薛定諤方程誰能推導一下？ 誰能幫忙推導一下二維勢箱的薛定諤方程
薛定諤方程是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程[1]，也是量子力學的一個基本假定，其正確性只能靠實驗來檢驗。就好像牛頓定律在經(jīng)典力學的地位，薛定諤方程在量子力學里占有中心的地位。
薛定諤方程主要分為含時薛定諤方程與不含時薛定諤方程。含時薛定諤方程相依于時間，專門用來計算一個量子系統(tǒng)的波函數(shù)，怎樣隨著時間演變。不含時薛定諤方程不相依于時間，可以計算一個定態(tài)量子系統(tǒng)，對應(yīng)于某本征能量的本征波函數(shù)。波函數(shù)又可以用來計算，在量子系統(tǒng)里，某個事件發(fā)生的概率幅。而概率幅的絕對值的平方，就是事件發(fā)生的概率密度。
薛定諤方程的解答，清楚地描述量子系統(tǒng)里，量子尺寸粒子的統(tǒng)計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質(zhì)子、正子、等等，與一組相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定諤方程可以轉(zhuǎn)換為海森堡的矩陣力學，或費曼的路徑積分表述 (path integral formulation) 。薛定諤方程是個非相對論性的方程，不能夠用于相對論性理論。海森堡表述比較沒有這么嚴重的問題；而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。
目錄 [隱藏]
1 含時薛定諤方程
2 不含時薛定諤方程
3 歷史背景與發(fā)展
4 含時薛定諤方程導引
4.1 啟發(fā)式導引
4.1.1 假設(shè)
4.1.2 波函數(shù)以復值平面波來表達波函數(shù)
4.2 薛定諤的導引
5 特性
5.1 線性方程
5.1.1 證明
5.2 實值的本征態(tài)
5.3 么正性
5.3.1 證明
5.4 完備基底
6 相對論性薛定諤方程
7 解析方法
8 實例
8.1 自由粒子
8.2 一維諧振子
8.3 球?qū)ΨQ位勢
8.3.1 角部分解答
8.3.2 徑向部分解答
9 參閱
10 參考文獻
11 外部鏈接
[編輯] 含時薛定諤方程
雖然，含時薛定諤方程能夠啟發(fā)式地從幾個假設(shè)導引出來。理論上，我們可以直接地將這方程當作一個基本假定。在一維空間里，一個單獨粒子運動于位勢 中的含時薛定諤方程為
；(1)
其中， 是質(zhì)量， 是位置， 是相依于時間 的波函數(shù)， 是約化普朗克常數(shù)， 是位勢。
類似地，在三維空間里，一個單獨粒子運動于位勢 中的含時薛定諤方程為
。(2)
假若，系統(tǒng)內(nèi)有 個粒子，則波函數(shù)是定義于 -位形空間，所有可能的粒子位置空間。用方程表達，
。
其中，波函數(shù) 的第 個參數(shù)是第 個粒子的位置。所以，第 個粒子的位置是 。
[編輯] 不含時薛定諤方程
不含時薛定諤方程不相依于時間，又稱為本征能量薛定諤方程，或定態(tài)薛定諤方程。顧名思義，本征能量薛定諤方程，可以用來計算粒子的本征能量與其它相關(guān)的量子性質(zhì)。
應(yīng)用分離變量法，猜想 的函數(shù)形式為
；
其中， 是分離常數(shù)， 是對應(yīng)于 的函數(shù)．稍回兒，我們會察覺 就是能量．
代入這猜想解，經(jīng)過一番運算，含時薛定諤方程 (1) 會變?yōu)椴缓瑫r薛定諤方程：
。
類似地，方程 (2) 變?yōu)?
。
[編輯] 歷史背景與發(fā)展
愛因斯坦詮釋普朗克的量子為一種粒子，稱為光子；也就是說，光波具有波粒二象性。他建議光子的能量與頻率成正比；也就是說，光波具有波粒二象性。在相對論里，能量與動量之間的關(guān)系跟頻率與波數(shù)之間的關(guān)系相同，所以，連帶地，光子的動量與波數(shù)成正比。
1924年，路易·德布羅意提出一個驚人的假設(shè)，每一種粒子都具有波粒二象性。電子也有這種性質(zhì)。電子的能量與動量決定了它的物質(zhì)波的頻率與波數(shù)。1927年，克林頓·戴維孫和 Lester Germer 將緩慢移動的電子射擊于鎳晶體標靶。然后，測量反射的強度，探測結(jié)果與X射線根據(jù)布拉格定律 (Bragg's law) 計算的衍射圖案相同。戴維森-革末實驗徹底的證明了德布羅意假說。
薛定諤夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應(yīng)該會有一個反應(yīng)這特性的波動方程，能夠正確地描述粒子的量子行為。于是，薛定諤試著尋找一個波動方程。哈密頓先前的研究引導著薛定諤的思路，在牛頓力學與光學之間，有一種類比，隱蔽地暗藏于一個察覺里。這察覺就是，在零波長極限，實際光學系統(tǒng)趨向幾何光學系統(tǒng)；也就是說，光射線的軌道會變成明確的路徑，遵守最小作用量原理。哈密頓相信，在零波長極限，波傳播會變?yōu)槊鞔_的運動。可是，他并沒有設(shè)計出一個方程來描述這波行為。這也是薛定諤所成就的。他很清楚，經(jīng)典力學的哈密頓原理，廣為學術(shù)界所知地，對應(yīng)于光學的費馬原理。借著哈密頓-雅可比方程，他成功地創(chuàng)建了薛定諤方程。薛定諤用自己設(shè)計的方程來計算氫原子的譜線，得到了與用玻爾模型計算出的能級相同的答案。
但是，薛定諤對這結(jié)果并不滿足，因為，索末菲似乎已經(jīng)正確地計算出氫原子光譜線精細結(jié)構(gòu)常數(shù)的相對論性的修正。薛定諤試著用相對論的能量動量關(guān)系式，來尋找一個相對論性方程（現(xiàn)今稱為克萊因-高登方程），可以描述電子在庫倫位勢內(nèi)的量子行為。薛定諤計算出這方程的定態(tài)波函數(shù)。可是，相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此，他認為先前非相對論性的部分，仍舊含有足夠的新結(jié)果。因此，決定暫時不發(fā)表相對論性的修正，只把他的波動方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，正式發(fā)表于物理學界[2]。從此，給予了量子力學一個新的發(fā)展平臺。
