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。
數(shù)論的基本內(nèi)容
數(shù)論形成了一門獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。
初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國古代有名的“中國剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。
解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題是由歐拉奠基的，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對它的發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問題的強(qiáng)有力的工具。比如，對于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級數(shù)的若干知識。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想”問題中也使用的是解析數(shù)論的方法。
代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。
幾何數(shù)論是由德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。
數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對于大多數(shù)人來講并不清楚它的實(shí)際意義。
由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國家應(yīng)用“孫子定理”來進(jìn)行測距，用原根和指數(shù)來計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。
數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 薄Ｏ旅婧喴谐鰩最w“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問題、完全數(shù)問題……
在我國近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績。
特別是陳景潤在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。
其它數(shù)學(xué)分支學(xué)科
算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論、數(shù)學(xué)物理
數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展
數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣，是在一定的社會(huì)條件下，通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累．其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)．這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證．
古代非洲的尼羅河、西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河、中南亞的印度河和恒河以及東亞的黃河和長江，是數(shù)學(xué)的發(fā)源地．這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要，從控制洪水和灌溉，測量田地的面積、計(jì)算倉庫的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交換等等長期實(shí)踐活動(dòng)中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識．
數(shù)學(xué)更重要
數(shù)學(xué)的根源,發(fā)現(xiàn)和起源
十八、十九世紀(jì)，由于工程、力學(xué)和大地測量等方面的需要；產(chǎn)生了畫法幾何、射影幾何和微分幾何。十九世紀(jì)二十年代產(chǎn)生的非歐幾何學(xué)，雖然從純理論產(chǎn)生，但進(jìn)一步發(fā)展是在找到實(shí)際應(yīng)用之后。從幾何學(xué)的起源和發(fā)展來看：數(shù)學(xué)是以完全確定的現(xiàn)實(shí)的基本量的代表物和自然物形狀的代表物作為研究的對象，在研究時(shí)又...
應(yīng)用力學(xué)的起源
力學(xué)知識最早起源于對自然現(xiàn)象的觀察和在生產(chǎn)勞動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)。人們在建筑、灌溉等勞動(dòng)中使用杠桿、斜面、汲水等器具，逐漸積累起對平衡物體受力情況的認(rèn)識。古希臘的阿基米德對杠桿平衡、物體重心位置、物體在水中受到的浮力等作了系統(tǒng)研究，確定它們的基本規(guī)律，初步奠定了靜力學(xué)即平衡理論的基礎(chǔ)。古代人還從對...
哲學(xué)有哪些命題
哲學(xué)的命題是廣泛而深?yuàn)W的，以下是一些主要的哲學(xué)命題：一、存在與本質(zhì)命題 1. 存在的本質(zhì)是什么？存在與本質(zhì)命題關(guān)注事物的存在狀態(tài)和根本性質(zhì)。哲學(xué)家們探討世界的本源、事物的本質(zhì)屬性以及實(shí)體存在的意義。二、知識論命題 1. 知識的來源是什么？知識論主要研究知識的起源、范圍、確證和界限。包括經(jīng)驗(yàn)...
數(shù)學(xué)起源于哪個(gè)國家
數(shù)學(xué)起源于古巴比倫。數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，古巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識，并能應(yīng)用實(shí)際問題。從數(shù)學(xué)本身看，他們的數(shù)學(xué)知識也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但也要充分肯定他們對數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)是人類對事物的抽象結(jié)構(gòu)與模式進(jìn)行嚴(yán)格描述的一種通用手段，...
教育的五大起源學(xué)說
以下是教育學(xué)的五大起源學(xué)說：1、神話學(xué)說：神話學(xué)說認(rèn)為教育的起源可以追溯到人類社會(huì)的神話與宗教信仰。即神話中的神明教化人類，傳授道德和智慧，成為教育的起源。2、原始社會(huì)游獵學(xué)說：游獵學(xué)說認(rèn)為教育的起源可以追溯到人類社會(huì)的原始階段，即獵人社會(huì)為適應(yīng)生存需要，相互教育，傳遞生活技能和文化知識。...
數(shù)學(xué)的起源和演變誰知道哦
數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng),古巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識,并能應(yīng)用實(shí)際問題.從數(shù)學(xué)本身看,他們的數(shù)學(xué)知識也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得,沒有綜合結(jié)論和證明,但也要充分肯定他們對數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn).基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運(yùn)用是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及...
關(guān)于教育的起源,有哪些學(xué)說
勞動(dòng)起源說不僅糾正了生物起源說和心理起源說的不足，還融合了馬克思主義的歷史唯物主義理論，為科學(xué)揭示教育起源問題提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。綜上所述，教育的起源是多方面的，每一種理論都有其獨(dú)特之處。教育的本質(zhì)在于促進(jìn)人的全面發(fā)展，使人成為真正的人。教育不僅僅是知識的傳授，更是思想的啟迪，它幫助...
