七年級下的數(shù)學(xué)公式 七年級下冊的數(shù)學(xué)公式
1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線
2 兩點(diǎn)之間線段最短
3 同角或等角的補(bǔ)角相等
4 同角或等角的余角相等
5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行
10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等
13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線
2 兩點(diǎn)之間線段最短
3 同角或等角的補(bǔ)角相等
4 同角或等角的余角相等
5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行
10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等
13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
21 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等
22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對等角）
31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）
35 推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
36 推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
42 定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形
43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上
45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°
51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等
53平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角
61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等
62矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角
66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71定理1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的
72定理2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
73逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一
點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱
74等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段
相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰
80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第
三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它
的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性質(zhì) 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性質(zhì) 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)
線段成比例
87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
89 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例
90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）
95 定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
96 性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平
分線的比都等于相似比
97 性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98 性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等
于它的余角的正切值
101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合
102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
104同圓或等圓的半徑相等
105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半
徑的圓
106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直
平分線
107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線
109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑
119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它
的內(nèi)對角
121①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑
124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)
125推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積
相等
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項(xiàng)
132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割
線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)
133推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等
134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
135①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
138定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
141正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長
142正三角形面積√3a／4 a表示邊長
143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
144弧長計(jì)算公式：L=n兀R／180
145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146內(nèi)公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
（還有一些，大家?guī)脱a(bǔ)充吧）
實(shí)用工具:常用數(shù)學(xué)公式
公式分類 公式表達(dá)式
乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理
判別式
b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根
b2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根
b2-4ac<0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根
三角函數(shù)公式
兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些數(shù)列前n項(xiàng)和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)
圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h
正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'
圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2
圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r
錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱體積 V=S'L 注：其中,S'是直截面面積， L是側(cè)棱長
柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h
