自然常數(shù)e的由來(lái)
開篇先講兩個(gè)例子
蘇格拉底的麥穗
柏拉圖問(wèn)蘇格拉底，什么是愛情。蘇格拉底說(shuō)，這樣吧，你去麥田里，不要回頭，一直往前走，把你遇到的、最大的那棵麥穗摘下來(lái)、拿給我。后面的事，大家都知道了：柏拉圖瞻前顧后，總覺得后面還有更好的，結(jié)果兩手空空、一棵麥穗也沒有得到。
除此之外，梅里爾·弗勒德（Merrill Flood）【提出過(guò)博弈論中的經(jīng)典問(wèn)題：囚徒困境】 也提出過(guò)一個(gè)類似的問(wèn)題：假設(shè)有一系列的求婚者，分別記為1、2、3、4、5……N，你一次只能面試其中的一個(gè)，每次都必須做出決定，接受或者拒絕；而這些求婚者有好有壞，那么，怎么才能以最大概率選中那個(gè)最好的呢？
在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)。之所以把這個(gè)數(shù)稱之為自然常數(shù)，是因?yàn)樽匀唤缰械牟簧僖?guī)律與該數(shù)有關(guān)。不過(guò)，這個(gè)數(shù)最初不是在自然界中發(fā)現(xiàn)的，而是與銀行的復(fù)利有關(guān)。
想象一下，如果把錢存在年利率為100%的銀行中，一年之后的錢將會(huì)增加為原來(lái)的(1+1)^1=2倍。假如銀行不用這種方式來(lái)結(jié)算利息，而是換成六個(gè)月算一次，但半年的利率為之前年利率的一半，也就是50%，那么，一年后的錢將會(huì)增加為原來(lái)的(1+0.5)^2=2.25倍。同樣的道理，如果換成每日，日利率為1/365，則一年后的錢將會(huì)增加為原來(lái)的(1+1/365)^365≈2.71倍。
也就是說(shuō)，隨著結(jié)算時(shí)間的縮短，最終收益會(huì)越來(lái)越多。倘若結(jié)算時(shí)間無(wú)限短，那么，最終的收益會(huì)變成無(wú)窮多嗎？這個(gè)問(wèn)題等同于求解下面的這個(gè)極限：
經(jīng)由嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明可知，上述極限是存在的，它不是無(wú)限的，而是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是現(xiàn)在所說(shuō)的自然常數(shù)e：
另?yè)?jù)證明，自然常數(shù)e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，所以它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，具體數(shù)值為2.71828……。
根據(jù)以e為底的指數(shù)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開，還能推導(dǎo)出e的另一個(gè)表達(dá)式：
可以看到，自然數(shù)階乘的倒數(shù)之和正是e，所以這能體現(xiàn)自然常數(shù)的“自然”之處。
在自然界中，有不少規(guī)律與e有關(guān)，例如，生物的生長(zhǎng)、繁殖和衰變規(guī)律，這些過(guò)程都是無(wú)限連續(xù)的，類似于銀行的無(wú)限復(fù)利。
生活中的數(shù)學(xué)
似乎許多人不喜歡數(shù)學(xué)。許多學(xué)生常常會(huì)問(wèn)這樣抱怨：“我為什么要學(xué)這些東西?平時(shí)又用不上。”但事實(shí)上，作為一個(gè)成年人，了解一些基本的數(shù)學(xué)概念對(duì)日常生活是至關(guān)重要的。我們?cè)谇妩c(diǎn)現(xiàn)金時(shí)，計(jì)算房貸時(shí)，填寫納稅申報(bào)表時(shí)，都需要數(shù)學(xué)。事實(shí)上，許多金融事務(wù)在過(guò)去都促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。例如，負(fù)數(shù)最初主要是用來(lái)代表債務(wù)的。
