積分中值定理的條件是 積分中值定理
連續(xù)，或有有限個間斷點，有界。
若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則在積分區(qū)間（a，b）上至少存在一個點ξ，使∫（b，a）f（x）dx=f（ξ）（b-a）成立。其中，a、b、ξ滿足：a≤ξ≤b。
對于積分中值定理的第一個證明，也可以增加一些步驟，使得結論在（a，b）上成立。但是對于這本書來說，因為有了第二個證明，書的嚴謹性和完整性已經具備了，所以第一個證明只寫了較弱的結論。
積分發(fā)展
的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。
但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
以上內容參考：百度百科-積分
若函數(shù)
f(x)
在閉區(qū)間[a,
b]上連續(xù),，
則在積分區(qū)間
(a,
b)上至少存在一個點
ξ，使∫(b,a)
f(x)dx=f(ξ)(b-a)成立。其中，a、b、ξ滿足：a≤ξ≤b，
定理的條件中要求f（x）
在閉區(qū)間上連續(xù)，僅在開區(qū)間上連續(xù)或者僅在閉區(qū)間上可積都不能保證結論成立．如
（1）函數(shù)
y＝
1
x
在開區(qū)間（0，1）上可積，由定積分的幾何意義可知，函數(shù)是不可積的，結論不能成立．
（2）函數(shù)
y＝f(x)＝
1， 0 ≤ x ≤1
2， 1 ＜ x ≤2
，其在區(qū)間[0，2]上可積，且積分值為3．
計算可得
∫
b
a
f(x)dx
b?a
＝
3
2
，但在[0，2]區(qū)間內不存在ξ
滿足
f(ξ)＝
3
2
．
微分中值定理—羅爾中值定理
當考慮修改羅爾中值定理條件時，例如將“開區(qū)間可導”改為“閉區(qū)間可導”，則不等價。例如函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導，但在端點不可導，依然滿足羅爾中值定理。綜上所述，羅爾中值定理作為微分中值定理的基礎，通過折返跑等實例直觀闡述了導數(shù)為零的點的存在性，并強調了至少存在一個點的條件，...
微分中值定理(拉格朗日中值定理)與積分中 值定理的條件?
微分中值定理與積分中值定理勾要求在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)的。
數(shù)學知識篇10:微分中值定理
證明：由于f在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理，f在區(qū)間上必定可以取得它的最大值M和最小值m。因此，要么f在區(qū)間內始終等于m，要么始終等于M。如果始終等于m或M，則必然存在c，使得f'(c) = 0。拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f滿足以下條件：1. 在閉區(qū)間[a, b]上...
拉格朗日中值定理成立的三個條件
拉格朗日中值定理闡述了連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間內某點局部變化率之間的關系。此定理在微分學領域中扮演了基本角色，是理解函數(shù)性質與變化規(guī)律的關鍵工具。具體而言，拉格朗日中值定理要求函數(shù)滿足三個條件：首先，函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上必須連續(xù)；其次，在開區(qū)間(a, b)內，函數(shù)必須可導...
微分中值定理,這題怎么證?
回答：xf'(x)+f(x)=0 F(x)=xf(x) 顯然滿足第1,2條件 又 F(0)=F(1)=0 所以 由羅爾定理,得 結論成立。
如何應用中值定理?
(f(b) - f(a)) \/ (g(b) - g(a)) = f'(c) \/ g'(c)應用中值定理的步驟通常包括以下幾個方面：驗證條件：首先，需要確保函數(shù)在所考慮的閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導。對于柯西中值定理，還需要確保輔助函數(shù)（即分母中的函數(shù)）的導數(shù)不為零。確定應用哪種形式：根據(jù)具體問題的條件，選擇...
羅爾中值定理是什么?
羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下：如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。函數(shù)x的絕對值,不符合羅爾中值定理 中...
羅爾中值定理和拉格朗日中值定理
羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。羅爾定理描述如下：如果 R 上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間 [a,b] 上連續(xù)，（2）在開區(qū)間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，...
拉格朗日中值定理的適用條件
拉格朗日(Lagrange)中值定理，作為微積分學中的一個重要定理，揭示了函數(shù)在閉區(qū)間上的行為與導數(shù)之間的關系。該定理指出，如果一個函數(shù)f(x)滿足兩個條件：首先，它在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的；其次，它在開區(qū)間(a,b)內是可導的，那么在(a,b)內至少存在一點ξ，使得 這個結論不僅僅是一個理論上的...
為什么羅爾中值定理的三個條件缺一不可
綜上所述，羅爾中值定理的三個條件——函數(shù)在區(qū)間兩端值相等、區(qū)間內可導、區(qū)間內至少一個點導數(shù)為零——相互依存、缺一不可。這三個條件共同作用，確保了在滿足特定條件下，函數(shù)在區(qū)間內一定存在一個斜率為零的點。這一定理在微積分中具有重要的理論價值和實際應用，為解決和分析函數(shù)的性質提供了有力...
