怎么理解矩陣的特征值和特征向量 如何理解矩陣特征值
答：線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換），從而得出矩陣是線性空間里的變換的描述。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)（變換）的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言： 是矩陣， 是向量， 相當(dāng)于將 作線性變換從而得到 ，從而使得矩陣 （由n個(gè)向量組成）在對(duì)象或者說向量 上的變換就由簡單的實(shí)數(shù) 來刻畫，由此稱 為矩陣A的特征值，而 稱為 對(duì)應(yīng)的特征向量。
總結(jié)來說，特征值和特征向量的出現(xiàn)實(shí)際上將復(fù)雜的矩陣由實(shí)數(shù)和低維的向量來形象的描述（代表），實(shí)現(xiàn)了降維的目的。在幾何空間上還可以這樣理解：矩陣A是向量的集合，而 則是向量的方向， 可以理解為矩陣A在 方向上作投影，而矩陣又是線性空間變換的描述，所以變換后方向保持不變，僅是各個(gè)方向投影后有個(gè)縮放比例 。
特征值和特征向量是刻畫矩陣特點(diǎn)的重要性質(zhì)
如何理解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量?
該情況的性質(zhì)需要分類討論，例子如下：1、如果實(shí)對(duì)稱矩陣每行元素之和都相等，那么這個(gè)常數(shù)就是矩陣的一個(gè)特征值，而全1向量就是對(duì)應(yīng)的特征向量。例如，如果3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3，那么3就是A的一個(gè)特征值，而[1,1,1]就是對(duì)應(yīng)的特征向量。2、如果實(shí)對(duì)稱矩陣每行元素之和都不相等，...
如何形象地理解特征值和特征向量
特征值和特征向量來自對(duì)矩陣的特征分解。矩陣本質(zhì)上是線性變換，最開始是用來解線性方程組的。線性方程組不就可以看成是從變量X到Y(jié)的變換嘛。那什么是特征值呢？假設(shè)我們現(xiàn)在用矩陣A對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行線性變換，坐標(biāo)系中變換前后方向不變的向量即是矩陣A的特征向量。最簡單的例子，考慮將一個(gè)正方形木框擠壓...
如何理解矩陣特征值
三、幾何意義：在幾何學(xué)中，矩陣的特征值和特征向量可以用來描述圖形變換的性質(zhì)。例如，在一個(gè)二維平面上，矩陣可以表示旋轉(zhuǎn)、縮放等變換。特征值和特征向量可以幫助我們理解這種變換的性質(zhì)和方向。特征值的大小反映了變換的“程度”，而特征向量的方向則代表了變換的主要方向。四、物理應(yīng)用：在物理學(xué)的許多...
特征值跟特征向量之間什么關(guān)系
不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定線性無關(guān)，這是特征向量的基本性質(zhì)之一。相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，所以它們具有相同的特征值。如果矩陣A與矩陣B相似，即存在滿秩矩陣P使得B=P-1AP成立，那么矩陣B的特征值和特征向量同樣可以由矩陣A的特征值和特征向量通過線性變換得到。一個(gè)n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分...
特征值向量與特征向量有什么區(qū)別?
特征值向量對(duì)于矩陣而言的，特征向量有對(duì)應(yīng)的特征值，如果Ax=ax，則x就是對(duì)應(yīng)于特征值a的特征向量。而解向量是對(duì)于方程組而言的，就是“方程組的解”，是一個(gè)意思。基礎(chǔ)解系和特征向量的關(guān)系可以通過以下例子理解：A是矩陣，x是n維向量，基礎(chǔ)解系是齊次方程組Ax=0的解，特征向量是由(A-λE)x=0...
如何理解特征值和特征向量?
f（2）＝2＾2＋3＊2－1＝9 f（2）＝9 特征值是指設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個(gè)特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。
線性代數(shù)的本質(zhì)(10)-特征值與特征向量
見證著變換后的世界。特征值則像尺子，測量著這個(gè)世界的縮放。在計(jì)算中，它們?yōu)槲覀兘沂玖司仃囆袨榈膬?nèi)在規(guī)律。總結(jié)起來，特征向量和特征值是線性代數(shù)中的關(guān)鍵概念，它們不僅幫助我們理解線性變換，還在矩陣運(yùn)算中扮演了至關(guān)重要的角色。深入理解這些概念，無疑將使你的數(shù)學(xué)之旅更加通透。
特征向量&&特征值
而A和E都是確定的，所以最終我們是要求出符合這個(gè)結(jié)論的[公式] 來就是其特征值！從上我們也可以得到如下 三、計(jì)算 [公式]直接用行列式的計(jì)算公式就可以算出來[公式] 特征值。行列式代指的是新基底的"面積"擴(kuò)大縮小(二維空間的面積、三維空間的體積)。幾何意義：矩陣的特征向量，本質(zhì)就是其旋轉(zhuǎn)軸(...