薛定諤方程漂亮地解釋了 的行為，但并沒有解釋 的意義。薛定諤曾嘗試解釋 代表電荷的密度，但卻失敗了。1926年，就在薛定諤第四篇的論文發(fā)表之后幾天，馬克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解釋了 的物理意義[3]。可是，薛定諤本人一直不承認這種統(tǒng)計或概率的表示方法，和它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)塌縮。就像愛因斯坦的認為量子力學是基本為確定性理論的統(tǒng)計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最后一年，他寫給馬克斯·玻恩的一封信內(nèi)，薛定諤清楚地表明了這看法。
[編輯] 含時薛定諤方程導引
[編輯] 啟發(fā)式導引
含時薛定諤方程的啟發(fā)式導引，建立于幾個假設(shè)：
[編輯] 假設(shè)
(1) 一個粒子的總能量 可以經(jīng)典地表達為動能 與勢能 的和：
；
其中， 是動量， 是質(zhì)量。
特別注意，能量 與動量 也出現(xiàn)于以下兩個關(guān)系方程。
(2) 1905年，愛因斯坦于提出光電效應(yīng)時，指出光子的能量 與對應(yīng)的電磁波的頻率 成對比：
其中， 是普朗克常數(shù)， 是角頻率。
(3) 1924年，路易·德布羅意提出德布羅意假說，說明所有的粒子都具有波的性質(zhì)，可以用一個波函數(shù) 來表達。粒子的動量 與伴隨的波函數(shù)的波長 有關(guān)：
；
其中， 是波數(shù)。
用矢量表達， 。
[編輯] 波函數(shù)以復值平面波來表達波函數(shù)
1925年，薛定諤發(fā)現(xiàn)平面波的相位，可用一個相位因子來表示：
。
他想到
，
因此
。
并且相同地由于
，
故
。
因此得到
。
再由經(jīng)典力學的公式，一個粒子的總能為 ，質(zhì)量為 ，在勢能 處移動：
。
薛定諤得到一個單一粒子在一維空間有位能之處移動時的方程：
。
[編輯] 薛定諤的導引
思考一個粒子，運動于一個保守的位勢 。我們可以寫出它的哈密頓-雅可比方程
；
其中， 是哈密頓主函數(shù)。
由于位勢顯性地不相依于時間，哈密頓主函數(shù)可以分離成兩部分：
；
其中，不相依于時間的函數(shù) 是哈密頓特征函數(shù)， 是能量。
代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到
；
哈密頓主函數(shù)隨時間的全導數(shù)是
。
思考哈密頓主函數(shù) 的一個常數(shù)的等值曲面 。這常數(shù)的等值曲面 在空間移動的方程為
。
所以，在設(shè)定等值曲面的正負面后， 朝著法線方向移動的速度 是
。
這速度 是相速度，而不是粒子的移動速度 ：
。
我們可以想像 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，試著給予粒子一個相位與 成比例的波函數(shù)：
；
其中， 是常數(shù)， 是相依于位置的系數(shù)函數(shù)。
代入 的方程，
。
注意到 的量綱必須是頻率，薛定諤突然想起愛因斯坦的光電效應(yīng)理論 ；其中， 是約化普朗克常數(shù)， 是角頻率。設(shè)定 ，粒子的波函數(shù) 變?yōu)?
；
其中， 。
代入波動方程，
。
經(jīng)過一番運算，得到
。
注意到 。稍加編排，可以導引出薛定諤方程：
。
[編輯] 特性
[編輯] 線性方程
主條目：態(tài)疊加原理
薛定諤方程是一個線性方程。滿足薛定諤方程的波函數(shù)擁有線性關(guān)系。假若 與 是某薛定諤方程的解。設(shè)定
，
其中， 與 是任何常數(shù)。
則 也是一個解。
[編輯] 證明
根據(jù)不含時薛定諤方程 (1) ，
，
。
線性組合這兩個方程的解，
。
所以， 也是這含時薛定諤方程的解，證明含時薛定諤方程是一個線性方程。 類似地，我們可以證明不含時薛定諤方程是一個線性方程。
[編輯] 實值的本征態(tài)
不含時薛定諤方程的波函數(shù)解答，也符合線性關(guān)系。但在這狀況，線性關(guān)系有稍微不同的意義。假若兩個波函數(shù) 與 都是某不含時薛定諤方程的，能量為 的解答，則這兩個不同的波函數(shù)解答為簡并的。任何線性組合也是能量為 的解答。
。
對于任何位勢，都有一個明顯的簡并：假若波函數(shù) 是某薛定諤方程的解答，則其共軛函數(shù) 也是這薛定諤方程的解答。所以， 的實值部分或虛值部分，都分別是解答。我們只需要專注實值的波函數(shù)解答。這限制并不會影響到整個不含時問題。
轉(zhuǎn)移焦點到含時薛定諤方程，兩個復共軛的波，以相反方向移動。給予某含時薛定諤方程的解答 。其替代波函數(shù)是另外一個解答：
。
這解答是復共軛對稱性的延伸。稱復共軛對稱性為時間反轉(zhuǎn)。
[編輯] 么正性
在量子力學里，對于任何事件，所有可能產(chǎn)生的結(jié)果的概率總和等于 1 ，稱這特性為么正性。薛定諤方程能夠自動地維持么正性。用波函數(shù)表達，
。(3)
為了滿足這特性，必須將波函數(shù)歸一化。假若，某一個薛定諤方程的波函數(shù) 尚未歸一化。由于薛定諤方程為線性方程， 與任何常數(shù)的乘積還是這個薛定諤方程的波函數(shù)。設(shè)定 ；其中， 是歸一常數(shù)，使得
。
這樣，新波函數(shù) 還是這個薛定諤方程的解答，而且， 已經(jīng)被歸一化了。在這里，特別注意到方程 (3) 的波函數(shù) 相依于時間，而隨著位置的積分仍舊可能相依于時間。在某個時間的歸一化，并不保證隨著時間的演化，波函數(shù)仍舊保持歸一化。薛定諤方程有一個特性：它可以自動地保持波函數(shù)的歸一化。這樣，量子系統(tǒng)永遠地滿足么正性。所以，薛定諤方程能夠自動地維持么正性。
[編輯] 證明
總概率隨時間的微分表達為
。(4)
思考含時薛定諤方程，
。
其復共軛是
。
所以，
代入方程 (4) ，
在無窮遠的極限，符合物理實際的波函數(shù)必須等于 0 。所以，
。
薛定諤方程的波函數(shù)的歸一化不會隨時間而改變。
[編輯] 完備基底
能量本征函數(shù)形成了一個完備基底。任何一個波函數(shù)可以表達為離散的能量本征函數(shù)的線性組合，或連續(xù)的能量本征函數(shù)的積分。這就是數(shù)學的譜定理 (spectral theorem) 。在一個有限態(tài)空間，這表明了厄米算符的本征函數(shù)的完備性。
[編輯] 相對論性薛定諤方程
主條目：相對論量子力學
薛定諤方程并沒有將相對論效應(yīng)納入考慮范圍內(nèi)。對于伽利略變換，薛定諤方程是個不變式；可是對于洛倫茲變換，薛定諤方程的形式會改變。為了要包含相對論效應(yīng)，必須將薛定諤方程做極大的改變。試想能量質(zhì)量關(guān)系式，
；
其中， 是光速， 是靜止質(zhì)量。
直接地用這關(guān)系式來推廣薛定諤方程：
。
或者，稍加編排，
；
其中， ， 是達朗貝爾算符。
