自然數(shù)包括哪些？ 什么叫做自然數(shù)，自然數(shù)有哪些？
數(shù)學(xué)中，自然數(shù)指用于計(jì)數(shù)（如“桌子上有三個蘋果”）和定序（如“國內(nèi)第三大城市”）的數(shù)字。用于計(jì)數(shù)時稱之為基數(shù)，用于定序時稱之為序數(shù)。
自然數(shù)的定義不一，可以指正整數(shù) 1,2,3,4，亦可以指非負(fù)整數(shù) 0,1,2,3,4。前者多在數(shù)論中使用，后者多在集合論和計(jì)算機(jī)科學(xué)中使用，也是 ISO 80000-2 標(biāo)準(zhǔn)中所采用的定義。
數(shù)學(xué)家一般以N代表以自然數(shù)組成的集合。自然數(shù)集是一個可數(shù)的，無上界的無窮集合。
拓展資料：
在中國大陸，2000年左右之前的中小學(xué)教材一般不將0列入自然數(shù)之內(nèi)，或稱其屬于“擴(kuò)大的自然數(shù)列”。在2000年左右之后的新版中小學(xué)教材中，普遍將0列入自然數(shù)。
自然數(shù)就是我們常說的正整數(shù)和0。
即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù) 。表示物體個數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開始(包括0)， 一個接一個，組成一個無窮的集體。
自然數(shù)可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1
和
0。
質(zhì)數(shù)，又叫素?cái)?shù)，指的是如果一個數(shù)除了被1和自身這兩個數(shù)整除之外，不能被其他任何數(shù)整除，就稱為質(zhì)數(shù)，否則就是合數(shù)。
被1整除的只有1，所以1既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)；
2只能被1和2整除，而除了2以外的任何一個偶數(shù)至少有1,2，還有自己，所以只要這個偶數(shù)不是2，就一定是合數(shù)。
由意大利數(shù)學(xué)家G
皮亞諾提出來的序數(shù)理論,他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì),并用公理法給出了自然數(shù)的定義：自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合。
1、N中有一個元素記作1
2、N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的后繼者;
3、1是0的后繼者
4、0不是任何元素的后繼者
5、不同元素有不同的后繼者
6、基數(shù)理論都把0歸為自然數(shù)的范疇,因?yàn)閺募险摰慕嵌?把0作為空集的基數(shù),這樣所有有限集合的基數(shù)都可以用自然數(shù)來刻畫了。
7、目前在上際上,大多數(shù)國家都把0納入自然數(shù)集內(nèi),為了國際交流的方便,中國也在1993年制定的新標(biāo)準(zhǔn)將0納入自然數(shù)集合中。
擴(kuò)展資料
自然數(shù)的整體對于＋來說叫做閉合。由于乘法也是自然數(shù)的相乘，是加法的重復(fù)，因此也能自由地進(jìn)行。也就說自然數(shù)的整體對于×是閉合的。所以在只考慮＋或×的時候。只要自然數(shù)就夠用，沒有必要再考慮新的數(shù)。
可是要考慮×的逆運(yùn)算÷的時候，自然數(shù)就不再閉合。因?yàn)槿我馊蓚€自然數(shù)作除法結(jié)果卻不一定是自然數(shù)。例如2÷3的結(jié)果就不是自然數(shù)。
自然數(shù)的范圍太狹窄了，要想自由地進(jìn)行除法運(yùn)算，就必須增加新的數(shù)，這就是分?jǐn)?shù)。在自然數(shù)與分?jǐn)?shù)合起來的更寬廣的數(shù)的范圍內(nèi)，＋，×，÷就可以自由地進(jìn)行。
然而，想到＋的逆運(yùn)算－的時候，這個范圍又窄了。因?yàn)椴荒軓男?shù)減去大數(shù)，例如2－5，即使寫出這個式子，也得不出答案。為了讓這個式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個新數(shù)。
也就是說要自由地做－運(yùn)算，需要有一種新的數(shù)——負(fù)數(shù)。把數(shù)的范圍擴(kuò)大到正的自然數(shù)、負(fù)的自然數(shù)及分?jǐn)?shù)，即有理數(shù)時，＋，－，×，÷四則運(yùn)算可以自由的無限制地進(jìn)行。換句話說有理數(shù)對于四則運(yùn)算是閉合的。
1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn),物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號》中,將自然數(shù)集記為
N={0,1,2,3,…}
而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然數(shù)集擴(kuò)充后,文[1]中的自然數(shù)的基數(shù)理論以及其他一些與自然數(shù)有關(guān)的理論問題隨之起變化,這給數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用產(chǎn)生一定影響.為此,我們將自然數(shù)的基數(shù)理論討論如下.
