什么是數(shù)學 什么是數(shù)學，數(shù)學的概念
1、 數(shù)學就是解題
數(shù)學家科利亞說過，什么是數(shù)學？數(shù)學就是解題，就是把不熟悉的題型向熟悉的題型轉化。作為數(shù)學教師，解題能力是十分重要的。不少學校在挑選教師時，都要出幾道題讓考察對象做，以此作為錄用教師的一個重要標準。作為學生，解題能力的高低，直接影響考試的成績。
不少教師十分重視題型教學，把各章節(jié)的習題分為若干種題型，要求學生練好各種題型的解題套路。更有甚者，當講完一道典型例題后，要求學生要能背誦記憶。當學生向教師請教怎樣才能學好數(shù)學時，“多做題”成了經(jīng)典的回答。多做題并沒有錯，但是盲目地、過多地重復，除了做題就不知道如何學數(shù)學的人，必然會忽略數(shù)學的其它教育功能，認識不清數(shù)學的本質。
其實多數(shù)數(shù)學題都是實際問題的反應，當實際問題轉化成純數(shù)學問題后，沒有較強的解題能力會無能為力。科利亞所說的“解題”，當然也應包括解決實際問題，如果能引導學生應用已學的數(shù)學知識去解決實際問題，在做數(shù)學和用數(shù)學中不但可以提高學習的興趣，也會在數(shù)學活動的過程中學到不少知識，提高多種能力。
2、 數(shù)學是訓練思維的體操
數(shù)學是由數(shù)學、字母、符號、圖形構成的一座迷宮。不少人愛玩迷宮游戲，逆向思維是尋求走出迷宮正確道路的訣竅，一旦順利走出迷宮，成功的愉悅會使你興奮不已，你會向新的、更復雜的迷宮挑戰(zhàn)，這也是數(shù)學的魅力，思維在不知不覺中得到了訓練。可以這樣說：數(shù)學是教人穎睿的一門學科。
但是，在走迷宮中不明方法，經(jīng)常碰壁失敗，也就會對這種游戲生厭了。我們在數(shù)學中重視思維的訓練，思想和方法的潛移默化比知識的傳授更為重要。我們要讓學生經(jīng)常有成功感，在快樂中研究數(shù)學。是體操就要做，是迷宮就要走。如果不動手動腦就達不到訓練思維的目的。
3、 數(shù)學是一種語言
數(shù)學由于它自身的特點，嚴密的系統(tǒng)和邏輯推理，運算法則和運算性質的合理性，使它成為了一種宇宙間的通用語言，不需要翻譯，只要用數(shù)學式的恒等變形，用數(shù)學的符號語言和圖形語言即可傳達我們的思想，達到交流的目的。
數(shù)學是精密科學和現(xiàn)代科技的語言，精確到何種程度，多元變量之間有什么關系，如果沒有數(shù)學語言，很難想象科學家們怎樣把自己的思想向別人表述。
因此數(shù)學語言的培養(yǎng)是教學中的一個重要內容，經(jīng)常要讓學生“說數(shù)學”，數(shù)學修養(yǎng)好的人，不僅思維能力和思想品質上有所表現(xiàn)，就是講話也是簡明扼要，準確嚴密。語言只是思維的一種載體，思維訓練是根本，但是數(shù)學語言的表達能力和轉換能力的培養(yǎng)也是十分重要的。
4、 數(shù)學是哲學
數(shù)學中充滿了哲學，許多數(shù)學家(比如畢達哥拉斯)也是哲學家。或者說，許多哲學觀點在數(shù)學中找到了實證，得到了體現(xiàn)。許多哲學家也研究數(shù)學，比如恩格斯，他寫的《自然辯證法》就是一部杰出的數(shù)學論著。
對于世界觀還未完全形成的中學生來說，學習數(shù)學，他將受到隱藏在數(shù)字和圖形里的哲學思想的潛移默化。作為數(shù)學教師，應該學習了解一些哲學觀點和術語，在教學中注意揭示一些辯證唯物觀點，不僅可以起到畫龍點睛的作用，也對學生進行了思想教育。這種教育不是空洞的說教，而有實實在在的科學例證，效果是永恒的。不少教師對這種水到渠成的機會視而不見，放棄了對學生教育的契機，也放棄了數(shù)學教育的育人性。
