14. 13 歐拉積分- beta,gamma函數(shù)、余元公式、Rabbe積分、勒讓德公式
第一型歐拉積分根據(jù)Legendre的建議，具有下列形狀的積分:其中稱為第一型歐拉積分。
對于，這個(gè)積分是收斂的，這可以作為函數(shù)的定義基礎(chǔ)。若有一個(gè)小于等于0，則，積分發(fā)散。
性質(zhì)1: 關(guān)于兩個(gè)參變量對稱，通過變量代換可得:。
性質(zhì)2: 公式對于來說，借助于分部積分法可得:于是得到:說明: 當(dāng)保持大于1二減少整值的時(shí)候，總可應(yīng)用這個(gè)公式；因此總是可以達(dá)到使得的情況。同樣對于也可以達(dá)到相同的結(jié)果，因?yàn)樗鼈兪菍ΨQ的。因此立即可以得到另一個(gè)遞推關(guān)系:若為自然數(shù)，則依次應(yīng)用公式可得:而于是就得到:若，則:若記，則該公式當(dāng)時(shí)也適用。
另一種解析表示:在積分中進(jìn)行變量代換:得到。
變體2:在公式中令，則得到:這就是我們前面見到過得歐拉之名的積分。
第二類歐拉積分由Legendre命名的以下重要積分:命名為第二型歐拉積分，此積分對于任意的都收斂；時(shí)積分發(fā)散，這樣確定出了函數(shù)。
伽馬函數(shù)的一些最簡單的性質(zhì):函數(shù)對于是連續(xù)的并且具有所有各階的導(dǎo)數(shù)。
連續(xù)性和導(dǎo)數(shù):只需要證明導(dǎo)數(shù)存在即可。直接在積分號下對積分求導(dǎo)便得:積分號下求導(dǎo)的合理性:因?yàn)閼?yīng)用Leibniz法則兩個(gè)積分:對一致收斂:第一個(gè)積分當(dāng)時(shí)對;第二個(gè)積分當(dāng)時(shí)對對于。
遞推性質(zhì):對分部積分，我們得到:于是得到:重復(fù)利用這個(gè)公式，我們就可以得到:利用這種方法，無論是對于多么大的來計(jì)算，總可以化為對于來計(jì)算。
伽馬函數(shù)的變化情況:由式有，根據(jù)羅爾定理，我們知道在之間存在一階導(dǎo)的零點(diǎn)。因?yàn)閺奈覀兛闯鰜矶A導(dǎo)數(shù)，因此單調(diào)增。因此就有:當(dāng)時(shí)，;此時(shí)單調(diào)減少;當(dāng)時(shí)，;此時(shí)單調(diào)增加;當(dāng)時(shí)存在極小值:。
伽馬函數(shù)與beta函數(shù)的聯(lián)系:我們從開始:變量代換，則:然后將換成，換成則有:兩邊乘以，并從關(guān)于積分，得到:左邊積分就是我們的，由公式可知。而右邊的積分，我們來重新配置一番,利用公式(13), (6):最后得到:關(guān)于歐拉積分的這個(gè)關(guān)系的精彩結(jié)論，是Dirichlet所導(dǎo)出。
余元公式:如果令，則由就得到關(guān)系式:這就叫余元公式。當(dāng)時(shí)，由此得到:。
歐拉乘積的應(yīng)用:將乘積倒序?qū)懗鰜?將兩個(gè)表達(dá)式相乘得到:應(yīng)用余元公式:利用恒等式:令，取極限的結(jié)果為:令模相等，得到:因此就有:將此帶入的表達(dá)式，就得到:以下是上面計(jì)算方法的參考例子。
拉阿伯積分:積分的存在性分析:可以寫成:將兩個(gè)積分相加得到:Rabbe研究了積分:因?yàn)轱@然有:因此積分后，對于得到:分析在的連續(xù)性:取極限，我們得出:于是得到，最終得到:。
Legendre公式:如果在中作變量替換，則兩邊函數(shù)代之為得到:消去帶入得到:由gamma函數(shù)的特性而得的同義定義:前面我們已經(jīng)知道，及其導(dǎo)數(shù)對于的正值都是連續(xù)的。除此之外，還滿足下列關(guān)系:上述3個(gè)條件確定了gamma函數(shù):接下來，我們來證明上述的特性完全的確定出了函數(shù)，也就是說只要滿足上述三個(gè)條件的函數(shù)必定與恒等。當(dāng)同時(shí)具備上述三個(gè)條件，那么情形就不同了。但是特性可以用一個(gè)較弱的條件來代替，就是:而這一點(diǎn)剛好由特性可以推出來。證明:設(shè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對于連續(xù)，而且，且滿足關(guān)系(I), (II)。下面來證明。