1 對自然數(shù)的來源的認(rèn)識
由于自然數(shù)的概念是建立在基數(shù)理論[1]之上的,基數(shù)是由集合對等而來.最初人類對物品的計(jì)數(shù),是將物品與人的手指(腳趾)數(shù)形成映射關(guān)系,物品既然存在“多少”,也就存在“有”或“沒有”,“沒有”即可認(rèn)為是空集,其計(jì)數(shù)應(yīng)當(dāng)是零.這就是說,零與非零自然數(shù)是人類認(rèn)識同步的客觀現(xiàn)象,而并非是6世紀(jì)才有零的概念.也許這就是將零補(bǔ)充到自然數(shù)集的緣由之一.事實(shí)上,國外許多文獻(xiàn)和專家早就主張將零作為第一個自然數(shù).
2 自然數(shù)的新概念
自然數(shù)擴(kuò)充后,包含了空集的基數(shù),要去掉原有自然數(shù)定義中“非空”的限制條件,即定義1 有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù).根據(jù)對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關(guān)系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可見,N與N+有相同的基數(shù),即|N|=|N+|.
3 自然數(shù)的四則運(yùn)算
自然數(shù)加法、乘法運(yùn)算義定只要去掉原有定義中的“非空”二字即可,亦即
定義2 設(shè)有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數(shù)分別是a,b和c,那么c叫做a與b的和,記作
a+b=c.
a和b叫做加數(shù).求兩個數(shù)的和的運(yùn)算叫做加法.
定義3 設(shè)有m(m>1)個相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數(shù)都是n.又設(shè)A=Umi=1Ai,A的基數(shù)記作
a,即有a=n+n+…+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數(shù),m稱為乘數(shù).求兩個數(shù)積的運(yùn)算叫做乘法.
對于數(shù)0,1,補(bǔ)充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定義里,加法、乘法的交換律、結(jié)合律,乘法對于加法的分配律仍然成立.
關(guān)于減法運(yùn)算的定義,除了去掉“非空”二字外,集合B可以是A本身,即
定義4 設(shè)有有限集合A和B,B A,若記A-B=C,且A,B,C的基數(shù)分別記作a,b,c,那么c叫做a,b的差,記作
a-b=c.
a叫做被減數(shù),b叫做減數(shù).求兩個數(shù)差的運(yùn)算叫做減法.
除法是乘法的逆運(yùn)算,在原定義中要限定“除數(shù)非零”即可.
定義5 設(shè)a,b(b≠0)是兩個自然數(shù),如果存在一個自然數(shù)c,使得bc=a,那么c叫做a除以b所得的商,記作
ab=c,或a÷b=c.
a稱為被除數(shù),b稱為除數(shù).求兩個數(shù)商的運(yùn)算叫做除法.
4 自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
(1)自然數(shù)的有序性決定了自然數(shù)可以比較大小,即
定義6 如果兩個有限集合A,B的基數(shù)分別為a,b,那么
1° 當(dāng)A A′,A′～B時,a>b;
2° 當(dāng)B′ B,A～B′時,a<b;
3° 當(dāng)A～B時,a=b.
自然數(shù)有反身律:a=a;對稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c.
自然數(shù)從小到大的排序?yàn)?
