如何求二階線性微分方程通解？
二階微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是實(shí)常數(shù)。
自由項(xiàng)f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，即y''+py'+qy=0時(shí)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。若函數(shù)y1和y2之比為常數(shù)，稱y1和y2是線性相關(guān)的。若函數(shù)y1和y2之比不為常數(shù)，稱y1和y2是線性無關(guān)的。特征方程為：λ^2+pλ+q=0，然后根據(jù)特征方程根的情況對(duì)方程求解。
舉例
求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。
第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齊次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。
又λ=3是特征方程的一個(gè)根，因此設(shè)非齊次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化簡(jiǎn)得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解為：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。
相關(guān)評(píng)說：
海拉爾區(qū)塔吊： ______[答案] 樓主分析的非常精辟,不知道有什么疑問呢,通解嘛自然表示方式不一定非得一樣,但是能包括所有的解,這就是通解了 只不過是答案形式不同 正如樓主所說,這類題目只需要先求的齊次線性微分方程的通解然后加上非齊次方程的的特解即可 這即...
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 解:∵y''*e^y'=1 ==>e^y'd(y')=dx ==>e^y'=x+C1 (C1是積分常數(shù)) ==>y'=ln│x+C1│ ==>y=∫ln│x+C1│dx ==>y=xln│x+C1│-∫[x/(x+C1)]dx ==>y=xln│x+C1│-∫[1-C1/(x+C1)]dx ==>y=xln│x+C1│-x+C1ln│x+C1│+C2 (C2是積分常數(shù)) ==>y=(x+C1)ln│x+C1│-x+C2 ∴原方程的通解是y=(x+C1)ln│x+C1│-x+C2 (C1,C2是積分常數(shù))
海拉爾區(qū)塔吊： ______ y''-5y'+6y=0 ------ 一種做法:根據(jù)通解的結(jié)構(gòu),可知它是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,2與3是特征方程的根,所以特征方程是(r-2)(r-3)=0,即r^2-5r+6=0,所以微分方程是y''-5y'+6y=0. 常規(guī)的做法是:通解中含有兩個(gè)取值獨(dú)立的常數(shù),所以以此作為通解的微分方程是二階的,所以微分方程中一定含有y'',求導(dǎo): y=C1e^(2x)+C2e^(3x),y'=2C1e^(2x)+3C2e^(3x),y''=4C1e^(2x)+9C2e^(3x). 利用y與y'消去y''中的C1與C2,得y''-5y'+6y=0.
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 你的相關(guān)概念有些模糊,首先你得知道這是一個(gè)二階非線性微分方程. 1. 非線性微分方程通解=線性微分方程的通解+非線性微分方程的特解 2. 先求線性微分方程的通解,令方程等號(hào)右邊為0即得對(duì)應(yīng)的線性方程,對(duì)應(yīng)特征方程(r-1)^2=0 故由相關(guān)公式,其通解為y1=(Ax+B)e^(x) 3. 再求非線性方程的特解,根據(jù)相關(guān)的類型,r=0不是(r-1)^2=0解,不妨設(shè)特解y*=Cx+D,帶入原方程可解得C=1,D=2,即非線性微分方程的特解y*=x+2 4. 所求通解y=y1+y*=(Ax+B)e^(x)+x+2,其中A,B為任意常數(shù). 這是求解非線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)步驟,如果是線性方程,那第二步求出的就是答案.真希望你懂了.
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 解:特征方程:r2+4r+1=0 r=[-4±√(42-4)]/2=-2±√3 r?=-2+√3,r?=-2-√3 微分方程的通解為:y=C?e^[(√3-2)x]+C?e[-(2+√3)x]
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 先求齊次解 y''+y'-2y=0 特征根方程 r^2+r-2=0 r=2,-1 y=Ae^(2x)+Be^(-x) 然后找特解 待定系數(shù),因?yàn)橛叶隧?xiàng)為x^2 猜測(cè)y=ax^2+bx+c y'=2ax+b y''=2a 2a+2ax+b-2(ax^2+bx+c)=x^2 -2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2 -2a=1 2a-2b=0 2a+b-2c=0 a=-1/2,b=-1/2,c=-3/4 y=Ae^(2x)+Be^(-x)-(1/2)x^2-(1/2)x-3/4
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 分離變量主要解決一階方程.此問題是二階線性常系數(shù)微分方程,用特征方程去解很方便的.如果非要用分離變量,先要降階.改寫為:y''+a^2y=b 設(shè)y'=p, pdp/dy=y'' 代入:pdp/dy=b-a^2y,分離變量:pdp=(b-a^2y)dy, p^2=C1-(b-a^2y)^2/a^2, p=[C1a^2-(b-a^2y)^2]^(1/2)/a 再分離變量:ady/[C1a^2-(b-a^2y)^2]^(1/2)=dt 積分后的形式是:t+C2=Uarcsin(Vy).這與給的解得結(jié)構(gòu)一樣.
海拉爾區(qū)塔吊： ______ y＂+y=x+e^x 特征方程為r2+1=0,得r=i, -i 令特解y*=ax+b+ce^x 代入方程得: ce^x+ax+b+ce^x=x+e^x 即ax+b+2ce^x=x+e^x 得a=1, b=0, 2c=1 故a=1, b=0, c=0.5 通解y=C1cosx+C2sinx+x+0.5e^x
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 二階線性的方程的一般解法如下: 公式: 若求得:y＂ - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的兩個(gè)線性無關(guān)的特解:u(x),v(x),則 非齊次方程:y＂ - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 的通解公式為: y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds. 有不懂的追問即可.
海拉爾區(qū)塔吊： ______ 這是二階非齊次線性微分方程. 易知二階齊次線性微分方程 y＂+y = 0 有解 y1 = sinx,y2 = cosx.而原方程有特解 y0 = x,因此,原方程有通解 y = C1*y1 +C2*y2 + y0 = C1* sinx + C2*cosx + x.