這方程，稱為克萊因-高登方程，是洛倫茲不變式。但是，它是一個時間的二階方程。所以，不能成為波函數(shù)的方程。并且，這方程的解答擁有正頻率和負頻率。一個平面波函數(shù)解答遵守
；
其中， 是角頻率，可以是正值或負值。
對量子力學來說，正負角頻率或正負能量，是一個很嚴峻的問題，因為無法從底端限制能量的最低值。雖然如此，加以適當?shù)脑忈專@方程仍舊能夠正確地計算出相對論性的，自旋為零的粒子的波函數(shù)。
保羅·狄拉克發(fā)明的狄拉克方程，是時間的一階微分方程，一個專門描述自旋-½粒子量子態(tài)的波函數(shù)方程：
，
其中，是自旋-½ 粒子的質(zhì)量， 與 分別是空間和時間的坐標。
狄拉克方程方程仍舊存在負能量的解答。為了要除去這麻煩的瑕疵，必須用到多粒子圖案，把波動方程當作一個量子場的方程，而不是一個波函數(shù)的方程。因為，相對論與單粒子圖案互不相容。一個相對論性粒子不能被局限于一個小區(qū)域，除非粒子的數(shù)量變?yōu)闊o窮多。
假若，一個粒子被局限于一個長度為 的一維盒子里，根據(jù)不確定性原理，動量的不確定性 。假若，因為粒子的動量足夠的大，質(zhì)量可以被忽略，則能量的不確定性大約為 。當盒子的長度 等于康普頓波長 時，能量的不確定性等于粒子的質(zhì)能 。當盒子的長度 小于康普頓波長時，我們無法確定盒子內(nèi)只有一個粒子。因為，能量的不確定性，足夠從真空制造更多的粒子。我們用來測量盒子內(nèi)粒子位置的機制，也可以從真空制造更多的粒子。
[編輯] 解析方法
一般來說，解析薛定諤方程會用到下述這些方法：
量子微擾理論 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。
變分原理 (variational principle) 。
量子蒙特·卡羅方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。
密度泛函理論。
WKB 近似 (WKB approximation) 與半經(jīng)典擴展。
對于某些特殊的狀況，可以使用特別方法：
有解析解量子系統(tǒng)列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。
哈特里-福克方法與越哈特里-福克方法。
離散 delta 位勢方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。
[編輯] 實例
[編輯] 自由粒子
主條目：自由粒子
當位勢為 0 時，薛定諤方程為
。
解答是一個平面波：
，
其中， 是波矢量， 是角頻率。
代入薛定諤方程，這兩個變量必須遵守以下關(guān)系：
。
由于粒子存在的概率必須等于 1 ，波函數(shù) 必須先歸一化，然后才能夠表達出正確的物理意義。對于一般的自由粒子而言，這不是一個問題。因為，自由粒子的波函數(shù)，在位置或動量方面，都是局部性的。
在量子力學里，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數(shù)可以表示為一個波包的函數(shù)。：
；
其中，積分的區(qū)域是所有的 -空間。
為了簡化計算，只思考一維空間，
；
其中，因子 是由傅立葉轉(zhuǎn)換的常規(guī)而設(shè)定，振幅 是線性疊加的系數(shù)函數(shù)。
逆反過來，系數(shù)函數(shù)可以表達為
；
其中， 是波函數(shù)在時間 的函數(shù)形式。
所以，知道波函數(shù)在時間 的形式 ，借由傅立葉轉(zhuǎn)換，我們可以推演出波函數(shù)在任何時間的形式 。
[編輯] 一維諧振子
主條目：量子諧振子
能量最低的八個束縛本征態(tài)的波函數(shù)表征 (） 。橫軸表示位置 。此圖未經(jīng)歸一化。在一維諧振子問題中，一個質(zhì)量為 的粒子，受到一位勢 。此粒子的哈密頓算符 為
；
其中， 為位置。
為了要找到能階以相對應(yīng)的能量本征態(tài)，我們必須找到本征能量薛定諤方程：
。
我們可以在座標基底下解這個微分方程，用到冪級數(shù)方法。可以見到有一族的解：
。
最先八個解（n = 0到5）展示在右圖。函數(shù)為厄米多項式 (Hermite polynomials) ：
。
相應(yīng)的能階為
。
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有離散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統(tǒng)的特征。再者，可有的最低能量（當n = 0）不為零，而是 ，被稱為“基態(tài)能量”或零點能量。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學，一振子執(zhí)行所謂的“零振動”，且其平均動能是正值。這樣的現(xiàn)象意義重大但并不那么顯而易見，因為通常能量的零點并非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態(tài)能量有許多的意涵，特別是在量子引力。最后一個理由式能階值是等距的，不像玻爾模型或盒中粒子問題那樣。
[編輯] 球?qū)ΨQ位勢
主條目：球?qū)ΨQ位勢
一個單粒子運動于球?qū)ΨQ位勢的量子系統(tǒng)，可以用薛定諤方程表達為
；
其中， 是普朗克常數(shù)， 是粒子的質(zhì)量， 是粒子的波函數(shù)， 是位勢， 是徑向距離， 是能量。
采用球坐標 ，將拉普拉斯算子 展開：
。
滿足薛定諤方程的本征函數(shù) 的形式為：
，
其中， ， ， ，都是函數(shù)。 與 時常會合并為一個函數(shù)，稱為球諧函數(shù)， 。這樣，本征函數(shù) 的形式變?yōu)椋?
。
[編輯] 角部分解答
相依于天頂角 和方位角 的球諧函數(shù) ，滿足角部分方程
；
其中，非負整數(shù) 是角動量的角量子數(shù)。 （滿足 ）是角動量對于 z-軸的（量子化的）投影。不同的 與 給予不同的球諧函數(shù)解答 ：
；
其中， 是虛數(shù)單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程定義為
；
而 是 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
。
[編輯] 徑向部分解答
將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一個一維的二階微分方程：
。
設(shè)定函數(shù) 。代入方程。經(jīng)過一番繁雜的運算，可以得到
。
徑向方程變?yōu)?
