概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)6——大數(shù)定律及極限定理（Limit Theorems）
樣本均值[公式]的極限行為引出大數(shù)定理，表明隨著樣本數(shù)[公式]的增加，樣本均值無限趨近于真實(shí)分布的期望，且方差逼近于零。這一結(jié)論強(qiáng)化了大樣本理論在實(shí)際分析中的可靠性。
接著，觀察另一個(gè)分布[公式]，其中[公式]，即使[公式]增大，期望與方差保持不變，展示了分布特性對統(tǒng)計(jì)推斷的影響。
一、幾種有用的不等式定理
馬爾可夫不等式指出，非負(fù)隨機(jī)變量均值較小，其取較大值的概率同樣較小。切比雪夫不等式強(qiáng)調(diào)，當(dāng)方差較小時(shí)，隨機(jī)變量遠(yuǎn)離其均值的概率較小。通過變換變量，切比雪夫不等式提供了一種評估概率分布離散程度的方法。
二、弱大數(shù)定律
弱大數(shù)定律描述了獨(dú)立同分布的大量樣本均值趨向于真實(shí)均值的概率極大性。結(jié)合切比雪夫不等式，可以更深入理解弱大數(shù)定律的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
三、概率收斂
概率收斂定義為一系列隨機(jī)變量逐漸接近實(shí)數(shù)的概率過程。結(jié)合弱大數(shù)定理，解釋了樣本均值概率上趨向真實(shí)均值的過程。
以[公式]均勻分布為例，隨著[公式]的增大，[公式]可能變小，因此[公式]概率收斂于0。
四、中心極限定理
中心極限定理闡述了大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和或平均值的分布趨于正態(tài)分布。這一理論在理論與實(shí)踐上都極其重要，特別是在處理大量隨機(jī)噪聲時(shí)。
基于中心極限定理的近似方法涉及三個(gè)步驟：首先定義[公式]，其次計(jì)算[公式]，最后將[公式]與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行比較。這種方法在實(shí)際應(yīng)用中尤為有效。
五、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理
在特定條件下，如一系列隨機(jī)變量服從伯努利分布，德莫佛-拉普拉斯中心極限定理提供了一種計(jì)算[公式]概率的精確方法。通過逐步解析，可以得到更準(zhǔn)確的概率表達(dá)。
六、強(qiáng)大數(shù)定律
強(qiáng)大數(shù)定律強(qiáng)調(diào)了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的平均值在概率意義上趨向于期望值。與弱大數(shù)定理形成對比，它強(qiáng)調(diào)了收斂的必然性。
理解概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的大數(shù)定律及極限定理，有助于深入分析和預(yù)測實(shí)際問題中的概率行為。通過運(yùn)用這些理論，我們能夠更準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、決策制定和風(fēng)險(xiǎn)評估。
概率論三大基本定律
概率論的三大基本定律是：伯努利大數(shù)定律：在獨(dú)立隨機(jī)事件中，如果每個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)無限，那么這些事件發(fā)生的頻率會(huì)無限接近于它們的概率。例如，拋硬幣時(shí)，每次出現(xiàn)正面的概率是1\/2，那么在無限次拋硬幣的情況下，正面出現(xiàn)的頻率會(huì)越來越接近1\/2。中心極限定理：在獨(dú)立隨機(jī)變量中，如果這些變量的和是...
概率論中大數(shù)定理
概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一，又稱弱大數(shù)理論。大數(shù)定律(law of large numbers)，又稱大數(shù)定理[1] ，是一種描述當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。但是注意到，...
為什么說統(tǒng)計(jì)學(xué)的大數(shù)定律對所有的數(shù)據(jù)都有效?
上述收斂是指依概率收斂(in probability)，如果說“強(qiáng)大數(shù)定律”，上述收斂是指幾乎必然收斂(almost surely\/with probability one)。大數(shù)定律通俗一點(diǎn)來講，就是樣本數(shù)量很大的時(shí)候，樣本均值和真實(shí)均值充分接近。這一結(jié)論與中心極限定理一起，成為現(xiàn)代概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、理論科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基石。（有趣的是...
