求通項(xiàng)公式的7種方法，帶例題。 求通項(xiàng)公式的7種方法，帶例題。
二、累商法遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）思路：令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求積∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)當(dāng)然我們還要驗(yàn)證當(dāng)n=1時，a1是否適合上式例2、在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n當(dāng)n=1時，an也適合上式∴an=2n
三,構(gòu)造法1、遞推關(guān)系式為an+1=pan+q (p,q為常數(shù))思路：設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數(shù)列.故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重慶)數(shù)列{an}中,對于n>1(n?N)有an=2an-1+3,求an設(shè)遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數(shù)列且公比為3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上類型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an例4、數(shù)列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數(shù)）思路：設(shè)an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，于是｛bn｝就是公比為y的等比數(shù)列（其中bn=an+1-xan）這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過的類型了．例5、已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an設(shè)an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3構(gòu)造數(shù)列｛bn｝，bn=an+1-an故數(shù)列｛bn｝是公比為-1/3的等比數(shù)列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n?N*)
四、利用sn和n、an的關(guān)系求an1、利用sn和n的關(guān)系求an思路：當(dāng)n=1時，an=sn當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1例6、已知數(shù)列前項(xiàng)和s=n2+1,求{an}的通項(xiàng)公式.當(dāng)n=1時，an=sn＝2當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1時，a1=2不適合上式∴當(dāng)n=1時，an=2當(dāng)n≥2 時, an=2n-12、利用sn和an的關(guān)系求an思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關(guān)系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解例7、在數(shù)列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴｛an｝是以2為公比的等比數(shù)列∴an=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全歸納法猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明.思路:由已知條件先求出數(shù)列前幾項(xiàng)，由此歸納猜想出an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明例8、(2002全國高考)已知數(shù)列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an由已知可a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊即當(dāng)n=1時命題成立假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即ak=k+1則 ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴當(dāng)n=k+1時，命題也成立．綜合(1),(2),對于任意正整數(shù)有an=n+1成立即an=n+1
應(yīng)該是〈常見遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的七種方法〉吧，可參見：
《教育革新》2009年第07期
作者：何發(fā)科
百度文庫中也有，這兒貼不全，請自查。
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。
例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an 1=an 2(n1)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。
解：由an 1=an 2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡單的基礎(chǔ)小題。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關(guān)系時，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式
對于題中給出an與an 1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。
例：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n 1)an 12-nan2 an 1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
解：∵(n 1)an 12-nan2 an 1an=0，可分解為[(n 1)an 1-nan](an 1 an)=0
又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an 1 an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式
題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時，可以考慮通過變形，構(gòu)造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來的高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an 1=(--1)(an 2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項(xiàng)公式 (2)略
解：由an 1=(--1)(an 2)得到an 1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首項(xiàng)為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--) -
又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an 1=4an-3n 1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。
證明：本題即證an 1-(n 1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))
由an 1=4an-3n 1，可變形為an 1-(n 1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列。
若將此問改為求an的通項(xiàng)公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來。
又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
求數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪幾種方法?
a1=1 a2=a1+1 a3=a2+2 --- an=a(n-1)+(n-1)上述式子相加得：a1+a2+a3+---+a(n-1)+an=a1+a2+a3+---+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)an=1+1+2+3+---+(n-1)=1+n(n-1)\/2 =(n2-n+2)\/2 所以1、1\/2、1\/4、1\/7 的通項(xiàng)公式是an=2\/(n2-...
常見的八種數(shù)列通項(xiàng)公式是什么呢?
常見8個數(shù)列的通項(xiàng)公式是等差數(shù)列、等比數(shù)列、一階數(shù)列、二階數(shù)列、累加法、累乘法、構(gòu)造法、連加相減法。分別如下:等差數(shù)列：對于一個數(shù)列{ an}，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差，記為 d ；從第一項(xiàng) a1到第n項(xiàng) an的總和，記為Sn。通項(xiàng)公式為：...
由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的方法
2、迭代法：對于形如an=an-1+f（n）的遞推關(guān)系，我們可以通過連續(xù)迭代的方式得到通項(xiàng)公式。例如，對于數(shù)列1，3，7，13，21...，我們可以看到每一個數(shù)都是前一個數(shù)與2的和，即an=an-1+2。通過連續(xù)迭代，我們可以得到an=（n-1）*2+1。3、構(gòu)造法：對于不滿足上述兩種方法的遞推關(guān)系，我們...
跪求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法。
一、觀察法。根據(jù)各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系求解通項(xiàng)的方法。二、公式法。已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、疊加法。一般地，對于型如第n+1項(xiàng)-第n項(xiàng)=f（n）類的遞推關(guān)系式，用疊加法求和。四、疊乘法。型如第n+1項(xiàng)除以第n項(xiàng)=f(n)·類的遞推關(guān)系式。五、Sn法...
求通項(xiàng)公式的11種方法
累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、換元法、數(shù)字歸納法、不動點(diǎn)法、特殊方程法和倒數(shù)變換法。如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。有的數(shù)列的通項(xiàng)可以用兩個或兩個以上的式子來表示。
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?
1，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)*d。 只要用公式d=(an-am)\/(n-m)就可以算出d。2，例如：1,3,5,7,9……2n-1。通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)*d。首項(xiàng)a1=1，公差d=2。前n項(xiàng)和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]\/2或Sn=[n*(a1+an)]\/2。1，等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種...
