數(shù)學(xué)是是一門(mén)什么樣的學(xué)科? 數(shù)學(xué)是一門(mén)什么樣的學(xué)科?
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門(mén)學(xué)科.通過(guò)抽象化和邏輯推理的使用,由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生.數(shù)學(xué)家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理.
數(shù)學(xué)屬性是任何事物的可量度屬性,即數(shù)學(xué)屬性是事物最基本的屬性.可量度屬性的存在與參數(shù)無(wú)關(guān),但其結(jié)果卻取決于參數(shù)的選擇.例如：時(shí)間,不管用年、月、日還是用時(shí)、分、秒來(lái)量度；空間,不管用米、微米還是用英寸、光年來(lái)量度,它們的可量度屬性永遠(yuǎn)存在,但結(jié)果的準(zhǔn)確性與這些參照系數(shù)有關(guān).
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).簡(jiǎn)單地說(shuō),是研究數(shù)和形的科學(xué).由于生活和勞動(dòng)上的需求,即使是最原始的民族,也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù),并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù).
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用總是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一塊.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見(jiàn).從那時(shí)開(kāi)始,其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進(jìn)展,直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期,因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識(shí)的加速,直至今日.
今日,數(shù)學(xué)被使用在世界上不同的領(lǐng)域上,包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等.數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué),有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展.數(shù)學(xué)家亦研究沒(méi)有任何實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的純數(shù)學(xué),即使其應(yīng)用常會(huì)在之后被發(fā)現(xiàn).
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國(guó)的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué),至少純粹數(shù)學(xué),是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論.結(jié)構(gòu),就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng).布學(xué)派認(rèn)為,有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群,環(huán),域……）,序結(jié)構(gòu)（偏序,全序……）,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域,極限,連通性,維數(shù)……）.
數(shù)學(xué)古稱(chēng)算學(xué),是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要的學(xué)科,根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn),可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽
原始公社末期,私有制和貨物交換產(chǎn)生以后,數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展,仰韶文化時(shí)期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符號(hào).到原始公社末期,已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了.
西安半坡出土的陶器有用1～8個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小正方形的圖案,半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形.為了畫(huà)圓作方,確定平直,人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具.據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載,夏禹治水時(shí)已使用了這些工具.
商代中期,在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法,其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí),殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期；在周代,又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦,表示64種事物.
公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法,并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子.《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開(kāi)始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法,他們要受禮、樂(lè)、射、馭、書(shū)、數(shù)的訓(xùn)練,作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開(kāi)始成為專(zhuān)門(mén)的課程.
春秋戰(zhàn)國(guó)之際,籌算已得到普遍的應(yīng)用,籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制,這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的.這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用,在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高.
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān).名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同,他們提出“矩不方,規(guī)不可以為圓”,把“大一”(無(wú)窮大)定義為“至大無(wú)外”,“小一”(無(wú)窮小)定義為“至小無(wú)內(nèi)”.還提出了“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”等命題.
而墨家則認(rèn)為名來(lái)源于物,名可以從不同方面和不同深度反映物.墨家給出一些數(shù)學(xué)定義.例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等.
墨家不同意“一尺之棰”的命題,提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去,就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”,這個(gè)“非半”就是點(diǎn).
名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列,墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果.名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論,對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成
秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期,經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展.中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期,它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科,以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn).
《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié),就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō),堪稱(chēng)是世界數(shù)學(xué)名著.例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱(chēng)三率法)、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱(chēng)雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等,水平都是很高的.其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的.就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō),它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系.
《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類(lèi)分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主,很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用,缺乏理論闡述等.
這些特點(diǎn)是同當(dāng)時(shí)社會(huì)條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的.秦漢時(shí)期,一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時(shí)確立和鞏固封建制度,以及發(fā)展社會(huì)生產(chǎn)服務(wù),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.最后成書(shū)于東漢初年的《九章算術(shù)》,排除了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期在百家爭(zhēng)鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論,偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解法,這與當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展情況是完全一致的.
《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本,并成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū).它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯,并通過(guò)印度、阿拉伯傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展
魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué),不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛,思想比較活躍；它詰辯求勝,又能運(yùn)用邏輯思維,分析義理,這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高.吳國(guó)趙爽注《周髀算經(jīng)》,漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期.趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ).
趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一.他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn).在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中,他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式,趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的,在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位.