5、 數(shù)學是文化
數(shù)學對象并非物質世界中的真實存在，而是人類抽象思維的產物，而文化，廣義地說，是指人類在社會歷史實踐過程中所創(chuàng)造的物質財富和精神財富的總和，因此，在所說的意義上，數(shù)學就是一種文化。
和很多數(shù)學家是哲學家一樣，有很多數(shù)學家也是文學家。例如著名的童話《愛麗絲漫游仙境》就出自英國牛津大學的一位數(shù)學家之手。俄國著名女數(shù)學家柯瓦利夫斯卡婭不僅在數(shù)學上有很大貢獻，而且寫出了一部被俄國文藝評論家認為“無論在形式上還是在思想內容上都可以與俄國文壇上最佳的作品相媲美”的小說《拉也夫斯卡婭姐妹》。
數(shù)學中的許多問題的發(fā)現(xiàn)和解決，都有深厚的文化背景，精彩的故事后面隱含著深邃的哲理。數(shù)學有著數(shù)千年的文化積淀，蕓集了大眾和數(shù)學家智慧的結晶。在我們學習數(shù)學知識時，不得不由衷地贊美人類的聰明才智。
數(shù)學教學不僅僅是傳授知識，更重要的是要向學生傳遞這些數(shù)學文化，有了這種認識，數(shù)學情景題、數(shù)學作文題也就會應運而生了。數(shù)學不只是指導著自然科學，與文學和美學也是水乳交融的。
6、 數(shù)學是藝術
數(shù)學中存在著美。數(shù)百年來流傳的“只有美的藝術，沒有美的科學”的觀念，使許多人認為數(shù)學不過是一種有用的工具，是“科學大門的鑰匙”，僅此而已。數(shù)學中存在的美就是數(shù)學美，它是純客觀的，哪里有數(shù)學哪里就有數(shù)學美存在。數(shù)學的簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美就是數(shù)學美的內容。
數(shù)學美往往展現(xiàn)在那些冷冰冰的數(shù)字和奇特的符號語言之中，這種冷峻的美一點不張揚，有的人視而不見，甚至感到枯燥乏味。對于有鑒賞能力的人來說，對數(shù)學美的感悟可以震撼他的靈魂。一旦領悟了數(shù)學美，數(shù)學再也不是枯燥無味的了，它能愉悅人的身心，陶冶人的情趣。
當我們畫出一個美的圖形，構造出一個美的方程，制作出一個美的幾何體時，難道數(shù)學不是一門藝術嗎？
如果教師在教學中能引導學生走進數(shù)學美的大花園，教給他們賞析數(shù)學美的能力，他們一定會在數(shù)學的花園里留連忘返的。
數(shù)學是一門科學，它的研究對象是存在于客觀世界又超越于物質存在的數(shù)量關系，幾何體的大小、形狀、位置關系。它高度的抽象性和概括性決定了它的學習規(guī)律，應該是重視基礎，循序漸進，在實踐中學習，在應用中內化。
數(shù)學的特點是它所探求的不是某種轉瞬即逝的東西，也不是服務于某種具體物質需要的問題，而是宇宙中永恒不變的規(guī)律；它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本；它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己，在發(fā)揮自己力量的同時，又研究自己的局限性。數(shù)學深刻地影響人類的精神生活和物質生活，任何文明時代，數(shù)學素質都是人類素質中重要的組成部分。由數(shù)學的本質決定了數(shù)學教育在樹德育人中起著不可或缺的作用，數(shù)學思維的培養(yǎng)和訓練是廣才廣能的基礎和發(fā)源地。
什么是數(shù)學？這是任何一個數(shù)學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數(shù)學的本質特征有比較清晰的認識，才能在數(shù)學教育研究中把握正確的方向.