1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3、積的乘方等于各個(gè)因式乘方的積4、同底數(shù)冪相除，底數(shù)相除不變、指數(shù)相減5、兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差6、兩數(shù)和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和，加上（減去）這兩數(shù)積的兩倍
平行線的判定公理（定理） （1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡稱“同位角相等，兩直線平行”）． （2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行（簡稱“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”）． （3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行（簡稱“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”）． 2．平行線的性質(zhì)公理（定理） 如果兩條平行線被第三條直線所截，那么 （1）同位角相等（簡稱“兩直線平行，同位角相等”）． （2）內(nèi)錯(cuò)角相等（簡稱“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”）． （3）同旁內(nèi)角含有未知數(shù)的等式叫方程。 等式的基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加〔或減〕同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。 用字母表示為：若a＝b，c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式。則： 〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式。 3若a=b,則b=a（等式的對稱性）。 4若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）。 【方程的一些概念】 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 解方程：求方程的解的過程叫做解方程。 移項(xiàng)：把方程中的某些項(xiàng)改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)，根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。 方程有整式方程和分式方程。 整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程叫做整式方程。 分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 編輯本段一元一次方程 人教版7年級數(shù)學(xué)上冊第四章會(huì)學(xué)到，冀教版7年級數(shù)學(xué)下冊第七章會(huì)學(xué)到。 定義：只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)次數(shù)是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0）。 一般解法： ⒈去分母 方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)。 ⒉去括號 一般先去小括號，在去中括號，最后去大括號，可根據(jù)乘法分配率。 ⒊移項(xiàng) 把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊，其余各項(xiàng)移到方程的另一邊移項(xiàng)時(shí)別忘記了要變號。 ⒋合并同類項(xiàng) 將原方程化為ax=b(a≠0)的形式。 ⒌系數(shù)化1 方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解。 同解方程：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。 方程的同解原理： ⒈方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。 ⒉方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。 做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法： ⒈認(rèn)真審題 ⒉分析已知和未知的量 ⒊找一個(gè)等量關(guān)系 ⒋列方程 ⒌解方程 ⒍檢驗(yàn) ⒎寫出答 例1 某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)． (首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3． 答：某數(shù)為3． (其次，用代數(shù)方法來解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成) 解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某數(shù)為3． 縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一． 我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系．因此對于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程． 本節(jié)課，我們就通過實(shí)例來說明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟． 二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應(yīng)用題的方法和步驟 例2 某面粉倉庫存放的面粉運(yùn)出 15％后，還剩余42 500千克，這個(gè)倉庫原來有多少面粉？ 師生共同分析： 1．本題中給出的已知量和未知量各是什么？ 2．已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？(原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量) 3．若設(shè)原來面粉有x千克，則運(yùn)出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關(guān)系，如何布列方程？ 上述分析過程可列表如下： 解：設(shè)原來有x千克面粉，那么運(yùn)出了15％x千克，由題意，得 x-15％x=42 500， 所以 x=50 000． 答：原來有 50 000千克面粉． 此時(shí)，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式？若有，是什么？ (還有，原來重量=運(yùn)出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運(yùn)出重量) 教師應(yīng)指出：(1)這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與“原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來列方程； (2)例2的解方程過程較為簡捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿． 依據(jù)例2的分析與解答過程，首先請同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟；然后，采取提問的方式，進(jìn)行反饋；最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下： (1)仔細(xì)審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)； (2)根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系．(這是關(guān)鍵一步)； (3)根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程．即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等； (4)求出所列方程的解； (5)檢驗(yàn)后明確地、完整地寫出答案．這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義． 編輯本段二元一次方程（組） 人教版7年級數(shù)學(xué)下冊會(huì)學(xué)到，冀教版7年級數(shù)學(xué)下冊第九章會(huì)學(xué)到。 二元一次方程定義：一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程組定義：兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的解。 一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。 消元的方法有兩種： 代入消元法 例：解方程組x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③帶入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7 把y=59/7帶入③，得x=5-59/7，即x=-24/7 ∴x=-24/7，y=59/7 這種解法就是代入消元法。 