“學(xué)習(xí)”這個(gè)詞的具體來歷
在中國，“學(xué)”與“習(xí)”這兩個(gè)字被合在一起使用，最早是由孔子提出的。孔子在《論語》中提到：“學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說乎？”這句話的意思是，學(xué)習(xí)之后，時(shí)常溫習(xí)和實(shí)踐，這難道不是一件令人愉快的事情嗎？由此可見，“學(xué)習(xí)”這個(gè)詞的起源，可以追溯到孔子的這一經(jīng)典表述。孔子以及其他中國古代的教育...
數(shù)學(xué)的起源是什么?
數(shù)的誕生 數(shù)學(xué)──自然科學(xué)之父，起源于用來計(jì)數(shù)的自然數(shù)的偉大發(fā)明。若干年以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過著群居的生活。他們白天共同勞動(dòng)，搜捕野獸、飛禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用勞動(dòng)所得。在長期的共同勞動(dòng)和生活中，他們之間逐漸到了有些什么非說不可的地步，于是...
數(shù)學(xué)的起源50字簡介
很多同學(xué)都想多了解一些數(shù)學(xué)知識，我整理了一些數(shù)學(xué)的歷史，大家一起來看看數(shù)學(xué)是怎么出現(xiàn)的吧。數(shù)學(xué)的由來 數(shù)學(xué)，起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。數(shù)學(xué)的希臘語意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”。“數(shù)學(xué)”一詞是來自希臘語，字面意思有學(xué)習(xí)、科學(xué)之意。它起源于人類...
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江油市全跳： ______[答案] 數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代...
江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展: 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代非洲的尼羅河、西亞的底格里斯河和幼發(fā)拉底河、中南亞的印度河和恒河以及東亞的黃河和長江,是數(shù)學(xué)的發(fā)源地.這些地區(qū)的先民由于從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的需要,從控制洪水和灌溉,測量田地的面積、計(jì)算倉庫的容積、推算適合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的歷法以及相關(guān)的財(cái)富計(jì)算、產(chǎn)品交換等等長期實(shí)踐活動(dòng)中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),并逐漸形成了相應(yīng)的技術(shù)知識和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識
江油市全跳： ______[答案] “數(shù)學(xué)”的由來 古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱,概念和自我思考,他們很早就開始猜測數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的.雖然他們的猜測僅是匆匆記下,但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域.古希臘人隨意記下的東西在19世紀(jì)變成了大堆文章,而在20世紀(jì)卻變成...
江油市全跳： ______[答案] 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. 古代非洲的尼羅河、西亞的...
江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué)的起源:數(shù)學(xué)是一門最古老的學(xué)科,它的起源可以上溯到一萬多年以前.但是,公元1000年以前的資料留存下來的極少.迄今所知,只有在古代埃及和巴比倫發(fā)現(xiàn)了比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn). 遠(yuǎn)在1 萬5千年前人類就已經(jīng)能相當(dāng)逼真地描繪出人...
江油市全跳： ______ 世界數(shù)學(xué)發(fā)展史 奇普,印加帝國時(shí)所使用的計(jì)數(shù)工具.數(shù)學(xué),起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng),為中國古代六藝之一,亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn).數(shù)學(xué)的希臘語μαθηματικ(mathematikós)意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”,源于μθημα(máthema)(“科學(xué),...
江油市全跳： ______[答案] 數(shù)學(xué)的起源和早期發(fā)展: 數(shù)學(xué)與其他科學(xué)分支一樣,是在一定的社會(huì)條件下,通過人類的社會(huì)實(shí)踐和生產(chǎn)活動(dòng)發(fā)展起來的一種智力積累.其主要內(nèi)容反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,以及它們之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu).這可以從數(shù)學(xué)的起源得到印證. ...
江油市全跳： ______ 數(shù)學(xué),起源于人類早期生產(chǎn)活動(dòng),為中國古代六藝之一,亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn).其演進(jìn)可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展,或是題材的延展.第一個(gè)被抽象化的概念大概是數(shù)字,其對兩個(gè)蘋果及兩個(gè)橘子之間有...
江油市全跳： ______ 已解決問題 收藏 轉(zhuǎn)載到QQ空間 數(shù)學(xué)的歷史來源 [ 標(biāo)簽:數(shù)學(xué),歷史 來源,歷史 ] 是誰發(fā)明了數(shù)學(xué),是如何發(fā)明的 ぷ爲(wèi)你變乖 回答:3 人氣:3 解決時(shí)間:2009-07-16 13:05 檢舉 世界數(shù)學(xué)發(fā)展史 奇普,印加帝國時(shí)所使用的計(jì)數(shù)工具.數(shù)學(xué),...