生活中，我們還經(jīng)常提到指數(shù)增長(zhǎng)這個(gè)數(shù)學(xué)概念。指數(shù)增長(zhǎng)其實(shí)指的是這樣一種增長(zhǎng)：一個(gè)系統(tǒng)在一段時(shí)間之后會(huì)數(shù)量翻倍。當(dāng)然，數(shù)量可以翻兩倍，翻三倍，翻n倍。指數(shù)增長(zhǎng)的一個(gè)例子就是細(xì)菌的繁殖問(wèn)題。如果培養(yǎng)皿中細(xì)菌每隔一段時(shí)間數(shù)量翻倍，并且繁殖沒有任何限制條件的話，那么它們的數(shù)量會(huì)指數(shù)增長(zhǎng)下去。
指數(shù)增長(zhǎng)的另一個(gè)熟悉的例子是摩爾定律——一個(gè)由英特爾創(chuàng)始人之一戈登·摩爾的名字命名的規(guī)律。1965年，摩爾注意到，晶體管的體積迅速減少，這意味著電腦芯片可以裝下更多的晶體管，于是他預(yù)測(cè)，芯片的處理能力大約每?jī)赡昃蜁?huì)翻一番。這種指數(shù)增長(zhǎng)已經(jīng)持續(xù)了幾十年了，但許多人認(rèn)為隨著技術(shù)的限制，摩爾定律過(guò)不多久就會(huì)失效。
e的魔力
現(xiàn)在，我們來(lái)假設(shè)有一家銀行的年利率是100%。如果計(jì)算利息的周期(計(jì)息期)是1年的話，那么到了年底，100元就會(huì)變?yōu)?00元。如果你幸運(yùn)地找到這家銀行并存了些錢的話，那么你的錢就會(huì)指數(shù)增長(zhǎng)下去。
如果計(jì)息期變短了，你就會(huì)獲得更多的利息。比如，那家銀行的計(jì)息期是半年的話，那么6個(gè)月之后，會(huì)有50元算入本金中，然后在此基礎(chǔ)上計(jì)算下一期的利息。這樣，到了年底時(shí)，除了原來(lái)的本金產(chǎn)生的100元利息以外，還有50元經(jīng)過(guò)半年產(chǎn)生的利息，為25元。這樣，最終銀行返還客戶的本息為225元，而不是200元。
如果計(jì)息期是一個(gè)季度的話，那么前面季度的利息又可產(chǎn)生利息，年底最終的本息為244年。很顯然，計(jì)息期越短，最終的本息就越多。但隨著你把計(jì)息的時(shí)間縮得越來(lái)越短，那么增加的利息會(huì)越來(lái)越少。如果計(jì)息期是1天的話，那么最終的本息將是271元。也就是說(shuō)，最終的本息是原來(lái)本金的2.71倍。
于是，就有了一個(gè)問(wèn)題：如果利息每一分鐘、每一秒鐘，甚至更短的時(shí)間都計(jì)算在內(nèi)，最終的本息是原來(lái)的多少倍呢?過(guò)去，數(shù)學(xué)家們一直沒搞清楚這個(gè)問(wèn)題，直到17世紀(jì)才搞清楚。1683年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利找到了答案：2.7182818……這個(gè)數(shù)與π類似，是一個(gè)無(wú)理數(shù)。數(shù)學(xué)家們把這個(gè)數(shù)稱為自然常數(shù)，并用字母e來(lái)代表它。
這種分分秒秒都把利息算在內(nèi)的增長(zhǎng)模式，被稱為連續(xù)型復(fù)合增長(zhǎng)，只要是這種增長(zhǎng)模式，e便會(huì)出現(xiàn)。數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)，e是數(shù)學(xué)中最為基本的一個(gè)常數(shù)。現(xiàn)在，會(huì)計(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、統(tǒng)計(jì)和概率論等許多學(xué)科中，都有它的身影。
找到真愛
關(guān)于e的應(yīng)用，最有趣的例子就是秘書問(wèn)題。想象有100個(gè)人應(yīng)聘一份秘書工作，他們按照隨機(jī)順序接受面試，而面試官每次面試一人，面試過(guò)后便要立刻決定是否聘用他。如果當(dāng)時(shí)決定不聘他，就不能再聘用他;如果聘用了他，整個(gè)面試立刻結(jié)束。如果面試官想把所有應(yīng)聘者都面試一遍，那么這就相當(dāng)于拒絕了前面99個(gè)申請(qǐng)人，不管最后一個(gè)申請(qǐng)人是否稱職，都得錄用。問(wèn)題是，面試官何時(shí)做決定，才能以最大的機(jī)率得到最適合的人選?