加減消元法 例：解方程組x+y=5① x-y=9② 解：①+②，得2x=14，即x=7 把x=7帶入①，得7+y=5，解得y=-2 ∴x=7，y=-2 這種解法就是加減消元法。 二元一次方程組的解有三種情況： 1.有一組解 如方程組x+y=5① 6x+13y=89②的解為x=-24/7，y=59/7。 2.有無數(shù)組解 如方程組x+y=6① 2x+2y=12②，因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。 3.無解 如方程組x+y=4① 2x+2y=10②，因?yàn)榉匠挞诨喓鬄閤+y=5，這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。 編輯本段三元一次方程 定義：與二元一次方程類似，三個(gè)結(jié)合在一起的共含有三個(gè)未知數(shù)的一次方程。 三元一次方程組的解法：與二元一次方程類似，利用消元法逐步消元。 典型題析： 某地區(qū)為了鼓勵(lì)節(jié)約用水,對自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定:每月每戶用水不超過10噸按0.9元/噸收費(fèi);超過10噸而不超過20噸按1.6元/噸收費(fèi);超過20噸的部分按2.4元/噸收費(fèi).某月甲用戶比乙用戶多繳水費(fèi)16元,乙用戶比丙用戶多繳水費(fèi)7.5元.已知丙用戶用水不到10噸,乙用戶用水超過10噸但不到20噸.問:甲.乙.丙三用戶該月各繳水費(fèi)多少元(按整噸計(jì)算收費(fèi))? 解：設(shè)甲用水x噸,乙用水y噸，丙用水z噸 顯然，甲用戶用水超過了20噸 故甲繳費(fèi)：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23 乙繳費(fèi)：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7 丙繳費(fèi)：0.9z 2.4x-23=1.6y-7+16 1.6y-7=0.9z+7.5 化簡得 3x-2y=40－－－－(1) 16y-9z=145-------(2) 由(1)得x=(2y+40)/3 所以設(shè)y=1+3k,3<k<7 當(dāng)k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7 當(dāng)k=5,y=16,代入(2),z沒整數(shù)解 當(dāng)k=6,y=19,代入(2),z沒整數(shù)解 所以甲用水22噸,乙用水13噸，丙用水7噸 甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA> 編輯本段一元二次方程 人教版9年級數(shù)學(xué)上冊會(huì)學(xué)到，冀教版9年級數(shù)學(xué)上冊第二十九章會(huì)學(xué)到。 定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程。 由一次方程到二次方程是個(gè)質(zhì)的轉(zhuǎn)變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要復(fù)雜得多。 一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0) 一般解法有四種： ⒈公式法（直接開平方法） ⒉配方法 ⒊十字相乘法 ⒋因式分解法 （由于精力有限，不舉例說明如何解，望有人能幫忙） 1、直接開平方法： 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+ )2= 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng) 系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓 兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè) 根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號不要出錯(cuò)) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。 編輯本段附注 一般地，n元一次方程就是含有n個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)次數(shù)是1的方程，一次項(xiàng)系數(shù)規(guī)定不等于0； n元一次方程組就是幾個(gè)n元一次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； 一元a次方程就是含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)最高次數(shù)是a的方程（一元一次方程除外）； 一元a次方程組就是幾個(gè)一元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； n元a次方程就是含有n個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)最高次數(shù)是a的方程（一元一次方程除外）； n元a次方程組就是幾個(gè)n元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； 方程（組）中，未知數(shù)個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的方程（組）叫做不定方程（組），此類方程（組）一般有無數(shù)個(gè)解。 互補(bǔ)（簡稱“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”）參考資料：http://wenwen.soso.com/z/q203304309.htm?sp=1000
鄘齒15316338035： 誰有七年級下冊數(shù)學(xué)公式!一書全部!越多越好!謝謝 -
嘉蔭縣分度： ______[答案] 同底數(shù)冪的乘法:a^m·a^n=a^m=n同底數(shù)冪的乘方:(a^m)=a^mn積的乘方:(ab)^n=a^n·b^n同底數(shù)冪的除法:a^m÷a^n=a^(m-n)a^0=1平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2三角形的三個(gè)內(nèi)...
鄘齒15316338035： 七年級下冊數(shù)學(xué)公式
嘉蔭縣分度： ______ 第五章 相交線與平行線 5.1 相交線 5.1.2 垂線 5.1.3 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 觀察與猜想 5.2 平行線及其判定 5.2.1 平行線 5.3 平行線的性質(zhì) 5.3.1 平行線的性質(zhì) 5.3.2 命題、定理 5.4 平移 教學(xué)活動(dòng) 小結(jié) 第六章 平面直角坐標(biāo)系 6.1 平面直角坐...
鄘齒15316338035： 七年級數(shù)學(xué)下冊所有公式 -
嘉蔭縣分度： ______ a【m】*a【n】=a【m+n】 (am)【n】=a【mn】 (ab)【m】=a【m】b【m】 【】里面的代表的是次數(shù),就是上標(biāo)的那個(gè) (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab 這三個(gè)里面的數(shù)字代表的都是平方,百度打不出來平方
鄘齒15316338035： 初一下冊數(shù)學(xué)全部公式請各位幫幫歸納一下,7年級下冊的數(shù)學(xué)公式(從第一課到最后一課),謝謝,由于怕浪費(fèi)分?jǐn)?shù),所以得到好的我會(huì)給高分,謝謝大... -
嘉蔭縣分度： ______[答案] 常見的初中數(shù)學(xué)公式 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短 ...
鄘齒15316338035： 初一下冊人教版數(shù)學(xué)公式誰可以給我初一下冊人教版的數(shù)學(xué)全部公式給我? -
嘉蔭縣分度： ______[答案] 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過直線...
鄘齒15316338035： 現(xiàn)在七年級書上的的數(shù)學(xué)公式都有什么? -
嘉蔭縣分度： ______ 不知道版本一不一樣…… 七年級上有七章:1:從自然數(shù)到有理數(shù)(公式:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c);a*b=b*a;(a*b)*c=a*(b*c);a*(b+C)=a*b+a*c) 以下的都不需要用到公式——2:有理數(shù)的運(yùn)算3:實(shí)數(shù)4:代數(shù)式5:一元一次方程6:數(shù)據(jù)與圖表7:圖形的初步知識 抱歉,七年級下的書找不到了…… 如果還有什么疑問,可以來問我
鄘齒15316338035： 七年級下冊數(shù)學(xué)第1章重點(diǎn)知識總結(jié) -
嘉蔭縣分度： ______[答案] (一)運(yùn)用公式法: 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形.如果把乘法公式反過來就是把多項(xiàng)式分解因式.于是有: a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式...