1.數(shù)學，其英文是mathematics，這是一個復數(shù)名詞，“數(shù)學曾經(jīng)是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。”自古以來，多數(shù)人把數(shù)學看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數(shù)學既可以來自現(xiàn)實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。
2.從人類社會的發(fā)展史看，人們對數(shù)學本質特征的認識在不斷變化和深化。“數(shù)學的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負整數(shù)。歐幾里德的算術來源于普通常識中的非負整數(shù)，而且直到19世紀中葉，對于數(shù)的科學探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發(fā)展中幾何學甚至先于算術”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經(jīng)驗科學，因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發(fā)展，他們認為數(shù)學是研究結構的科學，一切數(shù)學都建立在代數(shù)結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數(shù)學是研究模式的學問，數(shù)學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學與善》中說，“數(shù)學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數(shù)學對于理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。”1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學是經(jīng)驗科學的觀點，著名數(shù)學家馮·諾伊曼就認為，數(shù)學兼有演繹科學和經(jīng)驗科學兩種特性。
3.對于上述關于數(shù)學本質特征的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數(shù)本質特征的認識是隨數(shù)學的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數(shù)學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，這樣，人們自然地認為數(shù)學是一種經(jīng)驗科學；隨著數(shù)學研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產生，特別是現(xiàn)代數(shù)學向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數(shù)學與現(xiàn)實之間的距離越來越遠，而且數(shù)學證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認為數(shù)學是人類思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關于模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數(shù)學理解的深化，也是人們從不同側面對數(shù)學進行認識的結果。正如有人所說的，“恩格斯的關于數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數(shù)學的來源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學的水平，現(xiàn)代數(shù)學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。”而關于數(shù)學是研究模式的學問的說法，則是從數(shù)學的抽象過程和抽象水平的角度對數(shù)學本質特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數(shù)學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基于人類對數(shù)學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認為，發(fā)展數(shù)學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
4.事實上，上述對數(shù)學本質特征的認識是從數(shù)學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，并且主要是從數(shù)學研究的結果來看數(shù)學的本質特征的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學的全貌，組成數(shù)學整體的另一個非常重要的方面是數(shù)學研究的過程，而且從總體上來說，數(shù)學是一個動態(tài)的過程，是一個“思維的實驗過程”，是數(shù)學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數(shù)學研究的過程中，數(shù)學對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，“數(shù)學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數(shù)學看來象是一門系統(tǒng)的演繹科學，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾說，“數(shù)學是一種相當特殊的活動，這種觀點“是區(qū)別于數(shù)學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。”