；
其中，有效位勢 。
這正是函數(shù)為 ，有效位勢為 的薛定諤方程。徑向距離 的定義域是從 到 。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。為了要更進一步解析，我們必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。
[編輯] 參閱
你好，薛定諤方程是從自由粒子的波函數(shù)（復數(shù)形式）服從的方程猜想出來的，請參閱《量子力學導讀》（浙江大學出版社）
薛定諤方程是用算符化方法建立起來的,當然不是數(shù)學的邏輯地推導出來的,但只要找到合適的數(shù)學工具,不僅薛定諤方程可以推導出來,而且可以推導出單粒子體系和雙粒子體系的相對論波動方程,當然這方面的研究成果尚未有人發(fā)表.我對量子論與狹義相對論的結(jié)合問題很有興趣,事實上,在德布羅意那里量子論跟狹義相對論是觸合的,德布羅意公式就是二者結(jié)合的產(chǎn)物.狹義相對論跟量子論的分離是從薛定諤那里開始的,克萊因和戈登沿著薛定諤的道路走下去,并試圖糾正薛定諤對相對論的偏離,建立了相對論的克萊因-戈登方程,雖然此方程是有用的,但由于存在負幾率困難,他們的工作沒有成功.狄拉克繼續(xù)沿此方向前進,他吸取了克萊因和戈登失敗的教訓,建立了著名的狄拉克方程,此方程竟然導出了電子的自旋,可惜只適用于單粒子體系.當他試圖建立雙粒子體系的相對論波動方程時,遇到很大困難,于是另擗途徑,走量子場論的道路,在費曼等人的努力下,量子電動力學獲得極大的成功.雖然量子場論的一般理論一度受到懷疑,由于楊-米耳斯場的引進,以及很多人的努力,弱電統(tǒng)一理論成功建立,使量子場論的成功達到了頂點.最近又有報到稱量子場論的量子色動力學也取得了重大進展.因此,狹義相對論與量子論在量子場論中結(jié)合得如此成功,很自然使人們覺得在量子力學的框架內(nèi)不可能使狹義相對論與量子論結(jié)合起來.但既然沿著薛定諤的道路即算苻化方法能建立起狄拉克方程,為什么就不能進一步沿此方向建立起雙粒子體系的相對論波動方程呢?只要找到合適的數(shù)學工具并進行概念上的突破,就一定能實現(xiàn)這個目標.總之,量子論與狹義相對論一點都不矛盾,不僅在德布羅意那里,在狄拉克那里,在量子場論那里結(jié)合得很好,在量子力學的框架內(nèi)也一定能結(jié)合起來,只要我們找到合適的數(shù)學工具.在我發(fā)表這個貼子的時侯,這樣的數(shù)學工具其實我早已找到,并且已經(jīng)建立了雙粒子體系的相對論波動方程
薛定諤方程是建立起來的，而不是推導出來的，它是量子力學中的一個基本假設(shè)，地位同牛頓力學中的牛頓方程。它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證。
http://class.htu.cn/liangzilixue/cha-2/2-3.htm
你去這個看看，里面有說明
猜是猜不出這個方程的，如果說是建立，那根據(jù)什么建立呢？他應(yīng)該是從一個普通的波動方程（機械波和電磁波），和德布羅意關(guān)系這兩個條件湊出來的。普通的波動方程里面有用到波長這個物理量，但德布羅意指出，微觀粒子和一個波聯(lián)系有關(guān)系，這個波引導粒子前進（這是他的原始想法，并不是正統(tǒng)量子力學的解釋）并且波的波長等于普朗克常量除以粒子的動量。于是，把普通波方程里面的波長參數(shù)代換成普朗克常數(shù)和粒子動量，經(jīng)過數(shù)學整理，就可以得到薛定諤方程。薛定諤方程的獲得，可以有很多方法。假如是生造出來的，肯定是不現(xiàn)實的，沒有哪個天才能一下子創(chuàng)造一個方程說微觀粒子符合這個條件，相反，薛定諤方程的獲得是從以前的數(shù)學公式加上現(xiàn)在的新假說、新結(jié)果湊合、整理出來的。
從經(jīng)典力學是推不出來的，
薛定諤方程是量子力學最基本的方程。
采用費曼的路徑積分理論或者海森堡的矩陣力學，那么可以從量子力學導出薛定諤方程的。
有時間，我?guī)湍銓憣憽?
儲闕18562229082： 求薛定諤方程解法 -
文水縣高速： ______[答案] 關(guān)于薛定諤方程一. 定義及重要性薛定諤方程(Schrdinger equation)是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分...
儲闕18562229082： 薛定諤方程從哪可以推論而來的? -
文水縣高速： ______ 薛定諤方程是建立起來的,而不是推導出來的,它是量子力學中的一個基本假設(shè),地位同牛頓力學中的牛頓方程.它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證.
儲闕18562229082： 量子物理半經(jīng)典法解薛定諤方程 -
文水縣高速： ______ 這個推薦答案說得不對哈~!薛定諤方程不是推倒出來的,真的是薛定諤純粹的從物理美學的角度創(chuàng)造出來的,這個方程具有完備性.我個人的理解是,這個方程其實是一個能量守恒的形式,他的解描述的是一個粒子空間分布的概率波函數(shù),實際上是概率函數(shù),只不過這個概率分布帶有波的特點.這個概率波描述了粒子的分布(不光是電子,準確的說任何具有能量的粒子都滿足,包括光量子等).總結(jié)一下,這是一個可以通過能量分布來確定空間分布的方程(當然也可以是動量空間分布,主要看在哪個坐標空間來求解了).個人理解而已,請指教.
儲闕18562229082： 定態(tài)薛定諤方程求解 -
文水縣高速： ______ 去百度文庫,查看完整內(nèi)容> 內(nèi)容來自用戶:maritime5 姓名李尚書 學號2014301020084 班級物基一班 選題 論述 結(jié)論 總分 定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值求解 李尚書物基一班2014301020084摘要:本期末作業(yè)主要利用各種有限差分方法數(shù)值求...
儲闕18562229082： 怎么解薛定諤方程 -
文水縣高速： ______ .在給定的初始條件(系統(tǒng)的初狀態(tài))和邊界條件下.解微分方程;有數(shù)據(jù)才好解. 附 薛定諤方程 Schrodinger equation 量子力學的基本方程.它反映了微觀系統(tǒng)的狀態(tài)隨 時間變化的規(guī)律.微觀系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù) ψ(r,t)描 寫,薛定諤方程是波函數(shù)ψ...
儲闕18562229082： 量子物理半經(jīng)典法解薛定諤方程 -
文水縣高速： ______ 薛定諤方程不是推倒出來的,真的是薛定諤純粹的從物理美學的角度創(chuàng)造出來的我個人的理解是,這個方程其實是一個能量守恒的形式,他的解描述的是一個...
儲闕18562229082： 薛定諤方程怎么理解啊? -
文水縣高速： ______ 薛定諤方程實際上是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.薛定諤方程是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,可描述微觀粒子的運動,每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)...
