數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)筆記：最小二乘估計(jì)
歡迎來到我們的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)筆記，今天我們將深入探討備受青睞的最小二乘估計(jì)方法，尤其在線性模型中的應(yīng)用。首先，讓我們聚焦于Gauss-Markov模型，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要基石：
線性模型中的核心公式：</
令 Y</ 為 n 維觀測向量，X</ 是 p x n 級設(shè)計(jì)矩陣，β</ 是我們想要估計(jì)的 p 維參數(shù)，但 ε</ 為未知的隨機(jī)誤差，通常假設(shè)服從均值為零的正態(tài)分布。這種模型，記作 Y = Xβ + ε</，是眾多統(tǒng)計(jì)分析的出發(fā)點(diǎn)。
最小二乘估計(jì)的定義：</
當(dāng)我們有 E(ε|X) = 0</ 且 Var(ε|X) = σ²I</ 的假設(shè)時(shí)，如果存在向量 β^</ 滿足 (X'X)β^ = X'Y</，則稱 β^</ 為 β</ 的最小二乘估計(jì)，簡稱 LSE。
定理1：統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石：</若 X'X</ 可逆，那么 β^</ 是 β</ 的無偏估計(jì)；當(dāng) X</ 是列滿秩矩陣時(shí)，β^</ 的估計(jì)誤差的協(xié)方差為 σ²(X'X)^(-1)</。
定理2：BLUE的威力：</在列滿秩的 X</ 條件下，最小二乘估計(jì)是 β</ 的最好線性無偏估計(jì)（BLUE），意味著沒有其他線性估計(jì)方法能提供更低的均方誤差。
對于 β_0</ 的估計(jì)，我們通常需通過非線性方法，因?yàn)槠淞烤V限制了直接的線性估計(jì)。于是，我們引入偏差平方和的概念，通過二次函數(shù)來逼近 β_0</，其無偏估計(jì)可通過特定公式得出。
定理3：完備充分統(tǒng)計(jì)量的角色：</在 Y = Xβ + ε</ 中，當(dāng)特定假設(shè)成立時(shí)，β^</ 和 β_0^</ 分別是 β</ 和 β_0</ 的無偏估計(jì)，同時(shí)它們也是完備充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，從而達(dá)到最優(yōu)無偏估計(jì)（UMVUE）。
加權(quán)最小二乘估計(jì)在條件不滿足時(shí)，雖然不是BLUE，但仍然是 β</ 的線性無偏估計(jì)。在廣義 Gauss-Markov 模型中，通過引入權(quán)重矩陣，我們可以得到加權(quán)整體最小二乘估計(jì)，這是在條件放寬后的最優(yōu)線性無偏估計(jì)。
最后，盡管最小二乘估計(jì)在尋找參數(shù)估計(jì)時(shí)表現(xiàn)出色，但它并不涉及對樣本本身的修正，因?yàn)闃颖颈旧戆巳啃畔ⅰ＿@在邏輯上是明確的，我們無法通過修正樣本來消除噪聲。
證明環(huán)節(jié)：</ 證明 β^</ 是 β</ 的無偏估計(jì)，需要對 (X'X)^(-1)X'Y</ 進(jìn)行細(xì)致的計(jì)算。通過矩陣運(yùn)算，我們可以看到 β^</ 的無偏性，尤其是在 X</ 為列滿秩矩陣時(shí)，其特征向量和特征值的性質(zhì)保證了無偏估計(jì)的性質(zhì)。
概率論太難了學(xué)不會咋辦?
💫3.沖刺階段 首先，提高速度，每種題型都要熟練，在規(guī)定的時(shí)間做對；其次，通過模擬卷，接觸一些新類型的題目或者改編的題目，拓寬思路。三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重難點(diǎn) 💫1.隨機(jī)變量和概率 五大概率公式要熟練（加法、減法、乘法、全概率和貝葉斯公式），熟悉常見的概率模型。💫...
量化投資學(xué)習(xí)筆記63——CFA一級筆記02:定量方法:描述統(tǒng)計(jì)學(xué)
利率作為連接不同時(shí)間現(xiàn)金流的量，現(xiàn)以一個(gè)例子說明：如果現(xiàn)在付出9500元，一年后收到10000元，利率則為500\/9500=0.0526，即5.26%。理解利率有三個(gè)層面：一是投資者接受投資的最小收益率，二是對未來貨幣的折扣率，三是機(jī)會成本，即投資者放棄其他選擇的成本。經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為利率由無風(fēng)險(xiǎn)利率、通貨膨脹...
小學(xué)生學(xué)習(xí)乘法時(shí)要注意什么問題呢?
二、乘法的運(yùn)算定律：整數(shù)的乘法運(yùn)算滿足：交換律，結(jié)合律，分配律，消去律。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，運(yùn)算的對象從整數(shù)發(fā)展為更一般群。群中的乘法運(yùn)算不再要求滿足交換律。最有名的非交換例子，就是哈密爾頓發(fā)現(xiàn)的四元數(shù)群。但是結(jié)合律仍然滿足。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：1、做好預(yù)習(xí) 單元預(yù)習(xí)時(shí)粗讀，了解近階段的學(xué)習(xí)...
