抽象代數(shù)| 同態(tài)與同構(gòu)，群同態(tài)基本定理，第一、二群同態(tài)基本定理
定義1：設(shè)[公式]與[公式] 是兩個(gè)群，[公式]是[公式]到[公式]的一個(gè)映射，如果[公式]，則稱[公式]是[公式]到[公式]的一個(gè)同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱同態(tài)。若[公式]與[公式]是同一個(gè)群,則稱f是自同態(tài)。若同態(tài)[公式]還是單射,則稱[公式]是單同態(tài)；若同態(tài)[公式]還是滿射,則稱[公式]是滿同態(tài).當(dāng)[公式]是滿同態(tài)時(shí),稱[公式]與[公式]是同態(tài)的,記為[公式]。若同態(tài)[公式]還是雙射(雙射即可逆映射,也即既是單射又是滿射),則稱[公式]是[公式]到[公式]的一個(gè)同構(gòu)映射,簡(jiǎn)稱同構(gòu)，此時(shí)稱群[公式]與[公式]是同構(gòu)的,記為[公式]
命題1：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，[公式]分別是[公式]的幺元，則有
命題2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，[公式],則[公式]的象集合[公式]也是[公式]的子群，特別[公式]
定義2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài),則[公式]的幺元[公式]的完全原象[公式]稱為同態(tài)映射[公式]的核，記為[公式]
命題3：設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式]，令
[公式]
則[公式]是群[公式]到商群[公式]的一個(gè)滿同態(tài)，并且[公式]，我們稱[公式]為自然同態(tài)。
命題4：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，則[公式]
命題5：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，則[公式]是單同態(tài) [公式],這里[公式]是[公式]的幺元。
proof：[公式] [公式] 是單射（單同態(tài)），則[公式],[公式],則[公式],所以[公式]
[公式] 若[公式],根據(jù)命題1,[公式],所以[公式],由于[公式],所以[公式],[公式],故[公式]是單射，即單同態(tài)。
群同態(tài)基本定理：
定理1（群同態(tài)基本定理） 設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的滿同態(tài)映射，則
[公式]
proof：記[公式],則有[公式] ，令
[公式]
則[公式]是[公式]到[公式] 的映射，接下來(lái)證明[公式] 是良定的，且[公式]是雙射。
接下來(lái)證明[公式]是同態(tài)映射
[公式],由[公式]是同態(tài)，有[公式] ,
所以[公式]是同態(tài)映射，于是[公式]是同構(gòu)映射，故[公式] [公式]
推論1：設(shè)[公式]為一群,[公式]是[公式]到另一群的同態(tài)映射,則[公式]的同態(tài)象[公式]必同構(gòu)于[公式]的商群[公式];反之,[公式]的任一商群都可看作[公式]的同態(tài)象. 反之,設(shè)[公式]是[公式]的任一商群,即有[公式],則[公式]到[公式]的自然同態(tài)[公式]是滿同態(tài),故[公式]可看作[公式]的同態(tài)象[公式]. 由此我們也看到,兩個(gè)群間的任一個(gè)滿同態(tài)映射,都可以看作一個(gè)群到某一個(gè)商群上的自然同態(tài)；要找出一個(gè)群G的所有同態(tài)象,就相當(dāng)于找出[公式]的所有的商群,他就相當(dāng)于找出[公式]的所有的正規(guī)子群.