儲闕18562229082： 薛定諤方程有誰知道? -
文水縣高速： ______ 薛定諤方程(Schrdinger equation)是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,可描述微觀粒子的運動,每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)的薛定諤方程式,通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應(yīng)的能量,從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì). 單粒子薛定諤方程的數(shù)學表達形式
儲闕18562229082： 解釋一下薛定諤方程 -
文水縣高速： ______ 舉例一維定態(tài),你可以理解為宏觀物理中的機械能守恒,左邊為動能加勢能,右邊為總機械能. 位移態(tài)對時間求導就是速度,整理下左一項等同于動能, 第二項是勢函數(shù),求出來就是勢能 最后一項可以理解為總能量(波能量為h和頻率之積)
薛定諤方程主要分為含時薛定諤方程與不含時薛定諤方程。含時薛定諤方程相依于時間，專門用來計算一個量子系統(tǒng)的波函數(shù)，怎樣隨著時間演變。不含時薛定諤方程不相依于時間，可以計算一個定態(tài)量子系統(tǒng)，對應(yīng)于某本征能量的本征波函數(shù)。波函數(shù)又可以用來計算，在量子系統(tǒng)里，某個事件發(fā)生的概率幅。而概率幅的絕對值的平方，就是事件發(fā)生的概率密度。
薛定諤方程的解答，清楚地描述量子系統(tǒng)里，量子尺寸粒子的統(tǒng)計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質(zhì)子、正子、等等，與一組相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定諤方程可以轉(zhuǎn)換為海森堡的矩陣力學，或費曼的路徑積分表述 (path integral formulation) 。薛定諤方程是個非相對論性的方程，不能夠用于相對論性理論。海森堡表述比較沒有這么嚴重的問題；而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。
目錄 [隱藏]
1 含時薛定諤方程
2 不含時薛定諤方程
3 歷史背景與發(fā)展
4 含時薛定諤方程導引
4.1 啟發(fā)式導引
4.1.1 假設(shè)
4.1.2 波函數(shù)以復值平面波來表達波函數(shù)
4.2 薛定諤的導引
5 特性
5.1 線性方程
5.1.1 證明
5.2 實值的本征態(tài)
5.3 么正性
5.3.1 證明
5.4 完備基底
6 相對論性薛定諤方程
7 解析方法
8 實例
8.1 自由粒子
8.2 一維諧振子
8.3 球?qū)ΨQ位勢
8.3.1 角部分解答
8.3.2 徑向部分解答
9 參閱
10 參考文獻
11 外部鏈接
[編輯] 含時薛定諤方程
雖然，含時薛定諤方程能夠啟發(fā)式地從幾個假設(shè)導引出來。理論上，我們可以直接地將這方程當作一個基本假定。在一維空間里，一個單獨粒子運動于位勢 中的含時薛定諤方程為
；(1)
其中， 是質(zhì)量， 是位置， 是相依于時間 的波函數(shù)， 是約化普朗克常數(shù)， 是位勢。
類似地，在三維空間里，一個單獨粒子運動于位勢 中的含時薛定諤方程為
。(2)
假若，系統(tǒng)內(nèi)有 個粒子，則波函數(shù)是定義于 -位形空間，所有可能的粒子位置空間。用方程表達，
。
其中，波函數(shù) 的第 個參數(shù)是第 個粒子的位置。所以，第 個粒子的位置是 。
[編輯] 不含時薛定諤方程
不含時薛定諤方程不相依于時間，又稱為本征能量薛定諤方程，或定態(tài)薛定諤方程。顧名思義，本征能量薛定諤方程，可以用來計算粒子的本征能量與其它相關(guān)的量子性質(zhì)。
應(yīng)用分離變量法，猜想 的函數(shù)形式為
；
其中， 是分離常數(shù)， 是對應(yīng)于 的函數(shù)．稍回兒，我們會察覺 就是能量．
代入這猜想解，經(jīng)過一番運算，含時薛定諤方程 (1) 會變?yōu)椴缓瑫r薛定諤方程：
。
類似地，方程 (2) 變?yōu)?
。
[編輯] 歷史背景與發(fā)展
愛因斯坦詮釋普朗克的量子為一種粒子，稱為光子；也就是說，光波具有波粒二象性。他建議光子的能量與頻率成正比；也就是說，光波具有波粒二象性。在相對論里，能量與動量之間的關(guān)系跟頻率與波數(shù)之間的關(guān)系相同，所以，連帶地，光子的動量與波數(shù)成正比。
1924年，路易·德布羅意提出一個驚人的假設(shè)，每一種粒子都具有波粒二象性。電子也有這種性質(zhì)。電子的能量與動量決定了它的物質(zhì)波的頻率與波數(shù)。1927年，克林頓·戴維孫和 Lester Germer 將緩慢移動的電子射擊于鎳晶體標靶。然后，測量反射的強度，探測結(jié)果與X射線根據(jù)布拉格定律 (Bragg's law) 計算的衍射圖案相同。戴維森-革末實驗徹底的證明了德布羅意假說。
薛定諤夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應(yīng)該會有一個反應(yīng)這特性的波動方程，能夠正確地描述粒子的量子行為。于是，薛定諤試著尋找一個波動方程。哈密頓先前的研究引導著薛定諤的思路，在牛頓力學與光學之間，有一種類比，隱蔽地暗藏于一個察覺里。這察覺就是，在零波長極限，實際光學系統(tǒng)趨向幾何光學系統(tǒng)；也就是說，光射線的軌道會變成明確的路徑，遵守最小作用量原理。哈密頓相信，在零波長極限，波傳播會變?yōu)槊鞔_的運動。可是，他并沒有設(shè)計出一個方程來描述這波行為。這也是薛定諤所成就的。他很清楚，經(jīng)典力學的哈密頓原理，廣為學術(shù)界所知地，對應(yīng)于光學的費馬原理。借著哈密頓-雅可比方程，他成功地創(chuàng)建了薛定諤方程。薛定諤用自己設(shè)計的方程來計算氫原子的譜線，得到了與用玻爾模型計算出的能級相同的答案。
但是，薛定諤對這結(jié)果并不滿足，因為，索末菲似乎已經(jīng)正確地計算出氫原子光譜線精細結(jié)構(gòu)常數(shù)的相對論性的修正。薛定諤試著用相對論的能量動量關(guān)系式，來尋找一個相對論性方程（現(xiàn)今稱為克萊因-高登方程），可以描述電子在庫倫位勢內(nèi)的量子行為。薛定諤計算出這方程的定態(tài)波函數(shù)。可是，相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此，他認為先前非相對論性的部分，仍舊含有足夠的新結(jié)果。因此，決定暫時不發(fā)表相對論性的修正，只把他的波動方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文。1926年，正式發(fā)表于物理學界[2]。從此，給予了量子力學一個新的發(fā)展平臺。