大數(shù)定律的意思
概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。它描述的是隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的規(guī)律，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本定律之一，也被稱為弱大數(shù)理論。大數(shù)定律是一類描述在試驗(yàn)次數(shù)非常大的情況下，隨機(jī)事件呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。有些隨機(jī)事件在單次試驗(yàn)中似乎沒有規(guī)律...
大數(shù)定律的作用是什么?比如說可以用來求什么?
大數(shù)定律 概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律之一，又稱弱大數(shù)理論。發(fā)展歷史 1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。...
大數(shù)定律公式
大數(shù)定律公式為g=log*vn。概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向隨機(jī)變量各數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值收斂的定律。大數(shù)定律概述 大數(shù)定律的定義是，當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率趨近于預(yù)期的概率。可以簡單理解為樣本...
強(qiáng)大數(shù)定律是什么?
伯努利在1713年提出了一個(gè)極限定理，當(dāng)時(shí)這個(gè)定理還沒有名稱，后來人們稱這個(gè)定理為伯努利大數(shù)定律。因此概率論歷史上第一個(gè)有關(guān)大數(shù)定律的極限定理是屬于伯努利的，它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定律，屬于弱大數(shù)定律的范疇。當(dāng)大量重復(fù)某一實(shí)驗(yàn)時(shí)，最后的頻率無限接近事件概率。而伯努利成功地通過數(shù)學(xué)語言...
概率中的大數(shù)定律和假設(shè)檢驗(yàn)用看嗎?
假設(shè)檢驗(yàn)則成為必學(xué)內(nèi)容，因?yàn)樗菙?shù)理統(tǒng)計(jì)的重要組成部分。簡而言之，是否需要學(xué)習(xí)概率論中的“大數(shù)定律”與“中心極限定理”，以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的“假設(shè)檢驗(yàn)”，取決于你的考試內(nèi)容。通常在非數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)的考試中，這兩部分內(nèi)容可以作為補(bǔ)充學(xué)習(xí)，而在數(shù)學(xué)三等包含數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的考試中，則是必修內(nèi)容。
大數(shù)定律是什么
這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。偶然中包含著某種必然。2、概率論歷史上第一個(gè)極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向隨機(jī)變量各數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值收斂的定律。
大數(shù)定律常見大數(shù)定律
大數(shù)定律是概率論中的核心理論，它研究的是隨機(jī)變量序列在大量實(shí)驗(yàn)或觀測下的行為。大數(shù)定律主要有三種形式：依概率收斂的大數(shù)定律、以概率1收斂的大數(shù)定律以及均方收斂的大數(shù)定律。伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律和重對數(shù)定律是幾個(gè)常用的大數(shù)定律。它們分別描述了不同條件下隨機(jī)...
相關(guān)評說：
臨淄區(qū)端面： ______ 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要異同點(diǎn)主要有以下幾方面: 1、從其研究目的來看,兩者都重在揭示總體現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性,而統(tǒng)計(jì)學(xué)更聲稱要以對總體現(xiàn)象的定性認(rèn)識為基礎(chǔ). 2、從其研究的途徑來看,數(shù)理統(tǒng)計(jì)希望通過對總體部分個(gè)體的數(shù)量特征...
臨淄區(qū)端面： ______ 通用解法:1,先設(shè)事件A,B,C;2,寫出題中給出的概率P,如:P(A),P(B),P(C),P(AB),P(B/A)(條件概率),等3,寫出所求概率,如:若求事件A,事件B同時(shí)成立的概率.即所求為P(AB)4,根據(jù)“兩個(gè)原理”導(dǎo)出“所求概率”與“題中給出的概率”之間的關(guān)系,在代入數(shù)值,即可.自己找個(gè)“簡單”的例子試一試.