劉徽約與趙爽同時(shí),他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想,主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義,認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”,才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密,利于讀者.他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展.劉徽創(chuàng)造割圓術(shù),利用極限的思想證明圓的面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250.
劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題.在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí),劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑.
東晉以后,中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài).祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后,南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作,他們?cè)趧⒒兆ⅰ毒耪滤阈g(shù)》的基礎(chǔ)上,把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步.他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恒)原理；提出二次與三次方程的解法等.
據(jù)推測(cè),祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上,算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積,從而得到了這個(gè)結(jié)果.他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值,即約率22/7和密率355/113.祖沖之這一工作,使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面,比西方領(lǐng)先約一千年之久；
祖沖之之子祖(日恒)總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作,提出“冪勢(shì)既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等,這就是著名的祖(日恒)公理.祖(日恒)應(yīng)用這個(gè)公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式.
隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》,主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題,反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況.王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下,立出數(shù)字三次方程,不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要,也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ).此外,對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法,王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的.
唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制,656年在國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,學(xué)生30人.由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本,明算科考試亦以這些算書(shū)為準(zhǔn).李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書(shū)》,對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的.他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解,對(duì)讀者是有幫助的.隋唐時(shí)期,由于歷法的需要,天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法,豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容.
算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具,它具有簡(jiǎn)單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn),但也存在布籌占用面積大,運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn),因此很早就開(kāi)始進(jìn)行改革.其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤(pán),在技術(shù)上是重要的改革.尤其是“珠算”,它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn),又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn),優(yōu)越性十分明顯.但由于當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列中進(jìn)行.算珠還沒(méi)有穿檔,攜帶不方便,因此仍沒(méi)有普遍應(yīng)用.
唐中期以后,商業(yè)繁榮,數(shù)字計(jì)算增多,迫切要求改革計(jì)算方法,從《新唐書(shū)》等文獻(xiàn)留下來(lái)的算書(shū)書(shū)目,可以看出這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算,它既適用于籌算,也適用于珠算.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的繁榮
960年,北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)割據(jù)的局面.北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn),火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用.1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》,1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻.這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件.
從11～14世紀(jì)約300年期間,出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》,劉益的《議古根源》,秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》,李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》,楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》,朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等,很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰,其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰.
從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方,在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍,實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的就是賈憲.楊輝在《九章算法纂類(lèi)》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi)四次方的例子.根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表,創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法.這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年.
把增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益.《楊輝算法》中“田畝比類(lèi)乘除捷法”卷,介紹了原書(shū)中22個(gè)二次方程和 1個(gè)四次方程,后者是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子.
秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問(wèn)題.為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序,奏九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù),把高次方程解法分成各種類(lèi)型.當(dāng)方程的根為非整數(shù)時(shí),秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù),或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母,常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分,這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展.在求根的第二位數(shù)時(shí),秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法,這比西方最早的霍納方法早500多年.
元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時(shí)歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問(wèn)題.秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱(chēng)為招差術(shù)),朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式.
用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號(hào),立出高次方程,古代稱(chēng)為天元術(shù),這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào),并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題.現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》.
從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組,是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造.留傳至今,并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》.
朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,他把常數(shù)放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上,其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中.朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法,其方法是先擇一元為未知數(shù),其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù),列成若干個(gè)一元高次方程式,然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù).重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù),最后用增乘開(kāi)方法求解.這是線性方法組解法的重大發(fā)展,比西方同類(lèi)方法早400多年.
勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展,朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足.李冶在《測(cè)圓海鏡》對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究,得到九個(gè)容圓公式,大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容.
已知黃道與赤道的夾角和太陽(yáng)從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧,求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù),是一個(gè)解球面直角三角形的問(wèn)題,傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算.元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會(huì)圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題.不過(guò)他們得到的是一個(gè)近似公式,結(jié)果不夠精確.但他們的整個(gè)推算步驟是正確無(wú)誤的,從數(shù)學(xué)意義上講,這個(gè)方法開(kāi)辟了通往球面三角法的途徑.
中國(guó)古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時(shí)期.宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個(gè)時(shí)期的實(shí)用算術(shù)書(shū)目,其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多,改革的主要內(nèi)容仍是乘除法.與算法改革的同時(shí),穿珠算盤(pán)在北宋可能已出現(xiàn).但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤(pán),又有一套完善的算法和口訣,那么應(yīng)該說(shuō)它最后完成于元代.