他認為，數(shù)學家或者數(shù)學教科書喜歡把數(shù)學表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學的形式”是數(shù)學家將數(shù)學（活動）內容經(jīng)過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數(shù)人來說，他們是把數(shù)學當成一種工具，他們不能沒有數(shù)學是因為他們需要應用數(shù)學，這就是，對于大眾來說，是要通過數(shù)學的形式來學習數(shù)學的內容，從而學會相應的（應用數(shù)學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數(shù)學是在內容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數(shù)學家的理想是要獲得嚴謹?shù)摹l理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實并不排除必須將數(shù)學看成是個創(chuàng)造性過程：數(shù)學本質上是人類活動，數(shù)學是由人類發(fā)明的，”數(shù)學活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數(shù)學是人類意志的表達，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數(shù)學科學的生命、效用與高度的價值。”
5.另外，對數(shù)學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數(shù)學是一種文化體系”，“數(shù)學是一種語言”，數(shù)學活動是社會性的，它是在人類文明發(fā)展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數(shù)學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數(shù)學是一門藝術，“和把數(shù)學看作一門學科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術，因為數(shù)學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而并非臆造的。數(shù)學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學家，這些品質是最基本的，……，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優(yōu)秀的藝術家或優(yōu)秀的數(shù)學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力。”“數(shù)學是推理的音樂，”而“音樂是形象的數(shù)學”．這是從數(shù)學研究的過程和數(shù)學家應具備的品質來論述數(shù)學的本質，還有人把數(shù)學看成是一種對待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學精神、數(shù)學觀念和態(tài)度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數(shù)學》一文中認為，數(shù)學是一門學科，“在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現(xiàn)象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數(shù)學實體所構成的，數(shù)學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數(shù)學以內在的自我發(fā)展和自我理解為目標，獨立于外部世界，…，另一方面，如果所考慮的領域存在于數(shù)學之外，…，數(shù)學就起著用科學的作用…·，數(shù)學的這兩個側面之間的差異并非數(shù)學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數(shù)學有助于產生知識和洞察力。數(shù)學也是一個工具、產品以及過程構成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學以外的實踐領域有關的決定和行動…·，數(shù)學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗…·，作為一門學科，數(shù)學的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數(shù)學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目．”
從上所述可以看出，人們是從數(shù)學內部（又從數(shù)學的內容、表現(xiàn)形式及研究過程等幾個角度）。數(shù)學與社會的關系、數(shù)學與其它學科的關系、數(shù)學與人的發(fā)展的關系等幾個方面來討論數(shù)學的性質的。它們都從一個側面反映了數(shù)學的本質特征，為我們全面認識數(shù)學的性質提供了一個視角。
6.基于對數(shù)學本質特征的上述認識，人們也從不同側面討論了數(shù)學的具體特點。比較普遍的觀點是，數(shù)學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數(shù)學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數(shù)學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最后是它的應用的極端廣泛、性，”「5」王粹坤說，“數(shù)學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必”這種看法主要從數(shù)學的內容、表現(xiàn)形式和數(shù)學的作用等方面來理解數(shù)學的特點，是數(shù)學特點的一個方面。另外，從數(shù)學研究的過程方面、數(shù)學與其它學科之間的關系方面來看，數(shù)學還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗性。“可證偽性”的特點。對數(shù)學特點的認識也是有時代特征的，例如，關于數(shù)學的嚴謹性，在各個數(shù)學歷史發(fā)展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關于嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴謹?shù)目茖W方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學的嚴謹性是在數(shù)學發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來的，具有相對性。關于數(shù)學的似真性，波利亞在他的《數(shù)學與猜想》中指出，“數(shù)學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學的創(chuàng)造過程是與任何其它知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數(shù)學家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢谩！闭菑倪@個角度，我們說數(shù)學的確定性是相對的，有條件的，對數(shù)學的形象性、似真性、擬經(jīng)驗性。“可證偽性”特點的強調，實際上是突出了數(shù)學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯(lián)想等思維過程的重要性。
