線性規(guī)劃(LP)基本概念和搜索算法
可以用一個(gè)符號(hào)描述一系列類似的數(shù)量值
一個(gè)方程，如果他是關(guān)于決策變量的常熟加權(quán)求和形式，則該方程式 線性方程(liner) ，佛則該方程為 非線性方程(non-linear)
目標(biāo)函數(shù) 以及約束方程 中均為關(guān)于決策變量的線性方程，則該優(yōu)化模型為 線性規(guī)劃(linear program, LP) ，其中目標(biāo)函數(shù)可以為滿足約束的任意整數(shù)或者分?jǐn)?shù)
目標(biāo)函數(shù) 以及約束方程 中存在關(guān)于決策變量的線性方程，則該優(yōu)化模型為 非線性規(guī)劃(nonlinear program, LP) ，其中目標(biāo)函數(shù)可以為滿足約束的任意整數(shù)或者分?jǐn)?shù)
一個(gè)優(yōu)化模型，如果他的決策變量中存在離散變量，則該優(yōu)化模型位 整數(shù)規(guī)劃(integer program, IP) ，如果整數(shù)規(guī)劃的所有決策變量均為離散變量，則該整數(shù)規(guī)劃為 純整數(shù)規(guī)劃(pure integer program) ；否則為 混合整數(shù)規(guī)劃(mixed integer program) 。
搜索算法(improving search) 通過(guò)檢查鄰域來(lái)尋找比當(dāng)前更好地解，若有改進(jìn)則替換當(dāng)前解，繼續(xù)迭代，直到鄰域中沒(méi)有更好的解為止。搜索算法又稱為 局部改進(jìn)(local improvement) ， 爬山算法(hillclimbing) ， 局部搜索(local search) 或 鄰域搜索(neighborhood search)
倘若一組可行解周圍足夠小的的鄰域內(nèi)沒(méi)有優(yōu)于該解的可行點(diǎn)，則稱為 局部最優(yōu)解(local optimum) ，最小化(最大化)問(wèn)題存在 局部最小(最大)解 。
如果在全局范圍內(nèi)不存在目標(biāo)值優(yōu)于某可行解的其他可行點(diǎn)，則稱為 全局最優(yōu)解(global optimum) ，最小化(最大化)問(wèn)題存在 全局最小(最大)解
搜索算法沿 由當(dāng)前點(diǎn) 向下一個(gè)搜索點(diǎn) 移動(dòng)，其中 是當(dāng)前點(diǎn) 處的 搜索方向(move direction) ， 是沿該方向前進(jìn)的 步長(zhǎng) ， 。
對(duì)于所有足夠小的 都有 ,則稱 是當(dāng)前解的一個(gè) 改進(jìn)方向(improving direction) ,如果滿足所有約束條件，則為 可行改進(jìn)方向 。
如果優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù) 是光滑的(所有決策變量都是可微的)，那么，當(dāng) 是一個(gè)n維向量的函數(shù)，當(dāng)它有一個(gè)一階片倒數(shù)，這些導(dǎo)數(shù)組成的n維向量稱為 梯度
導(dǎo)數(shù)(derivative) ，描述函數(shù)隨參數(shù)的變化率，可以看做斜率。 偏導(dǎo)數(shù)(partial derivative) ，是保持其他變量恒定時(shí)，關(guān)于其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)
對(duì)于最大化目標(biāo)函數(shù) ,若 ，搜索方向 是 處的可改進(jìn)方向，若 ，搜索方向 不是 處的可改進(jìn)方向。
對(duì)于最小化目標(biāo)函數(shù) ,若 ，搜索方向 是 處的可改進(jìn)方向，若 ，搜索方向 不是 處的可改進(jìn)方向。
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)梯度 ，是最大化目標(biāo) 的一個(gè)改進(jìn)方向， 是最小化目標(biāo)函數(shù) 的一個(gè)改進(jìn)方向
如果可行域內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線都在可行域內(nèi)，則稱該可行域?yàn)?strong> 凸集 。
離散的可行集總是非凸集
若優(yōu)化模型的可行集是凸集，那么對(duì)任意可行解始終存在指向另一個(gè)解的可行方向，意味著，只要存在最優(yōu)解，可能性不會(huì)阻礙局部最優(yōu)解發(fā)展為全局最優(yōu)解。
線性約束的可行集又稱為多面體集。
如果優(yōu)化模型的所有約束都是線性的，那么該模型的可行域是凸集
兩階段法
大M法
內(nèi)點(diǎn)法介紹(Interior Point Method)
內(nèi)點(diǎn)法介紹（Interior Point Method）內(nèi)點(diǎn)法（Interior Point Method，簡(jiǎn)稱IPM）是優(yōu)化領(lǐng)域中用于解決帶約束的優(yōu)化問(wèn)題的一種高級(jí)算法。它與傳統(tǒng)方法如單純形法（Simplex Method）和有效集法（Active Set Method）相比，展現(xiàn)了在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度下的高效性能，特別是對(duì)于線性規(guī)劃（LP）和二次規(guī)劃（QP）問(wèn)題...
