離散數(shù)學(xué)題，求證循環(huán)群的子群仍是循環(huán)群？
設(shè)G為循環(huán)群，那么G有生成元x，使得任何非單位元g屬于G，均存在最小的正整數(shù)n，滿足g=x^n。因此若H是G的子群,其任何元素非單位元h，均有h=x^n的形式。
不妨設(shè)d>0是滿足x^d屬于H的最小整數(shù)。任取x^a屬于H(a>0)。則x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n屬于H。由Euclid輾轉(zhuǎn)相除法知，存在m，n使得：
am+dn=(a，d)>0，表明x^((a，d))屬于H，因?yàn)閍=a1*(a，d)，d=d1*(a，d)，所以x^a，x^d可由x^((a，d))生成。
因此(a，d)<=d。由于d是最小的故(a，d)=d。又x^a是在H中任意取的非單位元。故H中的任何元素均可由x^d生。即H中的非單位元均是形如x^(dn)形式。故H是循環(huán)群。
擴(kuò)展資料：
循環(huán)群的性質(zhì)
1、設(shè)(a)是—個(gè)循環(huán)群，(1)若|a|=∞，則(a)與整數(shù)加群Z同構(gòu)；(2)若IaI=n，則(a)與模n的剩余類加群Zn同構(gòu)。
2、有且僅有兩個(gè)元1和-1可以作為整數(shù)加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每個(gè)元的階都是無(wú)限的。
3、在模n的剩余類Zn中，有(1)|[k]|=n/(k，n)；(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。
參考資料來(lái)源：百度百科-循環(huán)群
證明任何群的自同構(gòu)群都不能是奇數(shù)階循環(huán)群?
假設(shè)群G的自同構(gòu)群Aut(G)是循環(huán)群。接下來(lái)我們來(lái)證明 ①此時(shí)群G是交換群 首先，有下面這個(gè)結(jié)論，這里Z(G)指群的中心。群的內(nèi)自同構(gòu)群Inn(G)是自同構(gòu)群Aut(G)的子群，根據(jù)循環(huán)群的子群仍然是循環(huán)群，可以得到Inn(G)是循環(huán)群。根據(jù)Inn(G)≌G\/Z(G)，得到G\/Z(G)是循環(huán)群。可以證明此時(shí)群G...
離散數(shù)學(xué):證明:(H,。)和(K,。)是群(G,。)的兩個(gè)r階和s階子群,且r和s...
首先，H∩K是H的子群，也是K的子群，e∈H∩K。（證明：H,K是G的非空子群，所以e∈H且k∈K，所以e∈H∩K。H∩K是H的子集，也是K的子集。任取a,b∈H∩K，則a,b∈H且a,b∈K，因?yàn)镠,K是G的子群，所以a(b逆)∈H且a(b逆)∈K，所以a(b逆)∈H∩K。所以H∩K是H的子群，也是K...
循環(huán)群的子群是什么?
Z6的子群環(huán)只能寫出來(lái)6,-1,4這三種情況,其他兩種情況就要用到上面給你舉的例子了。比如(1+2+3+5)^ n=(1+2+3+4+5)*(1+2+3+4+5)=20^5=100*100=10000 剩余類加群z6的子群有4個(gè)。由于循環(huán)群的子群是循環(huán)群，并且群的階的每一個(gè)正因子存在唯一的子群，6的正因子只有1，2，3，6...
抽象代數(shù)題若(Z,+)是群,那么(7Z,+)是群?jiǎn)?是否循環(huán)
是，可以直接驗(yàn)證后者是群，事實(shí)上它還是前者的子群（顯然群{7Z,+}對(duì)減法封閉）。循環(huán)群的子群還是循環(huán)群，事實(shí)上{7Z,+}=<7>
離散數(shù)學(xué)關(guān)于循環(huán)群的問(wèn)題
由此生成的循環(huán)群依然保持完整。群的階數(shù)定義為元素的個(gè)數(shù)。若n階群的子群H的階為r，則r必須是n的因子。例如，<12>=<0>={0}，僅有單一元素0，因此是1階子群。對(duì)于任一群G，其子群有兩個(gè)特別的，一個(gè)是僅包含單位元e的1階子群{e}，另一個(gè)是包含所有G元素的自身G，這兩個(gè)子群被稱為平凡...
證明:非交換群的自同構(gòu)群不能是循環(huán)群.
【答案】：設(shè)G是一個(gè)非交換群Aut G是G的自同構(gòu)群Inn G是G的內(nèi)自同構(gòu)群則由定理4知 G／C≌Inn G其中C為群G中心．但由于G是非交換群G／C不是循環(huán)群從而Inn G不是循環(huán)群．由于循環(huán)群的子群是循環(huán)群因此Aut G不是循環(huán)群．設(shè)G是一個(gè)非交換群,AutG是G的自同構(gòu)群,InnG是G的內(nèi)自同構(gòu)群,則...
