y= xsinx是否有界?
解題過程如下：
無界
對任意的M
取x=Mπ/2(M為奇數(shù)
若M為偶數(shù)取x=(M+1)π/2
則有|y|=|Mπ/2|>M
所以y=xsinx無界
性質(zhì)：
設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，f(x)在集合D上有定義。如果存在數(shù)K1，使得 f(x)≤K1對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)f(x)在D上有上界。
反之，如果存在數(shù)字K2，使得 f(x)≥K2對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)f(x)在D上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在D上的一個下界。
如果存在正數(shù)M，使得 |f(x)|≤M 對任意x∈D都成立，則稱函數(shù)在D上有界。如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在D上無界；等價于，無論對于任何正數(shù)M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數(shù)f(x)在X上無界。
相關(guān)評說：
大東區(qū)剛體： ______ y=xsinx2有界性 無界.
大東區(qū)剛體： ______ 函數(shù)y=xsinx在(-∞, ∞)內(nèi)無界. 又當(dāng)x→∞時,這個函數(shù)是無窮大,因為sinx是一個有界函數(shù)limxsinx=limsinx/(1/x),就是一個有界函數(shù)與一個無窮小量的比值,所以是無窮大.
大東區(qū)剛體： ______[答案] 很顯然,取x=2kpi + pi/2,則y=2kpi + pi/2,很顯然這個數(shù)是無界的,任意取正整數(shù)N,存在 k= [(N-pi/2)/2pi] +1 使得y>N
大東區(qū)剛體： ______ 先求導(dǎo):y=xsinx=x'sinx+xsinx'=sinx+xcosx=√(1+x2)sin(x+θ),θ>0 令√(1+x2)sin(x+θ)=0解得:x=-θ<0, 令√(1+x2)sin(x+θ)>0解得:-θ+2kπ=<x<-θ+π+2kπ 令√(1+x2)sin(x+θ)<0解得:-θ+3π/2+2kπ=<x<-θ+2π+2kπ 畫圖可知,函數(shù)的圖像如山坡狀周期性,遞增,遞減,但不重復(fù).數(shù)值隨x的增大而波峰,波谷越來越高,越來越深,故沒有最大值或者最小值,故函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)無界;當(dāng)x→+∞時,這個函數(shù)的值無窮大.
大東區(qū)剛體： ______[答案] 當(dāng)x趨于0時,x是無窮小,sinx是有界函數(shù), xsinx是有界函數(shù)與無窮小之積,仍是無窮小.所以極限是0
大東區(qū)剛體： ______ 如下:當(dāng)x=π/2+2kπ時,y=x=π/2+2kπ,當(dāng)k趨向于+∞時,y趨向于+∞,所以y=xsinx無界
大東區(qū)剛體： ______ 設(shè)f(x)=xsinx, 取xn=[2n+(1/2)]π, f(xn)=xnsin(xn)=[2n+(1/2)]π, 當(dāng)n趨向于無窮大時, f(xn)也趨向于無窮大.
大東區(qū)剛體： ______[答案] (1)由y=xsinx 其中:x∈R,∴y∈R 即不滿足|y|≤A(A是常數(shù)) ∴y=xsinx不是有界函數(shù). (2)由y=cosx/x 當(dāng)x≠0時,y∈R, 同樣本是有界的.
大東區(qū)剛體： ______[答案] 【解】:無界 如果有,則存在正數(shù)A,使得|xsinx|0) (A+t)sin(A+t)=(A+t)>A 矛盾.