ISLR學(xué)習(xí)筆記-2-線性回歸(2)(linear regression)
非恒定方差：通過轉(zhuǎn)換（如log）或加權(quán)最小二乘消除。 異常值和高杠桿點(diǎn)：影響模型精度和RSE，通過殘差圖識別并處理。 共線性：通過VIF檢測，處理方法包括刪除變量或合并共線性變量。2.4 線性回歸與K-近鄰比較- 線性回歸為參數(shù)法，假設(shè)函數(shù)形式，優(yōu)點(diǎn)是易于擬合和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，但假設(shè)不準(zhǔn)確時(shí)效果差...
...ALS分析GUI的算法原理和操作流程的學(xué)習(xí)筆記
因?yàn)閷?shí)習(xí)工作需求，接觸了MCR-ALS（多元曲線分析-迭代最小二乘法）分析方法，本篇文章將記錄MCR-ALS算法學(xué)習(xí)筆記與GUI操作流程。MCR-ALS算法主要應(yīng)用于可模擬或擬合雙線性模型的數(shù)據(jù)分析。雙線性函數(shù)定義為公式，廣泛用于波譜方法采集的數(shù)據(jù)分析，如高效液相色譜、電化學(xué)曲線或色譜、光譜、質(zhì)譜、波譜等。算法...
CS224n學(xué)習(xí)筆記(三)GloVe
代價(jià)函數(shù)cost function考慮了詞頻權(quán)重，權(quán)重函數(shù)[公式]需滿足特定條件。GloVe從全局交叉熵的角度出發(fā)，通過最小二乘損失函數(shù)簡化計(jì)算，用[公式]替代softmax分母。盡管GloVe與skip-gram類似，但通過最小二乘損失函數(shù)，它簡化了計(jì)算，使得基于共現(xiàn)統(tǒng)計(jì)信息的詞向量學(xué)習(xí)方法更易于實(shí)現(xiàn)和優(yōu)化。GloVe算法的提出，...
四年級上數(shù)學(xué)學(xué)什么
9、表示物體個(gè)數(shù)的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…都是自然數(shù)。一個(gè)物體也沒有用0表示, 0也是自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0,沒有最大的自然數(shù),自然...問題二:請問小學(xué)四年級上冊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)是什么? 平行四邊形和梯形、統(tǒng)計(jì),是小學(xué)四年級上冊數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。 大數(shù)的認(rèn)識,兩位數(shù)的乘、除法,角度的認(rèn)識,是重點(diǎn)...
求小學(xué)六年級的學(xué)習(xí)資料(最好筆記多一點(diǎn),講解多一點(diǎn))
2.使學(xué)生了解周長的概念,會計(jì)算長方形、正方形的周長。 3.通過對長度和周長的估計(jì),培養(yǎng)學(xué)生的長度觀念。 三、編排特點(diǎn) 1.從日常生活中引入幾何概念,使學(xué)生在熟悉的情境中學(xué)習(xí)幾何知識。 利用校園的情境認(rèn)識四邊形和平行四邊形。利用學(xué)生熟悉的事物(樹葉、教科書、小國旗、鐘面)來認(rèn)識和計(jì)算周長。 2.利用活動(dòng)鞏固...
凸優(yōu)化極簡筆記(一):Ridge regression
在實(shí)驗(yàn)中，脊回歸相較于普通最小二乘法，能提供更為穩(wěn)定的系數(shù)估計(jì)。通過仿真實(shí)驗(yàn)，可以看到脊回歸在處理有噪聲數(shù)據(jù)時(shí)，其系數(shù)估計(jì)的方差更小。L1范數(shù)和L2范數(shù)作為凸函數(shù)的實(shí)例，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)可在泛函分析中找到詳盡解釋。理解凸函數(shù)與凸優(yōu)化問題的聯(lián)系，對于深入學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)建模具有重要意義。
Invariant Risk Minimization系列閱讀筆記
5. **擴(kuò)展至多變量輸出與一般損失**：考慮非線性數(shù)據(jù)表示時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)膽土P項(xiàng)，使其與最小二乘損失等價(jià)。《Failure cases for Domain Adaptation》DA方法在處理數(shù)據(jù)邊緣分布與條件分布不同時(shí)，存在局限性。DA方法概述 - **傳統(tǒng)DA**：大多數(shù)DA方法嘗試對齊數(shù)據(jù)的邊緣分布和特征分布，通過學(xué)習(xí)統(tǒng)一表示來...
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托克托縣上旋： ______ 第一題,總體分布的一階矩,二階矩以及更高階的矩都是正無窮,但是似乎可以將x進(jìn)行變換.得到新的分布.不好意思啊,我沒看你的要求,一直在做第三題,浪費(fèi)了不少時(shí)間..不過第一題也算了我好久.你看看對你有沒有幫助~ 如果可以的話,我可以看看第二題和第三題的結(jié)果嗎?第二題我看不懂啊啊..還有第三題的無偏估計(jì)..雖然第一小問計(jì)算了協(xié)方差,就是theta方的倍數(shù),但是,那個(gè)好像不能用來作為估計(jì)吧..
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