吉林大學(xué),離散數(shù)學(xué)大作業(yè)什么是循環(huán)群
任一群都必定有循環(huán)子群，元素周期的概念并不僅限于循環(huán)群。只要是群中的元素，都有自己的元素。另一個(gè)：設(shè)G是群，如果存在a∈G使得 G= (a)= {ak k∈Z} 則稱G是循環(huán)群，并稱a是G的一個(gè)生成元 o若G是無(wú)限集， 則稱G是無(wú)限循環(huán)群;o若G有n個(gè)元素，即|G|=n,則稱G為n階循環(huán)群。循環(huán)...
剩余類加群的子群必是循環(huán)群
這樣，核kerf可以表示為Z\/Zn，即nZ。根據(jù)對(duì)應(yīng)的定理，Z的包含nZ的子群qZ（q整除n）與nZ的子群H之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于q*(q在Zn中的剩余類)屬于H，那么q*, 2q*,……直到rq=n都屬于H，從而可以確定H中恰好包含n\/q個(gè)元素。因此，H是循環(huán)群。進(jìn)一步討論，當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)，素?cái)?shù)階群必然是循環(huán)群...
循環(huán)群的子群是不變子群
題主是否想詢問(wèn)“循環(huán)群的子群是不變子群?jiǎn)帷保坎灰欢ā８鶕?jù)查詢CSDN博客顯示，循環(huán)群的子群不一定是不變子群，只有當(dāng)循環(huán)群的子群是正規(guī)子群時(shí)，才是不變子群。
群論學(xué)習(xí)(8)正規(guī)子群、商群
若 H 是群 G 的一個(gè)子群，則 H 是 G 的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)任意兩個(gè)左（右）陪集之積還是左（右）陪集。循環(huán)群的子群構(gòu)造的商群也是循環(huán)群。注：循環(huán)群是阿貝爾群，設(shè)循環(huán)群為 G, 子群為 H，則 G\/H 構(gòu)造的商群也是阿貝爾群，因?yàn)?G\/H 中任意兩個(gè)元素的乘積仍滿足阿貝爾群的性質(zhì)。
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
太白縣不平： ______[答案] 找一個(gè)生成元就行了,aH就是.詳見(jiàn)參考資料
太白縣不平： ______ 反設(shè)G是無(wú)限群,那么分兩種情況:(1)如果G中有無(wú)限階元a,那么是無(wú)限階循環(huán)群,從而,,...,,...都是G的互不相同的子群,從而G有無(wú)限多個(gè)子群,矛盾.(2)如果G中沒(méi)有無(wú)限階元,則G中每個(gè)元素都是有限階的,記S={|x∈G},則|S|也是有限的(否則,如果S是無(wú)窮集合,而S中每個(gè)元素都是G的子群,從而G有無(wú)限多個(gè)子群,矛盾).注意到,G=∪S.這就是說(shuō),G是有限個(gè)有限集合的并,從而是有限的.
太白縣不平： ______ 有限群的子群的階數(shù)是母群的因子, 6的因子有{1,2,3,6},故有4個(gè)子群,分別是, {e},即單位元群, e=a^0, {e,a3} {e,a2,a4} {e,a1,a2,a3,a4,a5} (不理解請(qǐng)追問(wèn))
太白縣不平： ______ 你做對(duì)了.B∈P(A),B^0=?,B^1=B,B^2=B+B=B∪B-B∩B=?,B^3=B,...,所以B生成的循環(huán)子群={?,B}.
太白縣不平： ______ 好多都忘了. (1)設(shè)G為n階群. (2)因?yàn)閜是素?cái)?shù),所以G的子群只有{e}和G本身. 任取非幺元a屬于G,考慮a的生成群<a>,顯然<a>是G的子群,且<a>不等于{e},所以<a>=G,這說(shuō)明G是循環(huán)群.
太白縣不平： ______[答案] (1)G有4個(gè)生成元,分別為 a ,a^3,a^7 ,a^9 . (2)非平凡的子群共有2個(gè),分別為: A1=={e,a^2,a^4,a^6,a^8},A2=={e,a^5} A1的左陪集分解為:{e,a^2,a^4,a^6,a^8} ∪ {a,a^3,a^5,a^7,a^9} 關(guān)于A2的分解為:{e,a^5}∪{a,a^6}∪{a^2,a^7}∪{a^3,a^8}∪{a^4,a^9}
太白縣不平： ______ 證明:首先回顧一下循環(huán)群的定義,即設(shè)G是群,如果在在a屬于G,使得G=(a可心生成G), 則稱G為一個(gè)循環(huán)群,并稱a為G的一個(gè)生成元.容易看出,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,即i是G的生成元,即G=.故(G,*)是循環(huán)群.證畢.
太白縣不平： ______[選項(xiàng)] A. )[2] ( B. [3] C. [4] D. [5]