鄘齒15316338035： 七年級下冊數(shù)學(xué)課本 最新北師大版第一章所有概念及公式 -
嘉蔭縣分度： ______[答案] 第一章是 整式的乘除1 同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加2 冪的乘方與積的乘方冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘積的乘方等于積中每個(gè)因式分別乘方3 同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減a°=1(a≠0...
鄘齒15316338035： 初一數(shù)學(xué)重點(diǎn)公式 -
嘉蔭縣分度： ______ 平均數(shù)問題公式 (一個(gè)數(shù)+另一個(gè)數(shù))÷2 反向行程問題公式 路程÷(大速+小速 同向行程問題公式 路程÷(大速-小速) 行船問題公式 同上 列車過橋問題公式 (車長+橋長)÷車速 工程問題公式 1÷速度和 盈虧問題公式 (盈+虧)÷兩次的相差數(shù) 利...
鄘齒15316338035： 初一下冊數(shù)學(xué)公式像ab型的的問題 -
嘉蔭縣分度： ______[答案] 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 其中a、b、(a+b)、(a-b)后面的“2”都表示平方.
2 兩點(diǎn)之間線段最短
3 同角或等角的補(bǔ)角相等
4 同角或等角的余角相等
5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行
10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等
13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線
2 兩點(diǎn)之間線段最短
3 同角或等角的補(bǔ)角相等
4 同角或等角的余角相等
5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行
10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等
13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
21 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等
22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對等角）
31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）
35 推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
36 推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
42 定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形
43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上
45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°
51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等
53平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角
61矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等
62矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
64菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角
66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71定理1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的
72定理2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
73逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一
點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱
74等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段
相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰
80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第
三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它
的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質(zhì) 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性質(zhì) 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性質(zhì) 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)
線段成比例
87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
89 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例
90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）
95 定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
96 性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平
分線的比都等于相似比
97 性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98 性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等
于它的余角的正切值
101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合
102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
104同圓或等圓的半徑相等
105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半
徑的圓
106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直
平分線
107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線
109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑
119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它
的內(nèi)對角
121①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑
124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)
125推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積
相等
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項(xiàng)
132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割
線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)
133推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等
134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
135①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
138定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
141正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長
142正三角形面積√3a／4 a表示邊長
143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
144弧長計(jì)算公式：L=n兀R／180
145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146內(nèi)公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
（還有一些，大家?guī)脱a(bǔ)充吧）
實(shí)用工具:常用數(shù)學(xué)公式
公式分類 公式表達(dá)式
乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理
判別式
b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根
b2-4ac>0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根
b2-4ac<0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根