第一、二群同構(gòu)定理：
在寫第一、二群同構(gòu)定理之前，我們先寫一個(gè)群同態(tài)基本定理的推論，這將幫助我們更好的引出第一、二群同構(gòu)定理。
定理2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的滿同態(tài)映射，[公式],則
proof：令
[公式]
設(shè)[公式]為[公式]的子群，[公式]，[公式],[公式]，s.t.[公式]，[公式],所以[公式],從而[公式]是[公式]的子群。此時(shí)證明了我們的定義是良定的。
接下來(lái)證明[公式]是雙射
設(shè)[公式],則[公式]是包含[公式]的集合。[公式],有[公式],所以[公式] ,所以[公式],這就證明了[公式]是滿射。
設(shè)[公式],假設(shè)[公式],則有[公式] ,則[公式],則存在[公式],使得[公式],所以[公式],于是[公式] ,則[公式],即[公式],由于[公式]則[公式],這與[公式]的選取是矛盾的，故[公式],所以[公式] 是單射。
(2)令
[公式]
只需要證明[公式],有[公式],即可。 (3)
[公式]
[公式],由于[公式]都是滿同態(tài)，所以[公式]也是滿同態(tài) 可以知道[公式],所以根據(jù)同態(tài)基本定理即可證明定理。
由于[公式]是滿同態(tài)，我們也可以把定理寫著這樣的形式
[公式]
設(shè)[公式]是群，[公式],[公式]是[公式]是[公式]的自然同態(tài)，則[公式] 建立了[公式]中包含[公式]的子群與[公式]的子群之間的雙射，而且把正規(guī)子群映射對(duì)映到正規(guī)子群。
定理3（第一同構(gòu)定理）設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式],[公式] 則[公式]
proof：令
[公式]
因?yàn)閇公式],且[公式],因此[公式],從而有商群[公式] 所以[公式]是一個(gè)滿同態(tài)，于是[公式]就是上述定理③中的[公式],于是有
[公式]
定理4（第二同構(gòu)定理）設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式],[公式],則
此定理的證明可以參照任何一個(gè)抽代課本。
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仲巴縣直齒： ______ 引言: 近世代數(shù)的研究對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng).三個(gè)最基本的代數(shù)系統(tǒng)是群,環(huán),域.其中群是最簡(jiǎn)單的代數(shù)系統(tǒng),因?yàn)樗谝粋€(gè)集合中只定義了一種代數(shù)運(yùn)算.正由于在群中只定義了一種代數(shù)運(yùn)算,也就決定了群中元素之間的聯(lián)系不甚緊密.群內(nèi)的子群反...
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命題2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，[公式],則[公式]的象集合[公式]也是[公式]的子群，特別[公式]
定義2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài),則[公式]的幺元[公式]的完全原象[公式]稱為同態(tài)映射[公式]的核，記為[公式]
命題3：設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式]，令
[公式]
則[公式]是群[公式]到商群[公式]的一個(gè)滿同態(tài)，并且[公式]，我們稱[公式]為自然同態(tài)。
命題4：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，則[公式]
命題5：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的同態(tài)，則[公式]是單同態(tài) [公式],這里[公式]是[公式]的幺元。
proof：[公式] [公式] 是單射（單同態(tài)），則[公式],[公式],則[公式],所以[公式]
[公式] 若[公式],根據(jù)命題1,[公式],所以[公式],由于[公式],所以[公式],[公式],故[公式]是單射，即單同態(tài)。
群同態(tài)基本定理：
定理1（群同態(tài)基本定理） 設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的滿同態(tài)映射，則
[公式]
proof：記[公式],則有[公式] ，令
[公式]
則[公式]是[公式]到[公式] 的映射，接下來(lái)證明[公式] 是良定的，且[公式]是雙射。
接下來(lái)證明[公式]是同態(tài)映射
[公式],由[公式]是同態(tài)，有[公式] ,
所以[公式]是同態(tài)映射，于是[公式]是同構(gòu)映射，故[公式] [公式]
推論1：設(shè)[公式]為一群,[公式]是[公式]到另一群的同態(tài)映射,則[公式]的同態(tài)象[公式]必同構(gòu)于[公式]的商群[公式];反之,[公式]的任一商群都可看作[公式]的同態(tài)象. 反之,設(shè)[公式]是[公式]的任一商群,即有[公式],則[公式]到[公式]的自然同態(tài)[公式]是滿同態(tài),故[公式]可看作[公式]的同態(tài)象[公式]. 由此我們也看到,兩個(gè)群間的任一個(gè)滿同態(tài)映射,都可以看作一個(gè)群到某一個(gè)商群上的自然同態(tài)；要找出一個(gè)群G的所有同態(tài)象,就相當(dāng)于找出[公式]的所有的商群,他就相當(dāng)于找出[公式]的所有的正規(guī)子群.