綜上所述，對數(shù)學本質特征的認識是發(fā)展的。變化的，用歷史的、發(fā)展的觀點來看待數(shù)學的本質特征，恩格斯的“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的論斷并不過時，對初等數(shù)學來說就更是如此，當然，對“空間形式和數(shù)量關系”的內涵，我們應當作適當?shù)耐卣购蜕罨ｍ槺阒赋觯瑢?shù)學本質特征的討論中，采取現(xiàn)象與本質并重、過程與結果并重、形式與內容并重的觀點：，對數(shù)學教學具有重要的指導意義
Weierstrass（大數(shù)學家外爾斯特拉斯，分析數(shù)學與函數(shù)論的奠基人）：一個數(shù)學家，如果他不在某種程度上成為一個詩人，那么他就永遠不可能成為一個完美的數(shù)學家。(It is true that a mathematician, who is not somewhat of a poet, wilnever be a perfect mathematician. ----Karl Weierstrass, 1815-1897)
Sonya Kovalevskaya(柯娃列弗斯卡婭，俄國美女數(shù)學家，對數(shù)理力學有大創(chuàng)，外爾斯特拉斯學生，不幸英年早逝，1850-1891，著名國際學報Mathematica Anallen 有她的倩照): Many who have never had an opportunity of knowing any more about mathematics confound it with arithmetic, and consider it an arid science. In reality, however, it is a science which requires a great amount of imagination, and one of the leading mathematicians of our century states the case quite-correctly when he says that it is impossible to be a mathematician without being a poet in soul. …It seems to me that the poet has only to perceive that which others do not perceive, to look deeper than others look. And the mathematician must do the same thing.——這是對Weierstrass 說法的說法。
Frege（弗雷格，數(shù)理邏輯奠基人之一，謂詞邏輯創(chuàng)始人，分析哲學的先驅）：一個好的數(shù)學家，至少是半個哲學家；一個好的哲學家，至少是半個數(shù)學家。
Descartes(笛卡兒，近代理性哲學、近代數(shù)學、解析幾何、方法論的創(chuàng)始人):哲學與數(shù)學的統(tǒng)一：美麗的夢。
Cantor = 騙子·叛徒（Kronecker）;偉人（Russell）;新樂園創(chuàng)建者（Hilbert）;傳染疾病者（Poincare）。
Einstein: 感性—直覺—理性—直覺—應用—…《世界數(shù)學家思想方法》百家：歐幾里德、阿基米德、笛卡兒、萊布尼茲、牛頓、歐拉、拉格朗日、傅立葉、高斯、彭卡萊、愛因斯坦、羅素、諾依曼、維納、扎德、托姆、斯梅爾、布爾巴基、泛系等。
Poincare:能夠作出數(shù)學發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學中的秩序、和諧、對稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。
Neumann:歸結到關鍵的論點：我認為數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準主要都是美學的。
Borel:數(shù)學在很大程度上是一門藝術，它的發(fā)展總是起源于美學準則，受其指導、據(jù)以評價的。
Lagrange:《分析力學》=“科學的詩”。
A. Weil(韋伊)：數(shù)學之所以古怪在于它不能為非數(shù)學家理解。
J．Diudonne(迪厄多內)：創(chuàng)造性的數(shù)學家定義為至少發(fā)表過一條非平凡定理的證明的人。
P. R. Halmos: 應用數(shù)學是壞數(shù)學。……
J. P. King: 數(shù)學具有審美的價值，象音樂和詩歌的價值那樣清晰明確。
Shenitzer: 要想發(fā)揮數(shù)學教育的潛力，在必須注意數(shù)學技術方面的同時，還必須注意數(shù)學的結構、歷史、起源和哲學方面，這樣才能取得平衡，不偏不倚。
G.Hermann: 數(shù)學是關于數(shù)量關系的科學。——粲泛系——泛系量化
H.Hermann: 純粹形式科學，邏輯和數(shù)學，只處理對象的特殊內容或實質之間的關系，特別是那些包含著量、測度和數(shù)等等概念的對象之間的關系，它們都屬于數(shù)學范疇。——粲泛系—— 泛系量化
F. Klein: 數(shù)學基本上是一種自我證明的科學。
W. F. William: 數(shù)學是一門理性思維的科學。它是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具。復雜的東西可以通過這一工具簡單的措辭去表達，從這一意義上說，數(shù)學可被定義為一種連續(xù)地用較簡單的概念去取代復雜概念的科學。——泛系八籌
S. Peirce: 數(shù)學研究理想結構（突出應用于實際問題），并在這種研究中去發(fā)現(xiàn)各種結構之間的未知關系。——粲泛系——泛系八籌
G. H. Howison: 數(shù)學是智能的一種形式。利用這種形式，我們可以把現(xiàn)象世界中的種種對象，置之于數(shù)量概念的控制秩序。——泛系方法論·泛系八籌·簡化強化·泛系量化