三角函數(shù)公式
兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些數(shù)列前n項(xiàng)和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)
圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h
正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'
圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2
圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r
錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱體積 V=S'L 注：其中,S'是直截面面積， L是側(cè)棱長
柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h
1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。3、積的乘方等于各個(gè)因式乘方的積4、同底數(shù)冪相除，底數(shù)相除不變、指數(shù)相減5、兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差6、兩數(shù)和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和，加上（減去）這兩數(shù)積的兩倍
平行線的判定公理（定理） （1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡稱“同位角相等，兩直線平行”）． （2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行（簡稱“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”）． （3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行（簡稱“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”）． 2．平行線的性質(zhì)公理（定理） 如果兩條平行線被第三條直線所截，那么 （1）同位角相等（簡稱“兩直線平行，同位角相等”）． （2）內(nèi)錯(cuò)角相等（簡稱“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”）． （3）同旁內(nèi)角含有未知數(shù)的等式叫方程。 等式的基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加〔或減〕同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。 用字母表示為：若a＝b，c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式。則： 〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式。 3若a=b,則b=a（等式的對稱性）。 4若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）。 【方程的一些概念】 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 解方程：求方程的解的過程叫做解方程。 移項(xiàng)：把方程中的某些項(xiàng)改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)，根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。 方程有整式方程和分式方程。 整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程叫做整式方程。 分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 編輯本段一元一次方程 人教版7年級數(shù)學(xué)上冊第四章會(huì)學(xué)到，冀教版7年級數(shù)學(xué)下冊第七章會(huì)學(xué)到。 定義：只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)次數(shù)是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0）。 一般解法： ⒈去分母 方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)。 ⒉去括號 一般先去小括號，在去中括號，最后去大括號，可根據(jù)乘法分配率。 ⒊移項(xiàng) 把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊，其余各項(xiàng)移到方程的另一邊移項(xiàng)時(shí)別忘記了要變號。 ⒋合并同類項(xiàng) 將原方程化為ax=b(a≠0)的形式。 ⒌系數(shù)化1 方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解。 同解方程：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。 方程的同解原理： ⒈方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。 ⒉方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。 做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法： ⒈認(rèn)真審題 ⒉分析已知和未知的量 ⒊找一個(gè)等量關(guān)系 ⒋列方程 ⒌解方程 ⒍檢驗(yàn) ⒎寫出答 例1 某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)． (首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生回答，教師板書) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3． 答：某數(shù)為3． (其次，用代數(shù)方法來解，教師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成) 解法2：設(shè)某數(shù)為x，則有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某數(shù)為3． 縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易思考，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一． 我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系．因此對于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程． 本節(jié)課，我們就通過實(shí)例來說明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟． 二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應(yīng)用題的方法和步驟 例2 某面粉倉庫存放的面粉運(yùn)出 15％后，還剩余42 500千克，這個(gè)倉庫原來有多少面粉？ 師生共同分析： 1．本題中給出的已知量和未知量各是什么？ 2．已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？(原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量) 3．若設(shè)原來面粉有x千克，則運(yùn)出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關(guān)系，如何布列方程？ 上述分析過程可列表如下： 解：設(shè)原來有x千克面粉，那么運(yùn)出了15％x千克，由題意，得 x-15％x=42 500， 所以 x=50 000． 答：原來有 50 000千克面粉． 此時(shí)，讓學(xué)生討論：本題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式？若有，是什么？ (還有，原來重量=運(yùn)出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運(yùn)出重量) 教師應(yīng)指出：(1)這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與“原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來列方程； (2)例2的解方程過程較為簡捷，同學(xué)應(yīng)注意模仿． 依據(jù)例2的分析與解答過程，首先請同學(xué)們思考列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟；然后，采取提問的方式，進(jìn)行反饋；最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，教師總結(jié)如下： (1)仔細(xì)審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)； (2)根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系．(這是關(guān)鍵一步)； (3)根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程．