軌跡優(yōu)化09. 硬約束 & 軟約束(2)
在矩陣論中，軟約束體現(xiàn)為最小二乘與最小范數(shù)，硬約束則通過(guò)拉格朗日乘子保證嚴(yán)格滿足。凸優(yōu)化問(wèn)題，如線性規(guī)劃（LP）與二次規(guī)劃（QP），擁有高效求解算法。QP問(wèn)題需確保二次型系數(shù)的對(duì)稱正定性。計(jì)算機(jī)工具中，數(shù)值優(yōu)化與現(xiàn)代優(yōu)化相關(guān)書(shū)籍提供了求解優(yōu)化問(wèn)題的方法。軟約束實(shí)現(xiàn)通常通過(guò)范數(shù)，罰函數(shù)分為外...
在凸優(yōu)化中,目標(biāo)函數(shù)必須是凸函數(shù)嗎
線性規(guī)劃問(wèn)題常見(jiàn)于資源分配、生產(chǎn)計(jì)劃等場(chǎng)景，二次規(guī)劃則用于信號(hào)處理、控制理論等領(lǐng)域，QCQP在信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)中應(yīng)用較多，而SDP廣泛應(yīng)用于組合優(yōu)化、信號(hào)處理、控制理論等。凸優(yōu)化問(wèn)題之所以重要，是因?yàn)樗鼈兛梢源_保優(yōu)化過(guò)程中的局部最優(yōu)解即是全局最優(yōu)解，這大大簡(jiǎn)化了優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)和分析。此外，許多...
四、Minimum Snap軌跡規(guī)劃
為解決多項(xiàng)式系數(shù)優(yōu)化帶來(lái)的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造映射矩陣將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化分段軌跡的邊界值和各階導(dǎo)數(shù)。使用選擇矩陣區(qū)分固定約束和待優(yōu)化變量，轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的二次規(guī)劃問(wèn)題，可使用封閉形式求解。在生成軌跡時(shí)，需確保避碰。初始路徑點(diǎn)由RRT或A*算法生成，可能存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)Minimum Snap生成的軌跡，通過(guò)在碰撞...
LP問(wèn)題進(jìn)階 Part 1 | 單純形法
為方便查閱，再link一下 教材 。假設(shè)我們討論的LP問(wèn)題有 個(gè)變量與 個(gè)限制條件。基本概念部分大概就是這些。第一次看不用要求自己完全理解，不妨先繼續(xù)往下學(xué)習(xí)再慢慢理解這些概念。單純形方法的示意圖如下：我們先從一下四點(diǎn)直觀的認(rèn)識(shí)入手。由于書(shū)上根本就沒(méi)有優(yōu)化操作的概念，所以在此我自己給出其...
ADMM之QCQP問(wèn)題
該方法分為兩個(gè)步驟：首先生成可行解或目標(biāo)值較低的近似解，然后提供更嚴(yán)格的下界估計(jì)。"Lift-and-project" 方法是通過(guò)三個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)的：若在第二步中僅去掉秩-1約束，就得到秩一松弛（SDR），即標(biāo)準(zhǔn)形式下的 SDP；如果進(jìn)一步移除秩-1和正定性約束，則轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃（LP），常用切割平面算法處理。對(duì)于...
《星露谷物語(yǔ)》農(nóng)作物種植策略分享
容易看到這是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃（ILP）問(wèn)題。熟悉算法的應(yīng)該知道，0-1 ILP（變量只取0或1的ILP）是NP難問(wèn)題，所以本問(wèn)題也是一個(gè)NP難問(wèn)題。因此本帖僅是找一個(gè)（可能有多個(gè)方案）盡可能好的解，不能給出全部最優(yōu)解。如果我們把X是整數(shù)的條件去掉，則變?yōu)镻類的線性規(guī)劃（LP），這是很容易求得最...