宋元數(shù)學(xué)的繁榮,是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果,是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果.此外,數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的.宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對(duì)理學(xué)家的象數(shù)神秘主義.秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源,但他后來(lái)認(rèn)識(shí)到,“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的,只有“經(jīng)世務(wù)類(lèi)萬(wàn)物”的數(shù)學(xué)；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真,以虛問(wèn)實(shí)”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對(duì)縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,揭示出洛書(shū)的本質(zhì),有力地批判了象數(shù)神秘主義.所有這些,無(wú)疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素.
凌養(yǎng)13957635199： 什么是數(shù)學(xué)?
華瑩市側(cè)平： ______ 偉大的革命導(dǎo)師恩格斯,站在辯證唯物主義的理論高度,通過(guò)深刻分析數(shù)學(xué)的起源和本質(zhì),精辟地作出了一系列科學(xué)的論斷.恩格斯指出:“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué)”,“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”.根據(jù)恩格斯的觀點(diǎn),較確切...
凌養(yǎng)13957635199： 數(shù)學(xué)是研究什么的 -
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門(mén)學(xué)科.數(shù)學(xué)被應(yīng)用在很多不同的領(lǐng)域上,包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等.數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域的應(yīng)用一般被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué),有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),并促成全新數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展....
凌養(yǎng)13957635199： 數(shù)學(xué)是什么?
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是科學(xué)之母
凌養(yǎng)13957635199： 數(shù)學(xué)是什么東西
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門(mén)學(xué)科.透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用,由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生.數(shù)學(xué)家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理. 研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).簡(jiǎn)單地說(shuō),是研究數(shù)和形的科學(xué).由于生活和勞動(dòng)上的需求,即使是最原始的民族,也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù),并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù).
凌養(yǎng)13957635199： 數(shù)學(xué)是指什么的
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)字的學(xué)問(wèn)
凌養(yǎng)13957635199： 數(shù)學(xué)是什么
華瑩市側(cè)平： ______ 偉大的革命導(dǎo)師恩格斯,站在辯證唯物主義的理論高度,通過(guò)深刻分析數(shù)學(xué)的起源和本質(zhì),精辟地作出了一系列科學(xué)的論斷.恩格斯指出:“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué)”,“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”.根據(jù)恩格斯的觀點(diǎn),較確...
凌養(yǎng)13957635199： 請(qǐng)問(wèn)什么是數(shù)學(xué)
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué),就是一門(mén)要數(shù)的學(xué)科
凌養(yǎng)13957635199： 什么是數(shù)學(xué)?
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數(shù)學(xué)屬性是任何事物的可量度屬性,即數(shù)學(xué)屬性是事物最基本的屬性.可量度屬性的存在與參數(shù)無(wú)關(guān),但其結(jié)果卻取決于參數(shù)的選擇.例如：時(shí)間,不管用年、月、日還是用時(shí)、分、秒來(lái)量度；空間,不管用米、微米還是用英寸、光年來(lái)量度,它們的可量度屬性永遠(yuǎn)存在,但結(jié)果的準(zhǔn)確性與這些參照系數(shù)有關(guān).
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).簡(jiǎn)單地說(shuō),是研究數(shù)和形的科學(xué).由于生活和勞動(dòng)上的需求,即使是最原始的民族,也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù),并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù).
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識(shí)與運(yùn)用總是個(gè)人與團(tuán)體生活中不可或缺的一塊.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見(jiàn).從那時(shí)開(kāi)始,其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進(jìn)展,直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時(shí)期,因著和新科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識(shí)的加速,直至今日.
今日,數(shù)學(xué)被使用在世界上不同的領(lǐng)域上,包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等.數(shù)學(xué)對(duì)這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué),有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展.數(shù)學(xué)家亦研究沒(méi)有任何實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的純數(shù)學(xué),即使其應(yīng)用常會(huì)在之后被發(fā)現(xiàn).
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國(guó)的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué),至少純粹數(shù)學(xué),是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論.結(jié)構(gòu),就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng).布學(xué)派認(rèn)為,有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群,環(huán),域……）,序結(jié)構(gòu)（偏序,全序……）,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域,極限,連通性,維數(shù)……）.