即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等； (4)求出所列方程的解； (5)檢驗(yàn)后明確地、完整地寫出答案．這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義． 編輯本段二元一次方程（組） 人教版7年級數(shù)學(xué)下冊會(huì)學(xué)到，冀教版7年級數(shù)學(xué)下冊第九章會(huì)學(xué)到。 二元一次方程定義：一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程組定義：兩個(gè)結(jié)合在一起的共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的解。 一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決。 消元的方法有兩種： 代入消元法 例：解方程組x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③帶入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7 把y=59/7帶入③，得x=5-59/7，即x=-24/7 ∴x=-24/7，y=59/7 這種解法就是代入消元法。 加減消元法 例：解方程組x+y=5① x-y=9② 解：①+②，得2x=14，即x=7 把x=7帶入①，得7+y=5，解得y=-2 ∴x=7，y=-2 這種解法就是加減消元法。 二元一次方程組的解有三種情況： 1.有一組解 如方程組x+y=5① 6x+13y=89②的解為x=-24/7，y=59/7。 2.有無數(shù)組解 如方程組x+y=6① 2x+2y=12②，因?yàn)檫@兩個(gè)方程實(shí)際上是一個(gè)方程(亦稱作“方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。 3.無解 如方程組x+y=4① 2x+2y=10②，因?yàn)榉匠挞诨喓鬄閤+y=5，這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。 編輯本段三元一次方程 定義：與二元一次方程類似，三個(gè)結(jié)合在一起的共含有三個(gè)未知數(shù)的一次方程。 三元一次方程組的解法：與二元一次方程類似，利用消元法逐步消元。 典型題析： 某地區(qū)為了鼓勵(lì)節(jié)約用水,對自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定:每月每戶用水不超過10噸按0.9元/噸收費(fèi);超過10噸而不超過20噸按1.6元/噸收費(fèi);超過20噸的部分按2.4元/噸收費(fèi).某月甲用戶比乙用戶多繳水費(fèi)16元,乙用戶比丙用戶多繳水費(fèi)7.5元.已知丙用戶用水不到10噸,乙用戶用水超過10噸但不到20噸.問:甲.乙.丙三用戶該月各繳水費(fèi)多少元(按整噸計(jì)算收費(fèi))? 解：設(shè)甲用水x噸,乙用水y噸，丙用水z噸 顯然，甲用戶用水超過了20噸 故甲繳費(fèi)：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23 乙繳費(fèi)：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7 丙繳費(fèi)：0.9z 2.4x-23=1.6y-7+16 1.6y-7=0.9z+7.5 化簡得 3x-2y=40－－－－(1) 16y-9z=145-------(2) 由(1)得x=(2y+40)/3 所以設(shè)y=1+3k,3<k<7 當(dāng)k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7 當(dāng)k=5,y=16,代入(2),z沒整數(shù)解 當(dāng)k=6,y=19,代入(2),z沒整數(shù)解 所以甲用水22噸,乙用水13噸，丙用水7噸 甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA> 編輯本段一元二次方程 人教版9年級數(shù)學(xué)上冊會(huì)學(xué)到，冀教版9年級數(shù)學(xué)上冊第二十九章會(huì)學(xué)到。 定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程。 由一次方程到二次方程是個(gè)質(zhì)的轉(zhuǎn)變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要復(fù)雜得多。 一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0) 一般解法有四種： ⒈公式法（直接開平方法） ⒉配方法 ⒊十字相乘法 ⒋因式分解法 （由于精力有限，不舉例說明如何解，望有人能幫忙） 1、直接開平方法： 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+ )2= 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng) 系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓 兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè) 根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號不要出錯(cuò)) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。 編輯本段附注 一般地，n元一次方程就是含有n個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)次數(shù)是1的方程，一次項(xiàng)系數(shù)規(guī)定不等于0； n元一次方程組就是幾個(gè)n元一次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； 一元a次方程就是含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)最高次數(shù)是a的方程（一元一次方程除外）； 一元a次方程組就是幾個(gè)一元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； n元a次方程就是含有n個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)項(xiàng)最高次數(shù)是a的方程（一元一次方程除外）； n元a次方程組就是幾個(gè)n元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）； 方程（組）中，未知數(shù)個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的方程（組）叫做不定方程（組），此類方程（組）一般有無數(shù)個(gè)解。 互補(bǔ)（簡稱“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”）參考資料：http://wenwen.soso.com/z/q203304309.htm?sp=1000
小學(xué)數(shù)學(xué)全部公式
7 、梯形 S：面積 a：上底 b：下底 h：高 面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 梯形高=面積 ×2÷(上底+下底) 梯形上
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1-6年級的所有數(shù)學(xué)公式
15、 平行四邊形 s面積 a底 h高 面積=底×高 s=ah 16、 梯形 s面積 a上底 b下底 h高 面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 17、 圓形 S面積 C周長 ∏ d=直徑 r=半徑 (1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑 C=∏d=2∏r (2)面積=半徑×半徑×∏ 18、 圓柱體 v:體積 h:...
一到六年級數(shù)學(xué)公式
一到六年級數(shù)學(xué)公式包括基礎(chǔ)的算術(shù)和幾何概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。以下是各個(gè)年級的主要數(shù)學(xué)公式：1. 加法公式：- 和 = 加數(shù) + 加數(shù) - 和 = 加數(shù) + 加數(shù) 2. 減法公式：- 被減數(shù) - 減數(shù) = 差 - 差 = 被減數(shù) - 減數(shù) - 被減數(shù) - 差 = 減數(shù) - 減數(shù) = 被減數(shù) - 差 3. 乘法公式：- ...
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1～4年級數(shù)學(xué)公式1 一、必背定義、定理公式 三角形的面積=底×高÷2 公式 S= ah÷2 正方形的面積=邊長×邊長 公式 S= aa 長方形的面積=長×寬 公式 S= ab 平行四邊形的面積=底×高 公式 S= ah 梯形的面積=(上底+下底)×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2 內(nèi)角和:三角形的內(nèi)角和=180度 長方體的...
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以下是小學(xué)一到六年級的數(shù)學(xué)公式，經(jīng)過修改和潤色，確保語義清晰且無誤：二年級：1. 乘法口訣：例如，2 × 2 = 4。2. 加減法結(jié)合律：（a + b）+ c = a + (b + c)。3. 加減法交換律：a + b = b + a，a - b ≠ b - a。三年級：1. 面積公式：矩形面積 = 長 × 寬；三角...