數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)分析，認(rèn)為最佳的辦法是，先面試一部分人，然后在剩下的應(yīng)聘者中，錄取勝過(guò)或接近之前面試過(guò)的最好的應(yīng)聘者。那么，應(yīng)該先面試多少人呢?這個(gè)計(jì)算過(guò)程略復(fù)雜一些，答案就直接告訴你吧：100/e，約為37。就是說(shuō)當(dāng)你面試了37個(gè)人之后，選出其中最優(yōu)秀的一位作為標(biāo)準(zhǔn)，在后面的應(yīng)聘者遇到類似這樣的人，就可以馬上確定下來(lái)。事實(shí)上，這個(gè)例子也能適用于找對(duì)象。比如，如果你能有機(jī)會(huì)與100個(gè)人相親，那么見了37個(gè)人之后，你就可以下決心與后面63個(gè)中的一位意中人談?wù)剳賽邸?br />
所以說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)不僅在算錢的時(shí)候有用，它有時(shí)候還會(huì)幫助你找到真愛。
您的關(guān)注和轉(zhuǎn)發(fā)是最大的支持!
自然常數(shù)e的實(shí)際意義
自然常數(shù)e的實(shí)際意義：自然增長(zhǎng)的極限。1. 自然常數(shù)e的基本定義：自然常數(shù)e，符號(hào)e，是一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，其值為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)2.718281828459045。作為超越數(shù)，它是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，也被稱為歐拉數(shù)，以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名，或罕見地稱為納皮爾常數(shù)，紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾的對(duì)數(shù)貢獻(xiàn)。與圓周率π和...
自然數(shù)e是怎么推導(dǎo)出來(lái)的?
一、什么是自然數(shù) e 自然數(shù) e，又稱歐拉數(shù)（Euler's number），是一個(gè)無(wú)理數(shù)。它的值約等 于 2.71828，是科學(xué)計(jì)算中重要的基本常數(shù)，解決了眾多不可解的函數(shù) 方程，特別是指數(shù)函數(shù)與指數(shù)增長(zhǎng)模型。在高等數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，e 被 稱為指數(shù)默認(rèn)值或者無(wú)窮小增量。二、e 的數(shù)學(xué)推導(dǎo) （1）e 是一...
常數(shù)e是怎么來(lái)的?!?!
回答你的問(wèn)題如下：1. 自然常數(shù)（也稱歐拉常數(shù)）e的定義就是：2.e的值就是通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式∑(1+1\/n)^nn-->∞來(lái)逼近計(jì)算；3. 三個(gè)式子表示的數(shù)學(xué)含義都是相等的。因?yàn)閑是一個(gè)和π一樣的無(wú)理數(shù)，其精確值只能用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示。而上面的三個(gè)式子就是e的表達(dá)式。
為什么e是一個(gè)自然常數(shù)?
自然常數(shù)，為數(shù)學(xué)中一個(gè)常數(shù)，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，且為超越數(shù)，其值約為2.71828。e，作為數(shù)學(xué)常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)。有時(shí)稱它為歐拉數(shù)（Euler number），以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名；也有個(gè)較鮮見的名字納皮爾常數(shù)，以紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾 (John Napier)引進(jìn)對(duì)數(shù)。它就像圓周率π和虛數(shù)...