函數(shù)更簡單的特征，只應(yīng)用一個(gè)函數(shù)方程但假設(shè)對函數(shù)還有一個(gè)要求:對數(shù)凸性。對數(shù)凸性:函數(shù)在區(qū)間上是對數(shù)凸的，是指其對數(shù)是在區(qū)間上的凸函數(shù)。對數(shù)凸性的條件:設(shè)正函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并在區(qū)間內(nèi)部由有限的二階導(dǎo)數(shù)，那么為使函數(shù)在區(qū)間上是對數(shù)凸的，必須且只需在的內(nèi)不有:其證明是要對函數(shù)應(yīng)用我們在凸函數(shù)部分的定理。現(xiàn)在回到函數(shù):按照布尼亞科夫斯基不等式:由此，按照剛才說明的條件，在區(qū)間內(nèi)是對數(shù)凸的。就是用這個(gè)性質(zhì)，連同方程確定函數(shù)準(zhǔn)確到常數(shù)因子，換句話說:若1)在區(qū)間內(nèi)滿足方程:2)是對數(shù)凸的3)則:證明:假設(shè)滿足上述三個(gè)條件。重復(fù)應(yīng)用方程，就得到一般等式:如果設(shè)代替，則得到:注意:我們只需要證明在重合，由于，則這兩個(gè)函數(shù)處處重合。設(shè)，由凸函數(shù)不等式:對凸函數(shù)在唯一的條件下成立。把這個(gè)不等式應(yīng)用兩次于凸函數(shù)，(根據(jù)2)，對于任意的，就得到:考慮到由此推出:這就意味著:現(xiàn)在借助，變到值本身，便引到不等式:由此就很明顯有:這就是歐拉高斯公式。
寧選15945051162： 利用歐拉積分求下列積分 -
雄縣從動(dòng)： ______ Integrate[f(x),{x,0,1}],表示f(x)在積分區(qū)間0-1的值 Integrate[arcsin[x]/x,{x,0,1}] =Integrate[arcsin[x]*(ln(x)'),{x,0,1}] =ln(x)*arcsin(x)[0,1]-Integrate[(arcsin[x])'*ln(x),{x,0,1}] =-Integrate[ln(x)/Sqrt(1-x^2),{x,0,1}] 令x=sin(y) =-Integrate[ln(sin(y)),{y,0,Pi/2}] =Pi*ln2/2
寧選15945051162： 歐拉積分∫(0到正無窮)x^(a - 1)*e^( - x^2)dx的收斂域?yàn)?-
雄縣從動(dòng)： ______ a>0. a>=1的時(shí)候,要看x趨于無窮的情況,此時(shí)x^(a-1)比起e^x,都是無窮小,而e^x*e^(-x^2)顯然是收斂的. a<=1的時(shí)候,就要看x趨于0的時(shí)候了,e^(-x^2)可以看成1,相當(dāng)于x^(a-1)的收斂.可以看出,a<0的時(shí)候,原函數(shù)相當(dāng)于x^a量級,所以不會(huì)收斂.a>0的時(shí)候,沒問題.a=0,相當(dāng)于ln(x),也不行.
寧選15945051162： 函數(shù)中β是什么意思 -
雄縣從動(dòng)： ______ 釋義:[數(shù)]＂又稱 :β函數(shù)(Euler integral of the first kind,beta-function指第一類歐拉積分,β函數(shù)). [數(shù)]β-function 或者用β表示一個(gè)數(shù)或角. 具體問題要具體分析.