數(shù)學(xué)古稱(chēng)算學(xué),是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要的學(xué)科,根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn),可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽
原始公社末期,私有制和貨物交換產(chǎn)生以后,數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展,仰韶文化時(shí)期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符號(hào).到原始公社末期,已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了.
西安半坡出土的陶器有用1～8個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小正方形的圖案,半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形.為了畫(huà)圓作方,確定平直,人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測(cè)量工具.據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載,夏禹治水時(shí)已使用了這些工具.
商代中期,在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法,其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí),殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期；在周代,又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦,表示64種事物.
公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法,并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子.《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開(kāi)始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法,他們要受禮、樂(lè)、射、馭、書(shū)、數(shù)的訓(xùn)練,作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開(kāi)始成為專(zhuān)門(mén)的課程.
春秋戰(zhàn)國(guó)之際,籌算已得到普遍的應(yīng)用,籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制,這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的.這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用,在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高.
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān).名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同,他們提出“矩不方,規(guī)不可以為圓”,把“大一”(無(wú)窮大)定義為“至大無(wú)外”,“小一”(無(wú)窮小)定義為“至小無(wú)內(nèi)”.還提出了“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”等命題.
而墨家則認(rèn)為名來(lái)源于物,名可以從不同方面和不同深度反映物.墨家給出一些數(shù)學(xué)定義.例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等.
墨家不同意“一尺之棰”的命題,提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去,就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”,這個(gè)“非半”就是點(diǎn).
名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列,墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果.名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論,對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成
秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期,經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展.中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期,它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科,以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn).
《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié),就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō),堪稱(chēng)是世界數(shù)學(xué)名著.例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱(chēng)三率法)、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱(chēng)雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等,水平都是很高的.其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的.就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō),它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系.
《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類(lèi)分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主,很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用,缺乏理論闡述等.
這些特點(diǎn)是同當(dāng)時(shí)社會(huì)條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的.秦漢時(shí)期,一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時(shí)確立和鞏固封建制度,以及發(fā)展社會(huì)生產(chǎn)服務(wù),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.最后成書(shū)于東漢初年的《九章算術(shù)》,排除了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期在百家爭(zhēng)鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論,偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解法,這與當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展情況是完全一致的.
《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本,并成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū).它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯,并通過(guò)印度、阿拉伯傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展
魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué),不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛,思想比較活躍；它詰辯求勝,又能運(yùn)用邏輯思維,分析義理,這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高.吳國(guó)趙爽注《周髀算經(jīng)》,漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期.趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ).
趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一.他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn).在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中,他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式,趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的,在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位.
劉徽約與趙爽同時(shí),他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想,主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義,認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”,才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密,利于讀者.他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展.劉徽創(chuàng)造割圓術(shù),利用極限的思想證明圓的面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250.
劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題.在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí),劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑.
東晉以后,中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài).祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后,南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作,他們?cè)趧⒒兆ⅰ毒耪滤阈g(shù)》的基礎(chǔ)上,把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步.他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恒)原理；提出二次與三次方程的解法等.
據(jù)推測(cè),祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上,算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積,從而得到了這個(gè)結(jié)果.他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值,即約率22/7和密率355/113.祖沖之這一工作,使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面,比西方領(lǐng)先約一千年之久；
祖沖之之子祖(日恒)總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作,提出“冪勢(shì)既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等,這就是著名的祖(日恒)公理.祖(日恒)應(yīng)用這個(gè)公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式.
隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》,主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題,反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況.王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下,立出數(shù)字三次方程,不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要,也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ).此外,對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法,王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的.
唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制,656年在國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,學(xué)生30人.由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本,明算科考試亦以這些算書(shū)為準(zhǔn).李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書(shū)》,對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的.他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解,對(duì)讀者是有幫助的.隋唐時(shí)期,由于歷法的需要,天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法,豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容.
算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具,它具有簡(jiǎn)單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn),但也存在布籌占用面積大,運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn),因此很早就開(kāi)始進(jìn)行改革.其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤(pán),在技術(shù)上是重要的改革.尤其是“珠算”,它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn),又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn),優(yōu)越性十分明顯.但由于當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列中進(jìn)行.算珠還沒(méi)有穿檔,攜帶不方便,因此仍沒(méi)有普遍應(yīng)用.