E. Mach: 思維的經(jīng)濟原則在數(shù)學中得到了高度的發(fā)揮。……數(shù)學的力量在于它避免了一切不必要的思想而采取了最為經(jīng)濟的思維方式。——泛系方法論·泛系八籌·簡化強化·泛系量化
G. Cantor: 數(shù)學的本質就在于它的自由。
F. Bacon: 歷史使人聰明，詩歌使人機智，數(shù)學使人精細，哲學使人深邃，道德使人嚴肅，邏輯與修辭使人善辯。——聯(lián)四維
De Morgan: 數(shù)學發(fā)明創(chuàng)造的動力不是推理， 而是想象力的發(fā)揮。——聯(lián)四維
Gorthe: 數(shù)學和辯證法一樣，都是人類最高級理性的體現(xiàn)。當它在演變時，就和雄辯術一樣，都是一種藝術。——聯(lián)四維
W. Thomson: 數(shù)學是真實的玄學體系。……數(shù)學是常識的精微化。——聯(lián)四維
Napoleon: 數(shù)學的發(fā)展與至善和國家的繁榮昌盛密切相關。
Laplace: 萊布尼茲認為他在他的二進制算術中看到了造物主。他認為1可以代表上帝，而0則代表虛無，造物主可以從虛無中創(chuàng)造出萬事萬物來。就像在二進制算術中，任何數(shù)均可以由0和1 構造出來一樣。
I. Newton: 若說我比笛卡兒看得更遠一些的話，那是因為我站在巨人肩上的緣故。
Shakespeare: 我向你推薦一個人，他精通音樂和數(shù)學。由他用這來教育女士們，那么女士們將個個成為世界名人。
W. F. White: 數(shù)學是定義的科學。
C. Dillmann: 數(shù)學是語言的語言。
泛系數(shù)學：百科可絡可樂不可羅的泛系有數(shù)理的層次，也有哲理與技理的層次。泛系，是數(shù)又非數(shù)。除了可從泛系數(shù)理來研究數(shù)、數(shù)學與數(shù)學理法外，也可從泛系哲理與泛系技理來對之展開分析、綜合與顯生，把數(shù)學放在百科的泛系之網(wǎng)中來再揚棄、再創(chuàng)造、再升華，同時也顯生泛系內在的泛系經(jīng)絡而尋求跨專題的某種新的匯通與統(tǒng)一。此外，對許多有泛系意義的數(shù)學專題，泛系理論求索某種深顯微與優(yōu)擴形的特有展開。
泛系數(shù)學：哲·詩·數(shù)·科·技，你中有我，我中有你；你外有我，我外有你。哲學、數(shù)學、技術與泛系是不同形式的百科可絡的廣義交通。同一事物客體可有四種泛轉觀控模式來顯生，互異互補。哲數(shù)技泛，是“廬山”的四種“橫側”，四種“嶺峰”，四種“遠近高低”。但它們又相互交緣，相互橫貫，相互擴形，相互顯生。
泛系數(shù)學：數(shù)學不是哲學，不是技術，也大大有別于其它科學與百科分支。哲、數(shù)、科、技、藝，也許是人類有別于其他造化極為重要的方面。數(shù)學是現(xiàn)代的科學語言，沒有數(shù)學就沒有現(xiàn)代的科技文明。科學技術以及許多百科理法的數(shù)學化是現(xiàn)代文明進程的一種重要潮流。
泛系數(shù)學：數(shù)學是百科可絡的理法與網(wǎng)絡。
數(shù)學是萬事萬物的量與形式。
數(shù)學是科學技術與經(jīng)濟間的金橋。
數(shù)學是人杰的才能組成的主要基磚。
數(shù)學是是辯證的方式與工具。
數(shù)學是是現(xiàn)代化的手段。
數(shù)學是理性升華的表現(xiàn)。
數(shù)學是哲學與科學技術的中介。
數(shù)學是兼容哲學與技術之長的大學大術，是學術的學術。
泛系數(shù)學：數(shù)學與泛系，你中有我，我中有你。任何數(shù)學的原型、形式、結果與應用是泛系。泛系要與歷史上的科學技術以及未來的科學技術聯(lián)系而顯生，就要不斷開拓數(shù)學化的工作。泛系是數(shù)學與百科四互的中介網(wǎng)。數(shù)學與泛系互為中介，它們是理工醫(yī)文社史哲的不同的中介網(wǎng)。
泛系數(shù)學：數(shù)學是智慧神明之府，是模擬與分析事物、運籌顯生的奇學妙術。
數(shù)學是悟性的高速公路，是高科技的理論基礎之一。
泛系數(shù)學：數(shù)學與哲學是人類理性思維、理論思維最最美麗的花朵，它們花色不同，運籌各異，它們共同生成人類遠離其它生物的一對翅膀。
一個真正的哲學家，也許應是半個數(shù)學家，半個科學家，半個詩人。
一個真正的數(shù)學家，也許應是半個哲學家，半個科學家，半個詩人。
泛系數(shù)學：數(shù)學，邏輯，哲學，它們是理性之最，但是它們在自我剪彩時，又自我否定，自我超越。它們本身又證明了理性把握世界的相對局限性，它們引入形形色色的悖論，它們進入形形色色的悖論。但是，非理性永遠不可能取代理性，理性在逐步溶析化解非理性的無限進程中也永遠不可能全部取代非理性。理性與非理性復合成文化與潛化的冰山，浮在上面的理性雖然偏少，它仍是人類所能夠看到的、欣賞到的明晰的美。
哲學、邏輯、數(shù)學——一種泛系的明晰的美，理性冰山的美!
數(shù)學：泛系八籌緣悟
歌德說: 數(shù)學和辯證法一樣，都是人類最高級理性的體現(xiàn)。當它在演變時，就和雄辯術一樣，都是一種藝術。所以數(shù)學總是或明或暗聯(lián)四維的：數(shù)理·系統(tǒng)·哲理·藝理——真善美禪。泛系正是運八籌聯(lián)四維的一種多層次網(wǎng)絡探索。
數(shù)學是由其功能與結構的表里泛導而運籌它的起源、歷史、系統(tǒng)、創(chuàng)新、應用、教學與緣悟的機理的。它的功能像任何系統(tǒng)、理論的功能一樣， 不外是泛系八籌中所展示的功能：表里變變，對偶泛導，集散觀控，供求因緣，五互八悟，簡化強化，五轉剪輯，優(yōu)化顯生，相對正奇……
數(shù)學是側重公理、定義、符號化、連續(xù)的簡化演繹而簡化強化運七易的學問、理悟與技術——是一種簡化強化七易力與集散觀控生克力。它是一種特化的供求因緣。
數(shù)學是一種理性思維的握簡馭繁的學術， 是“一種連續(xù)地用較簡單的概念去取代復雜概念的科學”（W. F. William）。——泛系八籌
但是數(shù)學本身的大思路、大覺悟、大開拓、大應用、大發(fā)展不能僅僅由這種公理、定義、符號化演繹生成。
林林總總的數(shù)學創(chuàng)新與教學以及大思路、大覺悟、大開拓、大應用、大發(fā)展都可以相對地統(tǒng)馭于五互八悟三層析、統(tǒng)馭于七要八籌系萬題。
粲泛系及其十多種對偶泛導·泛對稱相對統(tǒng)馭了林林總總的數(shù)學結構、系統(tǒng)范疇以及諸多典型的辯證法模式，因而體現(xiàn)了一種簡化強化之美，體現(xiàn)一種784e詩化的美。
林林總總的數(shù)學是泛系七要和泛系數(shù)學七要的特化精細的擴變與衍生。
數(shù)學是一種泛七要運八籌而系百科的、相對形式化、演繹化的大學大術。
什么是數(shù)學??