寧選15945051162： 求計(jì)算歐拉積分∫e∧( - x2)dx的詳細(xì)過程.謝謝 -
雄縣從動(dòng)： ______ 還有上下限-∞到+∞:利用二重積分方法 K = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx K2 = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx * ∫(-∞→+∞) e^(- y2) dy = ∫(-∞→+∞) ∫(-∞→+∞) e^(- x2 - y2) dxdy,極坐標(biāo)換元 = ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r2) * r dr = 2π * (- 1/2)[e^(- r2)]:(0→+∞) = 2π * (- 1/2)(0 - 1) = π 于是得K = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx = √π
寧選15945051162： 歐拉積分∫(0到正無窮)x^(a - 1)*e^( - x^2)dx的收斂域?yàn)?br />
雄縣從動(dòng)：
______ a>0. a>=1的時(shí)候,要看x趨于無窮的情況,此時(shí)x^(a-1)比起e^x,都是無窮小,而e^x*e^(-x^2)顯然是收斂的. a<=1的時(shí)候,就要看x趨于0的時(shí)候了,e^(-x^2)可以看成1,相當(dāng)于x^(a-1)的收斂.可以看出,a<0的時(shí)候,原函數(shù)相當(dāng)于x^a量級,所以不會(huì)收斂.a>0的時(shí)候,沒問題.a=0,相當(dāng)于ln(x),也不行.
寧選15945051162： 丁丁今年15歲.丁丁的媽媽今年43歲.幾年前丁丁媽媽的年齡是丁丁的5 -
雄縣從動(dòng)： ______ 解:設(shè)x年前,丁丁媽媽的年齡是丁丁的5倍, 43-x=(15-x)*5 43-x=75-5x -x+5x=75-43 4x=32 x=32÷4 x=8 答:8年前,丁丁媽媽的年齡是丁丁的5倍.
寧選15945051162： 在三角形ABC中,cosA=5/ - 13,cosB=3/5,求(1)sinC的值;(2)設(shè)三角形ABC的面積. -
雄縣從動(dòng)： ______ 這個(gè)很簡單,有個(gè)固定公式是(sinA)的平方+(cosA)的平方=1(A指任意一個(gè)角度)因此可以算出,(sinA)的平方= 1-(cosA)的 平方 = 1-(5/-13)的平方 =144/169 然后進(jìn)行開方,就能得出sinA=12/13 (sinB)的平方= 1-(cosB)的平方 = 1-(3/5)的平方 = 16/25 然后進(jìn)行開方,就能得出sinB=4/5 注:至于開方的時(shí)候應(yīng)該有正負(fù)2種情況,那么就要根據(jù)題目中角度A,B的大小來進(jìn)行判斷.
寧選15945051162： 在區(qū)間0到PI/2上lnsinx積分怎樣用歐拉積分表示?下面這個(gè)積分怎樣用歐拉積分(咖馬函數(shù)和貝塔函數(shù))表示?不是計(jì)算積分值!是用歐拉積分的定義暨貝塔... -
雄縣從動(dòng)： ______[答案] 令sinx=根號(t),t從0到1,x=arcsin(根號(t)),dx=0.5t^(-1/2)(1-t)^(-1/2)dt, 因此化為0.25*積分(從0到1)lnt *t^(-1/2)*(1-t)^(-1/2)dt =0.25*aB(p,q)/ap| (p=1/2,q=1/2) 上式表示B(p,q)對p求偏導(dǎo)數(shù)后在p=1/2,q=1/2處取值.