第一、二群同構(gòu)定理：
在寫第一、二群同構(gòu)定理之前，我們先寫一個(gè)群同態(tài)基本定理的推論，這將幫助我們更好的引出第一、二群同構(gòu)定理。
定理2：設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的滿同態(tài)映射，[公式],則
proof：令
[公式]
設(shè)[公式]為[公式]的子群，[公式]，[公式],[公式]，s.t.[公式]，[公式],所以[公式],從而[公式]是[公式]的子群。此時(shí)證明了我們的定義是良定的。
接下來(lái)證明[公式]是雙射
設(shè)[公式],則[公式]是包含[公式]的集合。[公式],有[公式],所以[公式] ,所以[公式],這就證明了[公式]是滿射。
設(shè)[公式],假設(shè)[公式],則有[公式] ,則[公式],則存在[公式],使得[公式],所以[公式],于是[公式] ,則[公式],即[公式],由于[公式]則[公式],這與[公式]的選取是矛盾的，故[公式],所以[公式] 是單射。
(2)令
[公式]
只需要證明[公式],有[公式],即可。 (3)
[公式]
[公式],由于[公式]都是滿同態(tài)，所以[公式]也是滿同態(tài) 可以知道[公式],所以根據(jù)同態(tài)基本定理即可證明定理。
由于[公式]是滿同態(tài)，我們也可以把定理寫著這樣的形式
[公式]
設(shè)[公式]是群，[公式],[公式]是[公式]是[公式]的自然同態(tài)，則[公式] 建立了[公式]中包含[公式]的子群與[公式]的子群之間的雙射，而且把正規(guī)子群映射對(duì)映到正規(guī)子群。
定理3（第一同構(gòu)定理）設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式],[公式] 則[公式]
proof：令
[公式]
因?yàn)閇公式],且[公式],因此[公式],從而有商群[公式] 所以[公式]是一個(gè)滿同態(tài)，于是[公式]就是上述定理③中的[公式],于是有
[公式]
定理4（第二同構(gòu)定理）設(shè)[公式]是一個(gè)群，[公式],[公式],則
此定理的證明可以參照任何一個(gè)抽代課本。
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
仲巴縣直齒： ______ 如果在同構(gòu)的意義下,顯然你說(shuō)的話是錯(cuò)的.如果不考慮同構(gòu)的因數(shù)的,話那么這句話就是句廢話...你只要賦予群不同的含義,當(dāng)然他就不同了.比如最簡(jiǎn)單的群{e},你讓e是任意整數(shù),定義一個(gè)運(yùn)算,aa=a,就好了.所以說(shuō)是廢話.
仲巴縣直齒： ______ 第一題:一個(gè)同態(tài)是一種感染和滿射 假設(shè)M,M′是兩個(gè)乘集,也就是說(shuō)M和M′是兩個(gè)各具有一個(gè)封閉的具有結(jié)合律的運(yùn)算*與*'的代數(shù)系統(tǒng).σ是M射到M′的映射,并且任意兩個(gè)元的乘積的像是這兩個(gè)元的像的乘積,即對(duì)于M中任意兩個(gè)元a,b,...
仲巴縣直齒： ______ 定理:設(shè)H是G的子群,a,b∈G則aH=bH的充要條件是a-1b∈H 證明:充分性,設(shè)a-1b=h(h屬于H),則b=ah,所以bH=ahH=aH 必要性,因?yàn)閍H=bH,所以對(duì)h屬于H,必存在h1屬于H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1屬于H 證畢!
仲巴縣直齒： ______ 看你是什么代數(shù)系統(tǒng).群環(huán)域等等這些代數(shù)系統(tǒng)都有同態(tài). 一般的都是說(shuō)存在雙射,保持運(yùn)算(預(yù)算的像等于像的運(yùn)算) 以最簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)原群為例 (t,*),(s,#)是兩個(gè)原群 如果存在t到s上的雙射f 且任取a,b屬于f f(a*b)=f(a)#f(b) 那么稱f為同構(gòu)(映射). 稱t,s同構(gòu). 如果映射不雙,稱為同態(tài),類似于映射,可以定義單和滿兩類同態(tài).
仲巴縣直齒： ______ 引言: 近世代數(shù)的研究對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng).三個(gè)最基本的代數(shù)系統(tǒng)是群,環(huán),域.其中群是最簡(jiǎn)單的代數(shù)系統(tǒng),因?yàn)樗谝粋€(gè)集合中只定義了一種代數(shù)運(yùn)算.正由于在群中只定義了一種代數(shù)運(yùn)算,也就決定了群中元素之間的聯(lián)系不甚緊密.群內(nèi)的子群反...
仲巴縣直齒： ______ 基本概念和定義,應(yīng)該去看書啊.1)H是phi的定義域的子域,在H上研究phi時(shí),就稱為phi在H上的限制2)同態(tài)是特定映射的特定屬性,本不需要修飾啊.實(shí)在想指出同態(tài)基于的映射,就在那個(gè)全等符號(hào)上面標(biāo)注一下映射的符號(hào).
仲巴縣直齒： ______[答案] 我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用,例如在物理中的應(yīng)用,群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ).本課程... 定義并討論了正規(guī)子群與商群的概念與性質(zhì).借助于商群的概念證明了群同態(tài)基本定理, 從而對(duì)群的同態(tài)象作出了系統(tǒng)的描...
仲巴縣直齒： ______ 首先,群是一個(gè)集合,它的定義是這樣的: 如果一個(gè)同時(shí)集合滿足下列條件,那么就成為一個(gè)群: 1 該集合中的元素在定義的運(yùn)算下是封閉的,比如說(shuō),我現(xiàn)在定義一個(gè)...