數(shù)學[英語：mathematics，源自古希臘語μθημα（máthēma）；經(jīng)常被縮寫為math或maths]，是研究數(shù)量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科。數(shù)學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用于現(xiàn)實世界的任何問題，所有的數(shù)學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數(shù)學...
什么是數(shù)學?
數(shù)學起源于人類早期的生產活動，古巴比倫人從遠古時代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學知識，并能應用實際問題．從數(shù)學本身看，他們的數(shù)學知識也只是觀察和經(jīng)驗所得，沒有綜合結論和證明，但也要充分肯定他們對數(shù)學所做出的貢獻。數(shù)學（漢語拼音：shù xué；希臘語：μαθηματικ；英語：Mathematics或Maths...
什么是數(shù)學
數(shù)學是一門研究數(shù)量、結構、變化和空間等概念的學科。它觸及到計算、邏輯推理和抽象思惟，是科學和技術的基礎。在百度云上，你可以找到各種數(shù)學資源，包括教材、習題解答、視頻教程等。為了讓您更深入了解，數(shù)學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述、推導的一種通用手段，可以應用于現(xiàn)實世界的任何問題，...
什么是數(shù)學
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什么是數(shù)學?
數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。通過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數(shù)學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的科學。簡單地說，是...
數(shù)學的定義是什么?
數(shù)學的定義是什么？數(shù)學（mathematics或maths），是研究數(shù)量、結構、變化、空間以及資訊等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。而在人類歷史發(fā)展和社會生活中，數(shù)學也發(fā)揮著不可替代的作用，也是學習和研究現(xiàn)代科學技術必不可少的基本工具。什么是數(shù)學，數(shù)學的概念 數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系...
什么是數(shù)學?
“數(shù)學”一詞是來自希臘語，字面意思有學習、科學之意。它起源于人類早期的生產活動，其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度就已經(jīng)出現(xiàn)。在中國古代，數(shù)學叫作算術，又稱算學，最后才改為數(shù)學．中國古代的算術是六藝之一（六藝中稱為“數(shù)”）。
什么是數(shù)學
數(shù)學被應用在很多不同的領域上，包括科學、工程、醫(yī)學和經(jīng)濟學等．數(shù)學在這些領域的應用一般被稱為應用數(shù)學，有時亦會激起新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，并促成全新數(shù)學學科的發(fā)展。數(shù)學家也研究純數(shù)學，也就是數(shù)學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數(shù)學為開端，但之后也許會發(fā)現(xiàn)合適的應用。數(shù)學，...
數(shù)學是什么意思數(shù)學是什么意思啊
因此,19世紀以前,人們普遍認為數(shù)學是一門自然科學、經(jīng)驗科學,因為那時的數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系非常密切,隨著數(shù)學研究的不斷深入,從19世紀中葉以后,數(shù)學是一門演繹科學的觀點逐漸占據(jù)主導地位,這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發(fā)展,他們認為數(shù)學是研究結構的科學,一切數(shù)學都建立在代數(shù)結構、序結構和拓撲結構這三種母...
什么是數(shù)學?
數(shù)學（mathematics或maths，來自希臘語，“máthēma”；經(jīng)常被縮寫為“math”），是研究數(shù)量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬于形式科學的一種。🐑羊圈面積計算小歐拉的爸爸決定建造一個新的羊圈。他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是...
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