(八)特征值與特征向量
三角矩陣的特征值即對(duì)角元素。對(duì)稱矩陣和簡化后的對(duì)稱陣，特征值可能不同。相似矩陣的特征值相同，但特征向量不一定。特征值的幾何意義限制了它們對(duì)應(yīng)的特征向量空間維度。特征值的和等于矩陣的跡，乘積等于行列式。深入理解這些性質(zhì)需要進(jìn)一步的數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)踐，對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣的特殊情況，還需進(jìn)一步研究。
什么是矩陣的特征值以及其物理意義
矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中的核心概念，對(duì)于理解線性變換的性質(zhì)至關(guān)重要。首先，讓我們深入探討矩陣的特征值定義。若A是一個(gè)n階方陣，存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得等式Ax=mx成立，則稱m為A的特征值，而向量x則被稱為A屬于特征值m的特征向量或本征向量。簡言之，特征向量在矩陣A的作用下...
相關(guān)評(píng)說：
青山區(qū)徑向： ______ 特征值和特征向量,是矩陣的一個(gè)很重要的屬性,是表征和研究線性變換不變量的重要指標(biāo).
青山區(qū)徑向： ______[答案] 特征向量的幾何意義 特征向量確實(shí)有很明確的幾何意義,矩陣(既然討論特征向量的問題,當(dāng)然是方陣,這里不討論廣義特征向量的概念,就是一般的特征向量)乘以一個(gè)向量的結(jié)果仍 是同維數(shù)的一個(gè)向量,因此,矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換,把一...
青山區(qū)徑向： ______ 矩陣的特征值和特征向量可以揭示線性變換的深層特性
青山區(qū)徑向： ______[答案] 一矩陣A作用與一向量a,結(jié)果只相當(dāng)與該向量乘以一常數(shù)λ.即A*a=λa,則a為該矩陣A的特征向量,λ為該矩陣A的特征值.本征值和本征向量為量子力學(xué)術(shù)語,對(duì)矩陣來講與特征值和特征向量定義一樣.但本征值不僅限于矩陣,對(duì)微分...
青山區(qū)徑向： ______ 對(duì)于一個(gè)n階矩陣A,存在實(shí)數(shù)k與向量a使得Aa=ka,實(shí)數(shù)k叫做矩陣A的一個(gè)特征值,向量a叫做矩陣A的特征值k對(duì)應(yīng)的特征向量 任意一個(gè)n階矩陣都有n個(gè)特征值(即特征方程|kE-A|=0的n個(gè)根,重根按重?cái)?shù)計(jì))及n個(gè)對(duì)應(yīng)的特征向量
青山區(qū)徑向： ______ 對(duì)于給定矩陣A,尋找一個(gè)常數(shù)λ(可以為復(fù)數(shù))和非零向量x,使得向量x被矩陣A作用后所得的向量Ax與原向量x平行,并且滿足Ax=λx.
青山區(qū)徑向： ______ “特征”一詞來自德語的eigen.1904年希爾伯特首先在這個(gè)意義下使用了這個(gè)詞,更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過該詞.eigen一詞可翻譯為“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“個(gè)體的”—這強(qiáng)調(diào)了特征值對(duì)于定義特定的變換有多重要. 定義 空間上的變換—如平移(移動(dòng)原點(diǎn)),旋轉(zhuǎn),反射,拉伸,壓縮,或者這些變換的組合;以及其它變換—可以通過它們?cè)谙蛄可系淖饔脕盹@示.向量可以用從一點(diǎn)指向另一點(diǎn)的箭頭來表示. 變換的特征向量是指在變換下不變或者簡單地乘以一個(gè)縮放因子的非零向量[3].
青山區(qū)徑向： ______ 特征值與特征向量之間關(guān)系: 1、屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān). 2、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因而有相同的特征值. 3、設(shè)x是矩陣a的屬于特征值1的特征向量,且a~b,即存在滿秩矩陣p使b=p(-1)ap,則y=p(-1)x是矩陣b的屬...
青山區(qū)徑向： ______ 設(shè)特征值為t,特征向量為X,單位矩陣記為E,原矩陣記為A 由特征值的定義,有AX=tX,即(tE-A)X =0 我們知道特征向量是非零的.而上述方程要有非零解,必須滿足(tE-A)不可逆(否則我們?cè)诜匠虄蛇呁瑫r(shí)乘以(tE-A)的逆矩陣,就得...
青山區(qū)徑向： ______[答案] 對(duì)于任意方陣A,首先求出方程|λE-A|=0的解,這些解就是A的特征值,再將其分別代入方程(λE-A)X=0中,求得它們所對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)解系,則對(duì)于某一個(gè)λ,以它所對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)解系為基形成的線性空間中的任意一個(gè)向量,均為λ所對(duì)應(yīng)的特征向量.