臨淄區(qū)端面： ______ 首先求隨機(jī)事件的概率要用到高中學(xué)的排列組合知識,完全用不到高數(shù).然后會(huì)涉及到隨機(jī)變量,要用到函數(shù)知識和微積分知識.接下來隨機(jī)變量的數(shù)字特征會(huì)用到一點(diǎn)兒線性代數(shù)里面矩陣的相關(guān)知識.大數(shù)定律和中心極限定理用的也是微積分知識.以上屬于概率論的范疇.數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分就是應(yīng)用概率論的基本理論,研究如何合理地獲取數(shù)據(jù)資料,如何根據(jù)試驗(yàn)和觀察得到的數(shù)據(jù),對隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律性做出種種合理的推斷,是對前面所學(xué)概率論知識的綜合應(yīng)用,當(dāng)然也會(huì)用到函數(shù)和微積分知識.
臨淄區(qū)端面： ______ 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科,是理工、經(jīng)管、文各專業(yè)本科生必修的公共基礎(chǔ)課,是考研數(shù)學(xué)的重要組成部分.該課程需要《高等數(shù)學(xué)》(或稱為《微積分》)的基礎(chǔ),又為高年級的有關(guān)專業(yè)課和碩士...
臨淄區(qū)端面： ______ 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)拿高分的方法. 基本公式要掌握 首先必須會(huì)計(jì)算古典型概率,這個(gè)用高中數(shù)學(xué)的知識就可解決,如果在解古典概率方面有些薄弱,就應(yīng)該系統(tǒng)地把高中數(shù)學(xué)中的概率知識復(fù)習(xí)一遍了,而且要將每類型的概率求解問題都做會(huì)了...
臨淄區(qū)端面： ______[答案] 首先求隨機(jī)事件的概率要用到高中學(xué)的排列組合知識,完全用不到高數(shù).然后會(huì)涉及到隨機(jī)變量,要用到函數(shù)知識和微積分知識.接下來隨機(jī)變量的數(shù)字特征會(huì)用到一點(diǎn)兒線性代數(shù)里面矩陣的相關(guān)知識.大數(shù)定律和中心極限定理用的也是微積分知識.以上...
臨淄區(qū)端面： ______ 1、定義不同 不都發(fā)生指的是有一部分發(fā)生,一部分不發(fā)生,也可以是全部不發(fā)生.都不發(fā)生指的是全部不發(fā)生. 2、數(shù)學(xué)表達(dá)不同 設(shè)有事件A和事件B A和B不都發(fā)生等價(jià)于A和B有可能發(fā)生,但不同時(shí)發(fā)生 等價(jià)于P(A)≥0,P(B)≥0,P(AB)=0(A發(fā)生B...
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臨淄區(qū)端面： ______[答案] 用的是切比雪夫大數(shù)律,隨機(jī)變量兩兩不相關(guān),只要隨機(jī)變量有有限方差和公共上界就可以了. E(Xn)=-a/(2n+1),E(Xn2)=a2,所以 D(Xn)=E(Xn2)-E(Xn)2
臨淄區(qū)端面： ______ 第一章,古典概型的題目很難做,不過不要緊,只要基本的會(huì)做就可以了,有的事件數(shù)數(shù)不清楚的題目,不做也沒有什么關(guān)系的. 第二、三章,隨機(jī)變量部分,一般學(xué)生覺得多維隨機(jī)變量難學(xué),其實(shí)只要概念理解了,實(shí)際并不難. 第四章,數(shù)字特征,純粹是一些公式,會(huì)用就可以了. 以上三章是概率論的重點(diǎn)內(nèi)容. 第五章,大數(shù)定律與中心極限定理,略過也罷. 以上是概率論內(nèi)容. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)都是很死的內(nèi)容,會(huì)依樣畫葫蘆就行.