相關評說：
龍文區(qū)等效： ______ 中值定理是微積分學中的基本定理. 內容是說一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點,它的斜率與整段曲線平均斜率相同(嚴格的數(shù)學表達參見下文).中值定理又稱為微分學基本定理,拉格朗日定理,拉格朗日中值定理,以及有限改變量定理等. ...
龍文區(qū)等效： ______ 我大一的時候學高數(shù)學過 嘿嘿 羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.應該是這樣 你也可以最好查找一下高數(shù)(第五版)課本
龍文區(qū)等效： ______ 不管是微分中值定理還是積分中值定理,中值點取在開區(qū)間是定理保證的(中值點也并不是唯一的).但并不排除區(qū)間端點也可取作中值點的情形,比如常數(shù)函數(shù),區(qū)間上的任何點都可作為中值點.
龍文區(qū)等效： ______ 是閉區(qū)間哈!
龍文區(qū)等效： ______ 微積分中的拉格朗日定理即(拉格朗日中值定理) 設函數(shù)f(x)滿足條件: (1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù); (2)在開區(qū)間(a,b)可導; 則至少存在一點ε∈(a,b),使得 f(b) - f(a)=f'(ε)(b-a) 或者 f(b)=f(a) + f(ε)'(b - a) [證明:把定理里面的c換成x在不定積分得原函數(shù)f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件:1,G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]連續(xù);3.G(x)在(a,b)可導.此即羅爾定理條件,由羅爾定理條件即證]
龍文區(qū)等效： ______[答案] (1)設M與m是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值與最小值,即m≤f(x)≤M,x∈[a,b]. 由定積分性質,有m(b?a)≤ ∫baf(x)dx≤M(b?a),即m≤ ∫baf(x)dx b?a≤M. 由連續(xù)函數(shù)介值定理可知:至少存在一點η∈[a,b],使得f(η)= ∫baf(x)dx b?a. 即 ∫baf(x)dx=f(η)(b?a). ...
龍文區(qū)等效： ______ 定理的條件中要求f(x) 在閉區(qū)間上連續(xù),僅在開區(qū)間上連續(xù)或者僅在閉區(qū)間上可積都不能保證結論成立.如 (1)函數(shù) y=1 x 在開區(qū)間(0,1)上可積,由定積分的幾何意義可知,函數(shù)是不可積的,結論不能成立. (2)函數(shù) y=f(x)= 1, 0 ≤ x ≤1 2, 1 ,其在區(qū)間[0,2]上可積,且積分值為3. 計算可得 ∫ b a f(x)dx b?a =3 2 ,但在[0,2]區(qū)間內不存在ξ 滿足 f(ξ)=3 2 .
龍文區(qū)等效： ______ 因為Dirichlet判別法和Abel判別法都使用了積分第二中值定理(第三),積分第二中值定理需要單調才能得出g(a)和g(b).詳見積分中值定理.
龍文區(qū)等效： ______ 如果承認牛頓-萊布尼茲公式是正確的,用拉格朗日中值定理是很容易推出積分中值定理的. 這主要是數(shù)學課程在邏輯安排上的問題,因為證明牛頓-萊布尼茲公式需要用到積分中值定理,這樣在邏輯上就產生了混亂.如果你想用微分中值定理來證明積分中值定理,就應該首先證明牛頓-萊布尼茲公式正確,并且不可以用到積分中值定理. 用積分中值定理來證明微分中值定理,需要加強函數(shù)的條件,即將函數(shù)可導加強為有連續(xù)的導數(shù),因為牛頓-萊布尼茲公式成立需要被積函數(shù)連續(xù)的條件.當然這樣做仍然有邏輯上的問題,即得到牛頓-萊布尼茲公式及積分中值定理不可以用到微分中值定理及由微分中值定理證明的所有命題.
龍文區(qū)等效： ______ 在數(shù)學定理的證明中,我們總是希望用最弱的條件推出最強的結論.這樣定理的適用性強,應用范圍廣,而且也符合我們的審美邏輯. 樓主可以看到,在羅爾定理的證明中,如果f(a)=f(b),則完全可以找到(a,b)里的一點ξ,使得f(ξ)取到極值,從而f'(ξ)=0.這樣定理的結論中寫ξ∈[a,b]和ξ∈(a,b)都沒有錯,但是為了讓結論最強,我們選擇ξ∈(a,b) 對于積分中值定理的第一個證明,我們也可以增加一些步驟,使得結論在(a,b)上成立(如果你想看的話我可以給你寫出來).但是對于這本書來說,因為有了第二個證明,書的嚴謹性和完整性已經具備了,所以第一個證明只寫了較弱的結論.