薛定諤方程漂亮地解釋了 的行為，但并沒有解釋 的意義。薛定諤曾嘗試解釋 代表電荷的密度，但卻失敗了。1926年，就在薛定諤第四篇的論文發(fā)表之后幾天，馬克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解釋了 的物理意義[3]。可是，薛定諤本人一直不承認這種統(tǒng)計或概率的表示方法，和它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)塌縮。就像愛因斯坦的認為量子力學是基本為確定性理論的統(tǒng)計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最后一年，他寫給馬克斯·玻恩的一封信內(nèi)，薛定諤清楚地表明了這看法。
[編輯] 含時薛定諤方程導引
[編輯] 啟發(fā)式導引
含時薛定諤方程的啟發(fā)式導引，建立于幾個假設(shè)：
[編輯] 假設(shè)
(1) 一個粒子的總能量 可以經(jīng)典地表達為動能 與勢能 的和：
；
其中， 是動量， 是質(zhì)量。
特別注意，能量 與動量 也出現(xiàn)于以下兩個關(guān)系方程。
(2) 1905年，愛因斯坦于提出光電效應(yīng)時，指出光子的能量 與對應(yīng)的電磁波的頻率 成對比：
其中， 是普朗克常數(shù)， 是角頻率。
(3) 1924年，路易·德布羅意提出德布羅意假說，說明所有的粒子都具有波的性質(zhì)，可以用一個波函數(shù) 來表達。粒子的動量 與伴隨的波函數(shù)的波長 有關(guān)：
；
其中， 是波數(shù)。
用矢量表達， 。
[編輯] 波函數(shù)以復值平面波來表達波函數(shù)
1925年，薛定諤發(fā)現(xiàn)平面波的相位，可用一個相位因子來表示：
。
他想到
，
因此
。
并且相同地由于
，
故
。
因此得到
。
再由經(jīng)典力學的公式，一個粒子的總能為 ，質(zhì)量為 ，在勢能 處移動：
。
薛定諤得到一個單一粒子在一維空間有位能之處移動時的方程：
。
[編輯] 薛定諤的導引
思考一個粒子，運動于一個保守的位勢 。我們可以寫出它的哈密頓-雅可比方程
；
其中， 是哈密頓主函數(shù)。
由于位勢顯性地不相依于時間，哈密頓主函數(shù)可以分離成兩部分：
；
其中，不相依于時間的函數(shù) 是哈密頓特征函數(shù)， 是能量。
代入粒子的哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到
；
哈密頓主函數(shù)隨時間的全導數(shù)是
。
思考哈密頓主函數(shù) 的一個常數(shù)的等值曲面 。這常數(shù)的等值曲面 在空間移動的方程為
。
所以，在設(shè)定等值曲面的正負面后， 朝著法線方向移動的速度 是
。
這速度 是相速度，而不是粒子的移動速度 ：
。
我們可以想像 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，試著給予粒子一個相位與 成比例的波函數(shù)：
；
其中， 是常數(shù)， 是相依于位置的系數(shù)函數(shù)。
代入 的方程，
。
注意到 的量綱必須是頻率，薛定諤突然想起愛因斯坦的光電效應(yīng)理論 ；其中， 是約化普朗克常數(shù)， 是角頻率。設(shè)定 ，粒子的波函數(shù) 變?yōu)?
；
其中， 。
代入波動方程，
。
經(jīng)過一番運算，得到
。
注意到 。稍加編排，可以導引出薛定諤方程：
。
[編輯] 特性
[編輯] 線性方程
主條目：態(tài)疊加原理
薛定諤方程是一個線性方程。滿足薛定諤方程的波函數(shù)擁有線性關(guān)系。假若 與 是某薛定諤方程的解。設(shè)定
，
其中， 與 是任何常數(shù)。
則 也是一個解。
[編輯] 證明
根據(jù)不含時薛定諤方程 (1) ，
，
。
線性組合這兩個方程的解，
。
所以， 也是這含時薛定諤方程的解，證明含時薛定諤方程是一個線性方程。 類似地，我們可以證明不含時薛定諤方程是一個線性方程。
[編輯] 實值的本征態(tài)
不含時薛定諤方程的波函數(shù)解答，也符合線性關(guān)系。但在這狀況，線性關(guān)系有稍微不同的意義。假若兩個波函數(shù) 與 都是某不含時薛定諤方程的，能量為 的解答，則這兩個不同的波函數(shù)解答為簡并的。任何線性組合也是能量為 的解答。
。
對于任何位勢，都有一個明顯的簡并：假若波函數(shù) 是某薛定諤方程的解答，則其共軛函數(shù) 也是這薛定諤方程的解答。所以， 的實值部分或虛值部分，都分別是解答。我們只需要專注實值的波函數(shù)解答。這限制并不會影響到整個不含時問題。
轉(zhuǎn)移焦點到含時薛定諤方程，兩個復共軛的波，以相反方向移動。給予某含時薛定諤方程的解答 。其替代波函數(shù)是另外一個解答：
。
這解答是復共軛對稱性的延伸。稱復共軛對稱性為時間反轉(zhuǎn)。
[編輯] 么正性
在量子力學里，對于任何事件，所有可能產(chǎn)生的結(jié)果的概率總和等于 1 ，稱這特性為么正性。薛定諤方程能夠自動地維持么正性。用波函數(shù)表達，
。(3)
為了滿足這特性，必須將波函數(shù)歸一化。假若，某一個薛定諤方程的波函數(shù) 尚未歸一化。由于薛定諤方程為線性方程， 與任何常數(shù)的乘積還是這個薛定諤方程的波函數(shù)。設(shè)定 ；其中， 是歸一常數(shù)，使得
。
這樣，新波函數(shù) 還是這個薛定諤方程的解答，而且， 已經(jīng)被歸一化了。在這里，特別注意到方程 (3) 的波函數(shù) 相依于時間，而隨著位置的積分仍舊可能相依于時間。在某個時間的歸一化，并不保證隨著時間的演化，波函數(shù)仍舊保持歸一化。薛定諤方程有一個特性：它可以自動地保持波函數(shù)的歸一化。這樣，量子系統(tǒng)永遠地滿足么正性。所以，薛定諤方程能夠自動地維持么正性。
[編輯] 證明
總概率隨時間的微分表達為
。(4)
思考含時薛定諤方程，
。
其復共軛是
。
所以，
代入方程 (4) ，
在無窮遠的極限，符合物理實際的波函數(shù)必須等于 0 。所以，
。
薛定諤方程的波函數(shù)的歸一化不會隨時間而改變。
[編輯] 完備基底
能量本征函數(shù)形成了一個完備基底。任何一個波函數(shù)可以表達為離散的能量本征函數(shù)的線性組合，或連續(xù)的能量本征函數(shù)的積分。這就是數(shù)學的譜定理 (spectral theorem) 。在一個有限態(tài)空間，這表明了厄米算符的本征函數(shù)的完備性。
[編輯] 相對論性薛定諤方程
主條目：相對論量子力學