【數(shù)學(xué)】自然常數(shù)e是怎么來(lái)的?
自然常數(shù)e，這數(shù)學(xué)中的奇妙存在，是如何誕生的？它始于對(duì)π的探索，接著在高中數(shù)學(xué)的指數(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算中展露頭角。讓我們一同揭開它的神秘面紗。e的稱呼源自數(shù)學(xué)巨擘歐拉，以及可能與“指數(shù)”一詞的首字母相關(guān)。最初，它與蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾的對(duì)數(shù)理論相聯(lián)系，但真正作為常數(shù)被發(fā)現(xiàn)，歸功于瑞士...
自然數(shù)e的由來(lái)和意義是什么?
e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其值是2.71828，是這樣定義的：當(dāng)n->∞時(shí)，（1+1\/n)^n的極限。由于一般計(jì)算器只能顯示10位左右的數(shù)字，所以再多就看不出來(lái)了，e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多，一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù)。log以e為底的對(duì)數(shù)可寫成lnx，也就是等于lnx。常數(shù)e的含義是...
自然常數(shù) e 是怎么發(fā)現(xiàn)的?(數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 033)
自然常數(shù) e 的發(fā)現(xiàn)，源自于對(duì)“加乘組合”函數(shù)性質(zhì)的深入探索。這類函數(shù)具有一項(xiàng)關(guān)鍵特性：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值相等。這一特性，意味著函數(shù)在任何點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，即為函數(shù)自身的值。我們可以通過(guò)以下步驟來(lái)理解自然常數(shù) e 的形成過(guò)程：1. **基礎(chǔ)性質(zhì)**：設(shè)函數(shù) f(x) 滿足 f(x+y) = f(x)f(y)，...
自然對(duì)數(shù)e的來(lái)歷?
自然對(duì)數(shù)e的來(lái)歷：自然對(duì)數(shù)e是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要常數(shù)，大約等于2.71828。它的來(lái)歷與復(fù)利計(jì)算有關(guān)。當(dāng)人們談?wù)撏顿Y的連續(xù)增長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，自然會(huì)遇到這個(gè)數(shù)。一、自然對(duì)數(shù)e與復(fù)利計(jì)算的關(guān)聯(lián) 自然對(duì)數(shù)e最初是從復(fù)利計(jì)算的情境中發(fā)現(xiàn)的。假設(shè)有一筆資金，在連續(xù)計(jì)算復(fù)利的情況下，每年增長(zhǎng)的百分比是相同的，隨著...
為什么把e稱為自然常數(shù),它是誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的?
只有由它為底計(jì)算出的一張自然對(duì)數(shù)列表,通常認(rèn)為是由威廉·奧特雷德(William Oughtred)制作.第一次把e看為常數(shù)的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli).已知的第一次用到常數(shù)e,是萊布尼茨于1690年和1691年給惠更斯的通信,以b表示.1727年歐拉開始用e來(lái)表示這常數(shù)；而e第一次在出版物用到,是1736年歐拉的...
e的定義是什么呢?
e的定義是自然常數(shù)。e是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一種特殊的實(shí)數(shù)，稱之為超越數(shù)。據(jù)說(shuō)最早是從計(jì)算 (1+1\/x)^x 當(dāng)x趨向于無(wú)限大時(shí)的極限引入的。當(dāng)然e也有很多其他的計(jì)算方式，例如 e＝1＋1\/1!＋1\/2!＋1\/3!＋…。e作為數(shù)學(xué)常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)。有時(shí)稱它為歐拉數(shù)，以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名；也有...
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
新市區(qū)不平： ______ 1.計(jì)算器怎么按e的指數(shù)1.按一下shift鍵,是為了將計(jì)算器上直接按的ln函數(shù)(對(duì)數(shù)函數(shù))反轉(zhuǎn)為以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù),即exp函數(shù).2.再按一下ln鍵.此時(shí)由于已經(jīng)...