LP轉(zhuǎn)制是什么意思?
LP轉(zhuǎn)制是將一種優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)線性規(guī)劃重新加以表述的過(guò)程。意思是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃形式，并采用線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。這樣處理后，可以更加方便地解決這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。LP轉(zhuǎn)制的優(yōu)點(diǎn)在于它可以將各種優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃形式。這種形式的優(yōu)化問(wèn)題可以使用先進(jìn)的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解，解法...
路徑規(guī)劃常用得幾種算法
D*算法在動(dòng)態(tài)環(huán)境中表現(xiàn)出色，從目標(biāo)點(diǎn)反向搜索，增量式更新節(jié)點(diǎn)距離度量信息H(x)，若遇到障礙，基于已有信息重新規(guī)劃路徑，無(wú)需重新規(guī)劃整個(gè)路徑。LPA*算法在動(dòng)態(tài)環(huán)境中也表現(xiàn)出優(yōu)越性。從起點(diǎn)正向搜索，依據(jù)節(jié)點(diǎn)的Key值順序，Key值包含啟發(fā)式函數(shù)h項(xiàng)指導(dǎo)搜索方向。在動(dòng)態(tài)環(huán)境中，通過(guò)利用先前計(jì)算的g值，...
高一的線性規(guī)劃應(yīng)用題怎么解,說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn)
目標(biāo)函數(shù)是利潤(rùn)z=15x1+20x2;約束條件是木工、漆工每周勞動(dòng)時(shí)間：(1)4x1+8x2<=8000 (2)2x1+x2<=1300 除此外，還有明顯的規(guī)劃約束x1>=0,x2>=0.這樣可得lp為：max z=15x1+20x2 s.t.4x1+8x2<=8000;2x1+x2<=1300;x1>=0,x2>=0.規(guī)劃求解可用單純形算法。不過(guò)，對(duì)于二元線性規(guī)劃，...
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
賓川縣回風(fēng)： ______ LP是許多英文單詞的縮寫. Linkin Park(林肯公園)的簡(jiǎn)稱 “糧票”的縮寫 卡片游戲<<游戲王>>中代表玩家的生命值. LP也是網(wǎng)絡(luò)流行語(yǔ)之一,意思是老婆(LP為老婆漢語(yǔ)拼音首字母),常常用于開(kāi)玩笑似的認(rèn)親. Leadership Program 「...
賓川縣回風(fēng)： ______ 物流管理理論中的LP代表 精益生產(chǎn)
賓川縣回風(fēng)： ______ 1.二元一次不等式表示平面區(qū)域. (1)一般地,二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一 側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線;不等式所表示的平面區(qū)域 (半平面)包括邊界線. (2)判定不等式(或)所表示的平面...
賓川縣回風(fēng)： ______ 1.目標(biāo)函數(shù)2.現(xiàn)行目標(biāo)函數(shù)
賓川縣回風(fēng)： ______ 什么是線性規(guī)劃方法? 線性規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)中發(fā)展起來(lái)的一種重要的數(shù)量方法,線性規(guī)劃方法是企業(yè)進(jìn)行總產(chǎn)量計(jì)劃時(shí)常用的一種定量方法.線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)最重要的分支,理論上最完善,實(shí)際應(yīng)用得最廣泛.主要用于...
賓川縣回風(fēng)： ______ 一、線性規(guī)劃單純形法的概念 (一)線性規(guī)劃單純形解法的基本思路 若一個(gè)凸集僅包含有限個(gè)極點(diǎn),則稱此凸集為單純形.線性規(guī)劃的可行域是單純形(證明略,但可以從上節(jié)圖解...
賓川縣回風(fēng)： ______ 列生成 設(shè)yi(i∈N\{0})為前述線性規(guī)劃(LP)的對(duì)偶變量(dual variable),則對(duì)應(yīng)可 行路線r=(0,i1,i2, …, ik, 0)有即約代價(jià)(reduced cost)fr: 它可表示為r上弧的邊際代價(jià)(marginal cost)之和: 這里弧(i,j)的邊際代價(jià)定義為 fij=Cij-yj,(i,j)∈r ...
賓川縣回風(fēng)： ______ Min w=300y1+200y2+300y3 St. 9y1+4y2+3y3>=7 4y1+5y2+10y3>=12 y1,y2,y3>=0