唐中期以后,商業(yè)繁榮,數(shù)字計(jì)算增多,迫切要求改革計(jì)算方法,從《新唐書(shū)》等文獻(xiàn)留下來(lái)的算書(shū)書(shū)目,可以看出這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算,它既適用于籌算,也適用于珠算.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)的繁榮
960年,北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)割據(jù)的局面.北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn),火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用.1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》,1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻.這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件.
從11～14世紀(jì)約300年期間,出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》,劉益的《議古根源》,秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》,李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》,楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》,朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等,很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰,其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰.
從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方,在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍,實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的就是賈憲.楊輝在《九章算法纂類(lèi)》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi)四次方的例子.根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表,創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法.這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年.
把增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益.《楊輝算法》中“田畝比類(lèi)乘除捷法”卷,介紹了原書(shū)中22個(gè)二次方程和 1個(gè)四次方程,后者是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子.
秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問(wèn)題.為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序,奏九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù),把高次方程解法分成各種類(lèi)型.當(dāng)方程的根為非整數(shù)時(shí),秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù),或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母,常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分,這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展.在求根的第二位數(shù)時(shí),秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第二位數(shù)的試除法,這比西方最早的霍納方法早500多年.
元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時(shí)歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問(wèn)題.秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱(chēng)為招差術(shù)),朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式.
用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號(hào),立出高次方程,古代稱(chēng)為天元術(shù),這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào),并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題.現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》.
從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組,是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造.留傳至今,并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》.
朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,他把常數(shù)放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上,其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中.朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法,其方法是先擇一元為未知數(shù),其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù),列成若干個(gè)一元高次方程式,然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù).重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù),最后用增乘開(kāi)方法求解.這是線性方法組解法的重大發(fā)展,比西方同類(lèi)方法早400多年.
勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展,朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足.李冶在《測(cè)圓海鏡》對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究,得到九個(gè)容圓公式,大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容.
已知黃道與赤道的夾角和太陽(yáng)從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧,求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù),是一個(gè)解球面直角三角形的問(wèn)題,傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算.元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會(huì)圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題.不過(guò)他們得到的是一個(gè)近似公式,結(jié)果不夠精確.但他們的整個(gè)推算步驟是正確無(wú)誤的,從數(shù)學(xué)意義上講,這個(gè)方法開(kāi)辟了通往球面三角法的途徑.
中國(guó)古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時(shí)期.宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個(gè)時(shí)期的實(shí)用算術(shù)書(shū)目,其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多,改革的主要內(nèi)容仍是乘除法.與算法改革的同時(shí),穿珠算盤(pán)在北宋可能已出現(xiàn).但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤(pán),又有一套完善的算法和口訣,那么應(yīng)該說(shuō)它最后完成于元代.
宋元數(shù)學(xué)的繁榮,是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果,是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果.此外,數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的.宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對(duì)理學(xué)家的象數(shù)神秘主義.秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源,但他后來(lái)認(rèn)識(shí)到,“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的,只有“經(jīng)世務(wù)類(lèi)萬(wàn)物”的數(shù)學(xué)；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真,以虛問(wèn)實(shí)”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對(duì)縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,揭示出洛書(shū)的本質(zhì),有力地批判了象數(shù)神秘主義.所有這些,無(wú)疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素.
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
華瑩市側(cè)平： ______ 偉大的革命導(dǎo)師恩格斯,站在辯證唯物主義的理論高度,通過(guò)深刻分析數(shù)學(xué)的起源和本質(zhì),精辟地作出了一系列科學(xué)的論斷.恩格斯指出:“數(shù)學(xué)是數(shù)量的科學(xué)”,“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”.根據(jù)恩格斯的觀點(diǎn),較確切...
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門(mén)學(xué)科.數(shù)學(xué)被應(yīng)用在很多不同的領(lǐng)域上,包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等.數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域的應(yīng)用一般被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué),有時(shí)亦會(huì)激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),并促成全新數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展....
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是科學(xué)之母
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門(mén)學(xué)科.透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用,由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生.數(shù)學(xué)家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理. 研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).簡(jiǎn)單地說(shuō),是研究數(shù)和形的科學(xué).由于生活和勞動(dòng)上的需求,即使是最原始的民族,也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù),并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù).
華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)字的學(xué)問(wèn)
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華瑩市側(cè)平： ______ 數(shù)學(xué),就是一門(mén)要數(shù)的學(xué)科
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