對于，這個(gè)積分是收斂的，這可以作為函數(shù)的定義基礎(chǔ)。若有一個(gè)小于等于0，則，積分發(fā)散。
性質(zhì)1: 關(guān)于兩個(gè)參變量對稱，通過變量代換可得:。
性質(zhì)2: 公式對于來說，借助于分部積分法可得:于是得到:說明: 當(dāng)保持大于1二減少整值的時(shí)候，總可應(yīng)用這個(gè)公式；因此總是可以達(dá)到使得的情況。同樣對于也可以達(dá)到相同的結(jié)果，因?yàn)樗鼈兪菍ΨQ的。因此立即可以得到另一個(gè)遞推關(guān)系:若為自然數(shù)，則依次應(yīng)用公式可得:而于是就得到:若，則:若記，則該公式當(dāng)時(shí)也適用。
另一種解析表示:在積分中進(jìn)行變量代換:得到。
變體2:在公式中令，則得到:這就是我們前面見到過得歐拉之名的積分。
第二類歐拉積分由Legendre命名的以下重要積分:命名為第二型歐拉積分，此積分對于任意的都收斂；時(shí)積分發(fā)散，這樣確定出了函數(shù)。
伽馬函數(shù)的一些最簡單的性質(zhì):函數(shù)對于是連續(xù)的并且具有所有各階的導(dǎo)數(shù)。
連續(xù)性和導(dǎo)數(shù):只需要證明導(dǎo)數(shù)存在即可。直接在積分號下對積分求導(dǎo)便得:積分號下求導(dǎo)的合理性:因?yàn)閼?yīng)用Leibniz法則兩個(gè)積分:對一致收斂:第一個(gè)積分當(dāng)時(shí)對;第二個(gè)積分當(dāng)時(shí)對對于。
遞推性質(zhì):對分部積分，我們得到:于是得到:重復(fù)利用這個(gè)公式，我們就可以得到:利用這種方法，無論是對于多么大的來計(jì)算，總可以化為對于來計(jì)算。
伽馬函數(shù)的變化情況:由式有，根據(jù)羅爾定理，我們知道在之間存在一階導(dǎo)的零點(diǎn)。因?yàn)閺奈覀兛闯鰜矶A導(dǎo)數(shù)，因此單調(diào)增。因此就有:當(dāng)時(shí)，;此時(shí)單調(diào)減少;當(dāng)時(shí)，;此時(shí)單調(diào)增加;當(dāng)時(shí)存在極小值:。
伽馬函數(shù)與beta函數(shù)的聯(lián)系:我們從開始:變量代換，則:然后將換成，換成則有:兩邊乘以，并從關(guān)于積分，得到:左邊積分就是我們的，由公式可知。而右邊的積分，我們來重新配置一番,利用公式(13), (6):最后得到:關(guān)于歐拉積分的這個(gè)關(guān)系的精彩結(jié)論，是Dirichlet所導(dǎo)出。
余元公式:如果令，則由就得到關(guān)系式:這就叫余元公式。當(dāng)時(shí)，由此得到:。
歐拉乘積的應(yīng)用:將乘積倒序?qū)懗鰜?將兩個(gè)表達(dá)式相乘得到:應(yīng)用余元公式:利用恒等式:令，取極限的結(jié)果為:令模相等，得到:因此就有:將此帶入的表達(dá)式，就得到:以下是上面計(jì)算方法的參考例子。
拉阿伯積分:積分的存在性分析:可以寫成:將兩個(gè)積分相加得到:Rabbe研究了積分:因?yàn)轱@然有:因此積分后，對于得到:分析在的連續(xù)性:取極限，我們得出:于是得到，最終得到:。
Legendre公式:如果在中作變量替換，則兩邊函數(shù)代之為得到:消去帶入得到:由gamma函數(shù)的特性而得的同義定義:前面我們已經(jīng)知道，及其導(dǎo)數(shù)對于的正值都是連續(xù)的。除此之外，還滿足下列關(guān)系:上述3個(gè)條件確定了gamma函數(shù):接下來，我們來證明上述的特性完全的確定出了函數(shù)，也就是說只要滿足上述三個(gè)條件的函數(shù)必定與恒等。當(dāng)同時(shí)具備上述三個(gè)條件，那么情形就不同了。但是特性可以用一個(gè)較弱的條件來代替，就是:而這一點(diǎn)剛好由特性可以推出來。證明:設(shè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對于連續(xù)，而且，且滿足關(guān)系(I), (II)。下面來證明。