0,1,2,3,….
(2)自然數(shù)的單調(diào)性反映了不等量關(guān)系中的運(yùn)算性質(zhì),擴(kuò)充后的自然數(shù)其單調(diào)性有了局部性改變,即
若a≥b,則
1° a+c≥b+c;
2° 當(dāng)c>0時,ac≥bc,
當(dāng)c=0時,ac=bc.
對于與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)論證與原理,應(yīng)隨自然數(shù)擴(kuò)充后作相應(yīng)調(diào)整.如數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟應(yīng)是
1° 驗(yàn)證n=0時,命題成立;
2° 假設(shè)n=k-1時成立,則n=k時命題成立.
自然數(shù)包括哪些
1,2,3,4，5,6,7,8，9，俗稱阿拉伯?dāng)?shù)字。由它們可以組合任合數(shù)。數(shù)有無限，但數(shù)字只有10個。用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù) 。 即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù) 。3、表示物體個數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開始(包括0)， 一個接一個，組成一個無窮的集體。
自然數(shù)包括哪些數(shù)
自然數(shù)包括有0、1、2、3、4、6、7、8等。自然數(shù)表示物體個數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，整數(shù)包括自然數(shù)，所以自然數(shù)一定是整數(shù)，且一定是非負(fù)整數(shù)，自然數(shù)就是指大于等于0的整數(shù)，當(dāng)然負(fù)數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等就不算在其內(nèi)了。自然數(shù)，又叫非負(fù)整數(shù)，是指用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)，即用數(shù)碼0，1，...
自然數(shù)包括什么數(shù)?
3. 自然數(shù)的重要性：自然數(shù)在數(shù)學(xué)中占有重要地位。它們是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的概念之一，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了基礎(chǔ)支撐。無論是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算還是幾何圖形的分析，自然數(shù)都是不可或缺的一部分。此外，自然數(shù)在日常生活和科學(xué)研究中也有著廣泛的應(yīng)用，幫助我們理解和解決各種問題。總之，自然數(shù)包括零和...
自然數(shù)包括哪些數(shù)
自然數(shù)包括從0開始的所有正整數(shù)。這些數(shù)不包含負(fù)數(shù)、零或分?jǐn)?shù)，它們的定義是連續(xù)且遞增的序列。具體來說：1. 0 是自然數(shù)中的第一個數(shù)，它標(biāo)志著數(shù)的數(shù)量或存在，但不是任何數(shù)量的增加。2. 自然數(shù)接著是1，它是基本的計(jì)數(shù)單位，用于表示單個的事物或?qū)ο蟆?. 隨著計(jì)數(shù)的進(jìn)行，自然數(shù)依次為2, 3,...
自然數(shù)包括哪些?
數(shù)學(xué)家通常使用符號N來表示自然數(shù)的集合。自然數(shù)集是一個無限的集合，既沒有上限也未被數(shù)盡。這意味著自然數(shù)集是可數(shù)的，并且其元素的數(shù)量是無窮大的。在大陸地區(qū)的中小學(xué)教育中，自然數(shù)的概念在不同時間段有著不同的定義。在2000年以前的教材中，通常認(rèn)為自然數(shù)僅指正整數(shù)，而不包括0。然而，到了...
自然數(shù)包括什么?
自然數(shù)包括用于計(jì)數(shù)和描述事物數(shù)量的所有正整數(shù)。以下是關(guān)于自然數(shù)的 一、自然數(shù)的定義 自然數(shù)通常是指非負(fù)整數(shù)，即用數(shù)來代表事物的數(shù)量或大小，包括正整數(shù)和零。在計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)中，自然數(shù)常用于計(jì)數(shù)和排序。它是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的概念之一。二、自然數(shù)的范圍 自然數(shù)的范圍包括所有正整數(shù)，如1、2、3...
什么是自然數(shù)?
