射影定律直角三角形射影定理
（1）\(BD^2 = AD \cdot DC\)
（2）\(AB^2 = AD \cdot AC\)
（3）\(BC^2 = CD \cdot CA\)
其中，（1）式表示斜邊上的高平方等于兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項。
接下來，我們通過證明進一步闡述直角三角形射影定理的原理。證明步驟如下：
一、通過三角形相似比推算定理：
在△BAD與△CBD中，由于∠ABD與∠CBD之和為90°，且∠CBD與∠C之和也為90°，這意味著∠ABD等于∠C。同時，兩個三角形都有直角，即∠BDA等于∠BDC等于90°，因此△BAD與△CBD相似。基于相似三角形的比例關系，我們可以得到：
\(AD / BD = BD / CD\)
從而得出：
\(BD^2 = AD \cdot DC\)
其余的定理（2）和（3）可通過類似方式證明，即利用相似三角形的性質來推導。
二、利用勾股定理證明射影定理：
已知三角形中∠A=90°，AD為高。
通過勾股定理，可以得出：
\(AD^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2\)
將上式兩邊乘以2，得到：
\(2AD^2 = AB^2 + AC^2 - BD^2 - CD^2\)
利用等式\(BD^2 + CD^2 = BC^2\)（直角三角形的性質），上述式子可以簡化為：
\(2AD^2 = AB^2 + AC^2 - BC^2\)
將\(AD^2 = BD \cdot CD\)代入，得到：
\(2 \cdot BD \cdot CD = AB^2 + AC^2 - BC^2\)
將\(2 \cdot BD \cdot CD\)等價轉換為\(AB \cdot BC\)，并結合勾股定理\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)，最終得到：
\(AB^2 = AD \cdot AC\)
\(BC^2 = CD \cdot CA\)
將上述兩個等式相加，即可證得直角三角形射影定理的另一個重要結論，即勾股定理：
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
通過以上證明，我們不僅理解了直角三角形射影定理的具體內涵，也進一步證明了勾股定理的正確性，展示了幾何學中定理之間的內在聯(lián)系和相互驗證的邏輯。
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