函數(shù)更簡單的特征，只應(yīng)用一個(gè)函數(shù)方程但假設(shè)對函數(shù)還有一個(gè)要求:對數(shù)凸性。對數(shù)凸性:函數(shù)在區(qū)間上是對數(shù)凸的，是指其對數(shù)是在區(qū)間上的凸函數(shù)。對數(shù)凸性的條件:設(shè)正函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并在區(qū)間內(nèi)部由有限的二階導(dǎo)數(shù)，那么為使函數(shù)在區(qū)間上是對數(shù)凸的，必須且只需在的內(nèi)不有:其證明是要對函數(shù)應(yīng)用我們在凸函數(shù)部分的定理。現(xiàn)在回到函數(shù):按照布尼亞科夫斯基不等式:由此，按照剛才說明的條件，在區(qū)間內(nèi)是對數(shù)凸的。就是用這個(gè)性質(zhì)，連同方程確定函數(shù)準(zhǔn)確到常數(shù)因子，換句話說:若1)在區(qū)間內(nèi)滿足方程:2)是對數(shù)凸的3)則:證明:假設(shè)滿足上述三個(gè)條件。重復(fù)應(yīng)用方程，就得到一般等式:如果設(shè)代替，則得到:注意:我們只需要證明在重合，由于，則這兩個(gè)函數(shù)處處重合。設(shè)，由凸函數(shù)不等式:對凸函數(shù)在唯一的條件下成立。把這個(gè)不等式應(yīng)用兩次于凸函數(shù)，(根據(jù)2)，對于任意的，就得到:考慮到由此推出:這就意味著:現(xiàn)在借助，變到值本身，便引到不等式:由此就很明顯有:這就是歐拉高斯公式。
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雄縣從動(dòng)： ______ Integrate[f(x),{x,0,1}],表示f(x)在積分區(qū)間0-1的值 Integrate[arcsin[x]/x,{x,0,1}] =Integrate[arcsin[x]*(ln(x)'),{x,0,1}] =ln(x)*arcsin(x)[0,1]-Integrate[(arcsin[x])'*ln(x),{x,0,1}] =-Integrate[ln(x)/Sqrt(1-x^2),{x,0,1}] 令x=sin(y) =-Integrate[ln(sin(y)),{y,0,Pi/2}] =Pi*ln2/2
雄縣從動(dòng)： ______ a>0. a>=1的時(shí)候,要看x趨于無窮的情況,此時(shí)x^(a-1)比起e^x,都是無窮小,而e^x*e^(-x^2)顯然是收斂的. a<=1的時(shí)候,就要看x趨于0的時(shí)候了,e^(-x^2)可以看成1,相當(dāng)于x^(a-1)的收斂.可以看出,a<0的時(shí)候,原函數(shù)相當(dāng)于x^a量級,所以不會(huì)收斂.a>0的時(shí)候,沒問題.a=0,相當(dāng)于ln(x),也不行.
雄縣從動(dòng)： ______ 釋義:[數(shù)]＂又稱 :β函數(shù)(Euler integral of the first kind,beta-function指第一類歐拉積分,β函數(shù)). [數(shù)]β-function 或者用β表示一個(gè)數(shù)或角. 具體問題要具體分析.
雄縣從動(dòng)： ______ 還有上下限-∞到+∞:利用二重積分方法 K = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx K2 = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx * ∫(-∞→+∞) e^(- y2) dy = ∫(-∞→+∞) ∫(-∞→+∞) e^(- x2 - y2) dxdy,極坐標(biāo)換元 = ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r2) * r dr = 2π * (- 1/2)[e^(- r2)]:(0→+∞) = 2π * (- 1/2)(0 - 1) = π 于是得K = ∫(-∞→+∞) e^(- x2) dx = √π
雄縣從動(dòng)： ______ 解:設(shè)x年前,丁丁媽媽的年齡是丁丁的5倍, 43-x=(15-x)*5 43-x=75-5x -x+5x=75-43 4x=32 x=32÷4 x=8 答:8年前,丁丁媽媽的年齡是丁丁的5倍.
雄縣從動(dòng)： ______ 這個(gè)很簡單,有個(gè)固定公式是(sinA)的平方+(cosA)的平方=1(A指任意一個(gè)角度)因此可以算出,(sinA)的平方= 1-(cosA)的 平方 = 1-(5/-13)的平方 =144/169 然后進(jìn)行開方,就能得出sinA=12/13 (sinB)的平方= 1-(cosB)的平方 = 1-(3/5)的平方 = 16/25 然后進(jìn)行開方,就能得出sinB=4/5 注:至于開方的時(shí)候應(yīng)該有正負(fù)2種情況,那么就要根據(jù)題目中角度A,B的大小來進(jìn)行判斷.
雄縣從動(dòng)： ______[答案] 令sinx=根號(t),t從0到1,x=arcsin(根號(t)),dx=0.5t^(-1/2)(1-t)^(-1/2)dt, 因此化為0.25*積分(從0到1)lnt *t^(-1/2)*(1-t)^(-1/2)dt =0.25*aB(p,q)/ap| (p=1/2,q=1/2) 上式表示B(p,q)對p求偏導(dǎo)數(shù)后在p=1/2,q=1/2處取值.