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小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式 1 正方形 C周長 S面積 a邊長 周長＝邊長×4 C=4a 面積=邊長×邊長 S=a×a 2 正方體 V:體積 a:棱長 表面積=棱長×棱長×6 S表=a×a×6 體積=棱長×棱長×棱長 V=a×a×a 3 長方形 C周長 S面積 a邊長 周長=(長+寬)×2 C=2(a+b)面積=長×寬 S=ab 4 ...
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小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式：1. 正方形 - 周長＝邊長×4 - 面積=邊長×邊長 2. 長方形 - 周長=(長+寬)×2 - 面積=長×寬 3. 三角形 - 面積=底×高÷2 - 三角形高=面積×2÷底 - 三角形底=面積×2÷高 4. 平行四邊形 - 面積=底×高 5. 梯形 - 面積=(上底+下底)×高÷2 6. ...
誰有一到六年級數(shù)學(xué)的所有公式?
小學(xué)1-6年級數(shù)學(xué)公式 每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù) 1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù) 速度×?xí)r間＝路程 路程÷速度＝時(shí)間 路程÷時(shí)間＝速度 單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià) 工作效率×工作時(shí)間＝工作總量 工作總量÷...
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嘉蔭縣分度： ______[答案] 同底數(shù)冪的乘法:a^m·a^n=a^m=n同底數(shù)冪的乘方:(a^m)=a^mn積的乘方:(ab)^n=a^n·b^n同底數(shù)冪的除法:a^m÷a^n=a^(m-n)a^0=1平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2三角形的三個(gè)內(nèi)...
嘉蔭縣分度： ______ 第五章 相交線與平行線 5.1 相交線 5.1.2 垂線 5.1.3 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 觀察與猜想 5.2 平行線及其判定 5.2.1 平行線 5.3 平行線的性質(zhì) 5.3.1 平行線的性質(zhì) 5.3.2 命題、定理 5.4 平移 教學(xué)活動(dòng) 小結(jié) 第六章 平面直角坐標(biāo)系 6.1 平面直角坐...
嘉蔭縣分度： ______ a【m】*a【n】=a【m+n】 (am)【n】=a【mn】 (ab)【m】=a【m】b【m】 【】里面的代表的是次數(shù),就是上標(biāo)的那個(gè) (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab 這三個(gè)里面的數(shù)字代表的都是平方,百度打不出來平方
嘉蔭縣分度： ______[答案] 常見的初中數(shù)學(xué)公式 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短 ...
嘉蔭縣分度： ______[答案] 1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過直線...
嘉蔭縣分度： ______ 不知道版本一不一樣…… 七年級上有七章:1:從自然數(shù)到有理數(shù)(公式:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c);a*b=b*a;(a*b)*c=a*(b*c);a*(b+C)=a*b+a*c) 以下的都不需要用到公式——2:有理數(shù)的運(yùn)算3:實(shí)數(shù)4:代數(shù)式5:一元一次方程6:數(shù)據(jù)與圖表7:圖形的初步知識 抱歉,七年級下的書找不到了…… 如果還有什么疑問,可以來問我
嘉蔭縣分度： ______[答案] (一)運(yùn)用公式法: 我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形.如果把乘法公式反過來就是把多項(xiàng)式分解因式.于是有: a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式...
嘉蔭縣分度： ______[答案] 第一章是 整式的乘除1 同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加2 冪的乘方與積的乘方冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘積的乘方等于積中每個(gè)因式分別乘方3 同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減a°=1(a≠0...
嘉蔭縣分度： ______ 平均數(shù)問題公式 (一個(gè)數(shù)+另一個(gè)數(shù))÷2 反向行程問題公式 路程÷(大速+小速 同向行程問題公式 路程÷(大速-小速) 行船問題公式 同上 列車過橋問題公式 (車長+橋長)÷車速 工程問題公式 1÷速度和 盈虧問題公式 (盈+虧)÷兩次的相差數(shù) 利...
嘉蔭縣分度： ______[答案] 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 其中a、b、(a+b)、(a-b)后面的“2”都表示平方.