新市區(qū)不平： ______ e是一個(gè)無(wú)理數(shù),也是一個(gè)超越數(shù),由歐拉(Leonhard Euler)在1727年首先引進(jìn)的.他在高等數(shù)學(xué)中,起著一個(gè)極其重要的作用. e=1+1/1!+1/2!+1/3!+....+1/(n-1)!+..... 他是一個(gè)符號(hào),而并非是由定義生成. 當(dāng)然,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),(1+1/n)^n的極限也等于e.
新市區(qū)不平： ______[答案] 自然常數(shù)e數(shù)學(xué)意義 超越數(shù)主要只有自然常數(shù)和圓周率.自然常數(shù)的知名度比圓周率低很多,原因是圓周率更容易在實(shí)際生活中遇到,而自然常數(shù)在日常生活中不常用. 自然常數(shù)一般為公式中乘方的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底.為什么會(huì)這樣,主要取決于它的來(lái)...
新市區(qū)不平： ______ 自然常數(shù) e=lim(1+1/x)^x,x→+∞或lim(1+z)^(1/z),z→0,其值約為2.71828,是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù).
新市區(qū)不平： ______ 據(jù)說(shuō)是以偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)的名字來(lái)的.它通常用作自然對(duì)數(shù)的底數(shù),即:In(x)=以e為底x的對(duì)數(shù). 當(dāng)x趨近于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí),[1+(1/x)]^x的極限就等于e,實(shí)際上e就是通過(guò)這個(gè)極限而發(fā)現(xiàn)的. 科學(xué)技術(shù)中用得非常多,一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù).以e為底數(shù),許多式子都能得到簡(jiǎn)化,用它是最“自然”的,所以叫“自然對(duì)數(shù)”.
新市區(qū)不平： ______[答案] e是一個(gè)客觀存在的很神奇很美妙的,又具有很多功能的常數(shù),e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多,一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù).用它是最“自然”的,所以叫“自然對(duì)數(shù)”.而自然底數(shù)e的意義正是在于它被使用地廣泛,以e為底數(shù),許多式子都能得到簡(jiǎn)化....
新市區(qū)不平： ______ 是大約等于2.71828的自然對(duì)數(shù)的底數(shù),是無(wú)理數(shù). e 是瑞士數(shù)學(xué)家尤拉定義的,e的x次方無(wú)論對(duì)x微分幾次還是其本身. 尤拉選擇e的理由較為人所接受的說(shuō)法有二:一為在a,b,c,d等四個(gè)常被使用的字母后面,第一個(gè)尚未被經(jīng)常使用的字母就是e,所以,他很自然地選了這個(gè)符號(hào),代表自然對(duì)數(shù)的底數(shù);一為e是單詞“指數(shù)”的第一個(gè)字母,法文、德文的指數(shù)都是它.
新市區(qū)不平： ______ 當(dāng)x趨近于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí),[1+(1/x)]^x的極限就等于e,實(shí)際上e就是通過(guò)這個(gè)極限而發(fā)現(xiàn)的.e是一個(gè)客觀存在的很神奇很美妙的,又具有很多功能的常數(shù),e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多,一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù).用它是最“自然”的,所以叫“自然對(duì)數(shù)”. 而自然底數(shù)e的意義正是在于它被使用地廣泛,以e為底數(shù),許多式子都能得到簡(jiǎn)化.但是能夠這么做的前提是,要有一張對(duì)數(shù)表.
新市區(qū)不平： ______ 神奇的自然對(duì)數(shù)底e 讓我們先來(lái)看一個(gè)約公元前1700年巴比倫人提出的利息問(wèn)題:以20%的年息貸錢給人,何時(shí)連本帶利翻一番?問(wèn)題相當(dāng)于求解指數(shù)方程$1.2^x=2$這類復(fù)利問(wèn)題...
新市區(qū)不平： ______ 當(dāng)x趨近于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮時(shí),[1+(1/x)]^x的極限就等于e.