兔子數(shù)列的通項(xiàng)公式以及如何證明?
遞歸公式：a1=1;a2=1;a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>=3)通項(xiàng)公式：a(n)=(1\/√5)*{[(1+√5)\/2]^n - [(1-√5)\/2]^n} 證明過程：（方法：數(shù)學(xué)歸納）1.當(dāng)n=1時，a1=1,例題成立；2.設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即：a(k)=(1\/√5)*{[(1+√5)\/2]^k - [(1-√5)\/2]^...
1、3、7、15、31的通項(xiàng)公式是什么?
通項(xiàng)公式是2^n-1。1=2^1-1 3=2^2-1 7=2^3-1 15=2^4-1 31=2^5-1 找規(guī)律的方法：1、標(biāo)出序列號：找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律，找出的規(guī)律，通常包序列號，所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。
“等比數(shù)列通項(xiàng)公式an怎么求”
（2）累差法和累商法（我們書本教材上叫做迭加和迭乘，具體書本上有我就不多說了）形如：已知a1，且a(n+1)-an=f(n)已知a1，且a(n+1)\/an=f(n)（3）構(gòu)造法 這個方法最難，不過把握技巧后無論什么題目都是迎刃而解 等比數(shù)列 （1）等比數(shù)列：An+1\/An=q,n為自然數(shù).（2）通項(xiàng)公式：An...
求通項(xiàng)公式的方法歸納
數(shù)列 知識點(diǎn)總結(jié)及數(shù)列求和,通項(xiàng)公式的方法歸納(附例題)59 數(shù)列；數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、通項(xiàng)；1.數(shù)列的有關(guān)概念：；（1）數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)；函數(shù)；（3）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列?an?的第n,那么這個；叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，即an?f(n).如:a；（...
相關(guān)評說：
四子王旗余高： ______ 一、定義法 直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目. 例1.等差數(shù)列 是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為 ,且 成等比數(shù)列, .求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 解:設(shè)數(shù)列 公差為 ∵... 成等比數(shù)列,∴... ,即... ,得......
四子王旗余高： ______ 通項(xiàng)公式有這六種求法: 1.觀察歸納法 2.運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和之間的關(guān)系法:(就是an=s(n+1)-sn) 3.構(gòu)造新數(shù)列法:通過待定系數(shù)法設(shè)a(n+1)+x=c(an+x),構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列({an+x }),從而求出通項(xiàng).(你講的是這個?) 4.可通過把已知條件式取倒數(shù)(這種用得少 我基本上就沒用到過 了解下) 5.累加法 累乘法 6.計算、猜想結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明法:(要用數(shù)學(xué)歸納法證明的 有點(diǎn)麻煩)
四子王旗余高： ______[答案] 1.公式法: 等差數(shù)列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比數(shù)列求和公式: Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 2.錯位相減法 適用題型:適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式 { an }、{ bn }分別是等差數(shù)列...
四子王旗余高： ______ 一,公式法 S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1 - 二,迭加法 若 an+1=an+f(n), 則: an=a1+ k=2 (ak-ak-1)=a1+ k=2 f(k-1)=a1+ k=1 f(k). ∑∑ ∑ n n n-1 - 三,疊乘法 若 an+1=f(n)an, 則: a2 a3 an an=a1 a a … a =a1f(1)f(2)…f(n-1)(n≥2). … n-11 2 ...
四子王旗余高： ______ 一、觀察法.根據(jù)各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系求解通項(xiàng)的方法.二、公式法.已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時,可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、疊加法.一般地,對于型如第n+1項(xiàng)-第n項(xiàng)=f(n)類...
四子王旗余高： ______ 就告訴我高中數(shù)列中的例如什么;累加法 待定系數(shù)法 累乘法 一直地推公式的 關(guān)于高階等差數(shù)列求通項(xiàng)的辦法,一般是用多元一次方程組求通項(xiàng)多項(xiàng)式的系數(shù)
四子王旗余高： ______ 八種求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法 一、公式法 例1 已知數(shù)列 滿足 , ,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.解: 兩邊除以 ,得 ,則 ,故數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以 為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得 ,所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 .評注:本題解題的關(guān)鍵是把遞...
四子王旗余高： ______ 具體方法有 一、常規(guī)數(shù)列的通項(xiàng) 二、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng) 三、擺動數(shù)列的通項(xiàng) 四、循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng) 五、通過等差、等比數(shù)列求和來求通項(xiàng) 六、用累加法求an=a(n-1)+f(n)型通項(xiàng) 七、用累積法求an= f(n)an-1型通項(xiàng) 八、用待定系數(shù)法求an=...
四子王旗余高： ______ 裂項(xiàng)法和錯位相減法一般是是求和的方法…… 求通項(xiàng)的話可以參考如下: (一)一階常系數(shù)線性遞推數(shù)列與待定系數(shù)法 a(n+1)=k*an+h (n∈N*,k,h為常數(shù)) 其中,當(dāng)k=1,{an}為等差數(shù)列 特別的,k=1且h=0時,{an}為常數(shù)列 k不為0,且h=0時,{an}...
四子王旗余高： ______ 解:最常用的是定義法、待定系數(shù)法.還有不動點(diǎn)法和猜想歸納法,這個用得比較少.