自然數(shù)是指整數(shù)中不包括負(fù)數(shù)和零的數(shù)，即正整數(shù)。1、自然數(shù)包括1、2、3、4……以此類推。自然數(shù)用來表示計(jì)數(shù)和標(biāo)識物體或?qū)ο蟮臄?shù)量。它是最基本的數(shù)學(xué)概念之一，常用于數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中的計(jì)算、排列和描述。自然數(shù)在日常生活和學(xué)術(shù)研究中都有重要的應(yīng)用，是我們理解和描述世界的基礎(chǔ)。2、自然數(shù)...
自然數(shù)包括啥
自然數(shù)包括用于計(jì)數(shù)和排序的所有正整數(shù)，即從1開始的整數(shù)。自然數(shù)的定義 自然數(shù)是指用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4……所表示的數(shù)。即用非負(fù)整數(shù)序列表示的數(shù)，也就是人們通常所說的從1到無限的整數(shù)。自然數(shù)由零和正整數(shù)組成，是一個無限集合。它在...
自然數(shù)包括什么
自然數(shù)包括正整數(shù)和零。它們是整數(shù)的一部分，但整數(shù)范圍更廣，包括負(fù)數(shù)。自然數(shù)概念對應(yīng)于集合的元素?cái)?shù)量，是無限集。非負(fù)整數(shù)集合，即自然數(shù)集合，包含了所有自然數(shù)。在實(shí)際計(jì)數(shù)場景中，自然數(shù)表示物體的數(shù)量或順序，具有基數(shù)和序數(shù)雙重屬性。計(jì)數(shù)單位從個位開始，依次為十、百、千、萬等，以此類推，...
自然數(shù)都有哪些
自然數(shù)包括所有非負(fù)整數(shù)，即0, 1, 2, 3, 4, 5, ...，并一直延續(xù)下去。這些數(shù)字通常用于計(jì)數(shù)或表示物體的個數(shù)。自然數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，它們在我們的日常生活中無處不在。當(dāng)我們數(shù)蘋果、計(jì)算人數(shù)或者衡量距離時，我們都在使用自然數(shù)。自然數(shù)的集合在數(shù)學(xué)上用N來表示，通常定義為最小的...
相關(guān)評說：
特克斯縣圓刀： ______ 自然數(shù)用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù).即用數(shù)碼0,1,2,3,4,……所表示的數(shù).表示物體個數(shù)的數(shù)叫自然數(shù),自然數(shù)由0開始,一個接一個,組成一個無窮的集體.自然數(shù)有有序性,無限性.分為偶數(shù)和奇數(shù),合數(shù)和質(zhì)數(shù)等.
特克斯縣圓刀： ______ 自然數(shù)表示物體的個數(shù),0表示一個也沒有,所以自然數(shù)從0開始的整數(shù)即:0,1,2,3,……最小的自然數(shù)是0
特克斯縣圓刀： ______ 自然數(shù)包括0,1,2,3……最小的自然數(shù)為0 沒有最大自然數(shù)
特克斯縣圓刀： ______ 零和正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)
特克斯縣圓刀： ______ 大于等于0的整數(shù)
特克斯縣圓刀： ______ 包括正整數(shù)和非負(fù)整數(shù).自然數(shù)由0開始(包括0), 一個接一個,組成一個無窮集體.自然數(shù)集有加法和乘法運(yùn)算,兩個自然數(shù)相加或相乘的結(jié)果仍為自然數(shù)
特克斯縣圓刀： ______ 自然數(shù),是非負(fù)整數(shù)(0, 1, 2, 3, 4……).
特克斯縣圓刀： ______ 就是0和正整數(shù),也就是0,1,2,3,4,......,99,100,......1000.....這種
特克斯縣圓刀： ______ 初中的時候自然數(shù)一般就是{1,2,3,4...} 后來自然數(shù)就包括0了,也就是{0,1,2,3,4...} 而整數(shù)則是正整數(shù),0和負(fù)整數(shù)的總稱,也就是{...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}
特克斯縣圓刀： ______ 自然數(shù)都有0、1、2、3、4、5、6、7、8……