薛定諤方程并沒有將相對論效應(yīng)納入考慮范圍內(nèi)。對于伽利略變換，薛定諤方程是個不變式；可是對于洛倫茲變換，薛定諤方程的形式會改變。為了要包含相對論效應(yīng)，必須將薛定諤方程做極大的改變。試想能量質(zhì)量關(guān)系式，
；
其中， 是光速， 是靜止質(zhì)量。
直接地用這關(guān)系式來推廣薛定諤方程：
。
或者，稍加編排，
；
其中， ， 是達朗貝爾算符。
這方程，稱為克萊因-高登方程，是洛倫茲不變式。但是，它是一個時間的二階方程。所以，不能成為波函數(shù)的方程。并且，這方程的解答擁有正頻率和負頻率。一個平面波函數(shù)解答遵守
；
其中， 是角頻率，可以是正值或負值。
對量子力學來說，正負角頻率或正負能量，是一個很嚴峻的問題，因為無法從底端限制能量的最低值。雖然如此，加以適當?shù)脑忈專@方程仍舊能夠正確地計算出相對論性的，自旋為零的粒子的波函數(shù)。
保羅·狄拉克發(fā)明的狄拉克方程，是時間的一階微分方程，一個專門描述自旋-½粒子量子態(tài)的波函數(shù)方程：
，
其中，是自旋-½ 粒子的質(zhì)量， 與 分別是空間和時間的坐標。
狄拉克方程方程仍舊存在負能量的解答。為了要除去這麻煩的瑕疵，必須用到多粒子圖案，把波動方程當作一個量子場的方程，而不是一個波函數(shù)的方程。因為，相對論與單粒子圖案互不相容。一個相對論性粒子不能被局限于一個小區(qū)域，除非粒子的數(shù)量變?yōu)闊o窮多。
假若，一個粒子被局限于一個長度為 的一維盒子里，根據(jù)不確定性原理，動量的不確定性 。假若，因為粒子的動量足夠的大，質(zhì)量可以被忽略，則能量的不確定性大約為 。當盒子的長度 等于康普頓波長 時，能量的不確定性等于粒子的質(zhì)能 。當盒子的長度 小于康普頓波長時，我們無法確定盒子內(nèi)只有一個粒子。因為，能量的不確定性，足夠從真空制造更多的粒子。我們用來測量盒子內(nèi)粒子位置的機制，也可以從真空制造更多的粒子。
[編輯] 解析方法
一般來說，解析薛定諤方程會用到下述這些方法：
量子微擾理論 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。
變分原理 (variational principle) 。
量子蒙特·卡羅方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。
密度泛函理論。
WKB 近似 (WKB approximation) 與半經(jīng)典擴展。
對于某些特殊的狀況，可以使用特別方法：
有解析解量子系統(tǒng)列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。
哈特里-福克方法與越哈特里-福克方法。
離散 delta 位勢方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。
[編輯] 實例
[編輯] 自由粒子
主條目：自由粒子
當位勢為 0 時，薛定諤方程為
。
解答是一個平面波：
，
其中， 是波矢量， 是角頻率。
代入薛定諤方程，這兩個變量必須遵守以下關(guān)系：
。
由于粒子存在的概率必須等于 1 ，波函數(shù) 必須先歸一化，然后才能夠表達出正確的物理意義。對于一般的自由粒子而言，這不是一個問題。因為，自由粒子的波函數(shù)，在位置或動量方面，都是局部性的。
在量子力學里，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數(shù)可以表示為一個波包的函數(shù)。：
；
其中，積分的區(qū)域是所有的 -空間。
為了簡化計算，只思考一維空間，
；
其中，因子 是由傅立葉轉(zhuǎn)換的常規(guī)而設(shè)定，振幅 是線性疊加的系數(shù)函數(shù)。
逆反過來，系數(shù)函數(shù)可以表達為
；
其中， 是波函數(shù)在時間 的函數(shù)形式。
所以，知道波函數(shù)在時間 的形式 ，借由傅立葉轉(zhuǎn)換，我們可以推演出波函數(shù)在任何時間的形式 。
[編輯] 一維諧振子
主條目：量子諧振子
能量最低的八個束縛本征態(tài)的波函數(shù)表征 (） 。橫軸表示位置 。此圖未經(jīng)歸一化。在一維諧振子問題中，一個質(zhì)量為 的粒子，受到一位勢 。此粒子的哈密頓算符 為
；
其中， 為位置。
為了要找到能階以相對應(yīng)的能量本征態(tài)，我們必須找到本征能量薛定諤方程：
。
我們可以在座標基底下解這個微分方程，用到冪級數(shù)方法。可以見到有一族的解：
。
最先八個解（n = 0到5）展示在右圖。函數(shù)為厄米多項式 (Hermite polynomials) ：
。
相應(yīng)的能階為
。
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有離散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統(tǒng)的特征。再者，可有的最低能量（當n = 0）不為零，而是 ，被稱為“基態(tài)能量”或零點能量。在基態(tài)中，根據(jù)量子力學，一振子執(zhí)行所謂的“零振動”，且其平均動能是正值。這樣的現(xiàn)象意義重大但并不那么顯而易見，因為通常能量的零點并非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態(tài)能量有許多的意涵，特別是在量子引力。最后一個理由式能階值是等距的，不像玻爾模型或盒中粒子問題那樣。
[編輯] 球?qū)ΨQ位勢
主條目：球?qū)ΨQ位勢
一個單粒子運動于球?qū)ΨQ位勢的量子系統(tǒng)，可以用薛定諤方程表達為
；
其中， 是普朗克常數(shù)， 是粒子的質(zhì)量， 是粒子的波函數(shù)， 是位勢， 是徑向距離， 是能量。
采用球坐標 ，將拉普拉斯算子 展開：
。
滿足薛定諤方程的本征函數(shù) 的形式為：
，
其中， ， ， ，都是函數(shù)。 與 時常會合并為一個函數(shù)，稱為球諧函數(shù)， 。這樣，本征函數(shù) 的形式變?yōu)椋?
。
[編輯] 角部分解答
相依于天頂角 和方位角 的球諧函數(shù) ，滿足角部分方程
；
其中，非負整數(shù) 是角動量的角量子數(shù)。 （滿足 ）是角動量對于 z-軸的（量子化的）投影。不同的 與 給予不同的球諧函數(shù)解答 ：
；
其中， 是虛數(shù)單位， 是伴隨勒讓德多項式，用方程定義為
；
而 是 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
。
[編輯] 徑向部分解答
將角部分解答代入薛定諤方程，則可得到一個一維的二階微分方程：
。
設(shè)定函數(shù) 。代入方程。經(jīng)過一番繁雜的運算，可以得到
。
徑向方程變?yōu)?
；
其中，有效位勢 。
這正是函數(shù)為 ，有效位勢為 的薛定諤方程。徑向距離 的定義域是從 到 。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。為了要更進一步解析，我們必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。
[編輯] 參閱
你好，薛定諤方程是從自由粒子的波函數(shù)（復數(shù)形式）服從的方程猜想出來的，請參閱《量子力學導讀》（浙江大學出版社）
薛定諤方程是用算符化方法建立起來的,當然不是數(shù)學的邏輯地推導出來的,但只要找到合適的數(shù)學工具,不僅薛定諤方程可以推導出來,而且可以推導出單粒子體系和雙粒子體系的相對論波動方程,當然這方面的研究成果尚未有人發(fā)表.我對量子論與狹義相對論的結(jié)合問題很有興趣,事實上,在德布羅意那里量子論跟狹義相對論是觸合的,德布羅意公式就是二者結(jié)合的產(chǎn)物.狹義相對論跟量子論的分離是從薛定諤那里開始的,克萊因和戈登沿著薛定諤的道路走下去,并試圖糾正薛定諤對相對論的偏離,建立了相對論的克萊因-戈登方程,雖然此方程是有用的,但由于存在負幾率困難,他們的工作沒有成功.狄拉克繼續(xù)沿此方向前進,他吸取了克萊因和戈登失敗的教訓,建立了著名的狄拉克方程,此方程竟然導出了電子的自旋,可惜只適用于單粒子體系.當他試圖建立雙粒子體系的相對論波動方程時,遇到很大困難,于是另擗途徑,走量子場論的道路,在費曼等人的努力下,量子電動力學獲得極大的成功.雖然量子場論的一般理論一度受到懷疑,由于楊-米耳斯場的引進,以及很多人的努力,弱電統(tǒng)一理論成功建立,使量子場論的成功達到了頂點.最近又有報到稱量子場論的量子色動力學也取得了重大進展.因此,狹義相對論與量子論在量子場論中結(jié)合得如此成功,很自然使人們覺得在量子力學的框架內(nèi)不可能使狹義相對論與量子論結(jié)合起來.但既然沿著薛定諤的道路即算苻化方法能建立起狄拉克方程,為什么就不能進一步沿此方向建立起雙粒子體系的相對論波動方程呢?只要找到合適的數(shù)學工具并進行概念上的突破,就一定能實現(xiàn)這個目標.總之,量子論與狹義相對論一點都不矛盾,不僅在德布羅意那里,在狄拉克那里,在量子場論那里結(jié)合得很好,在量子力學的框架內(nèi)也一定能結(jié)合起來,只要我們找到合適的數(shù)學工具.在我發(fā)表這個貼子的時侯,這樣的數(shù)學工具其實我早已找到,并且已經(jīng)建立了雙粒子體系的相對論波動方程
薛定諤方程是建立起來的，而不是推導出來的，它是量子力學中的一個基本假設(shè)，地位同牛頓力學中的牛頓方程。它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證。
http://class.htu.cn/liangzilixue/cha-2/2-3.htm
你去這個看看，里面有說明
猜是猜不出這個方程的，如果說是建立，那根據(jù)什么建立呢？他應(yīng)該是從一個普通的波動方程（機械波和電磁波），和德布羅意關(guān)系這兩個條件湊出來的。普通的波動方程里面有用到波長這個物理量，但德布羅意指出，微觀粒子和一個波聯(lián)系有關(guān)系，這個波引導粒子前進（這是他的原始想法，并不是正統(tǒng)量子力學的解釋）并且波的波長等于普朗克常量除以粒子的動量。于是，把普通波方程里面的波長參數(shù)代換成普朗克常數(shù)和粒子動量，經(jīng)過數(shù)學整理，就可以得到薛定諤方程。薛定諤方程的獲得，可以有很多方法。假如是生造出來的，肯定是不現(xiàn)實的，沒有哪個天才能一下子創(chuàng)造一個方程說微觀粒子符合這個條件，相反，薛定諤方程的獲得是從以前的數(shù)學公式加上現(xiàn)在的新假說、新結(jié)果湊合、整理出來的。
從經(jīng)典力學是推不出來的，
薛定諤方程是量子力學最基本的方程。
采用費曼的路徑積分理論或者海森堡的矩陣力學，那么可以從量子力學導出薛定諤方程的。
有時間，我?guī)湍銓憣憽?
薛定諤方程是做什么用的?如何推導?有什么意義?能否給簡述一下呢?
薛定諤方程是用來確定微觀粒子運動基本特征的工具，它是量子物理的一個基本假定，是不能由其他理論推導的產(chǎn)物。薛定諤建立他的方程的過程主要依據(jù)平面簡諧光波的波函數(shù)和自由電子的相對論能量和動量關(guān)系式推導的。薛定諤方程主要分為自由粒子的薛定諤方程，力場中粒子的薛定諤方程，定態(tài)薛定諤方程，一維無限深勢阱...
量子力學的基本內(nèi)容是什么?
1926年,奧地利科學家提出了描述物質(zhì)波連續(xù)時空演化的偏微分方程———薛定諤方程,給出了量子論的另一個數(shù)學描述——波動力學。1948年,費曼創(chuàng)立了量子力學的路徑積分形式。 量子力學在低速、微觀的現(xiàn)象范圍內(nèi)具有普遍適用的意義。它是現(xiàn)代物理學基礎(chǔ)之一,在現(xiàn)代科學技術(shù)中的表面物理、半導體物理、凝聚態(tài)物理、粒子物理、...
主量子數(shù) 角量子數(shù) 磁量子數(shù) 什么東西? 薜定諤方程
根據(jù)薛定諤方程,大學時候,老師說過,有4個量子數(shù),主量子數(shù),角量子數(shù),磁量子數(shù)和自旋量子數(shù).主量子數(shù)n ：n相同的電子為一個電子層,電子近乎在同樣的空間范圍內(nèi)運動,故稱主量子數(shù).當n=1,2,3,4,5,6,7 電子層符號分別為K,L,M,N,O,P,Q.當主量子數(shù)增大,電子出現(xiàn)離核的平均距離也相應(yīng)增大,電...
通俗的解釋一下“蔡定諤的貓”
但是，如果我們用薛定諤方程來描述薛定諤貓，則只能說，她處于一種活與不活的疊加態(tài)。我們只有在揭開蓋子的一瞬間，才能確切地知道雌貓是死是活。此時，貓的波函數(shù)由疊加態(tài)立即收縮到某一個本征態(tài)。量子理論認為：如果沒有揭開蓋子，進行觀察，我們永遠也不知道雌貓是死是活，她將永遠到處于半死不活...
激光是什么?
激光是20世紀以來，繼原子能、計算機、半導體之后，人類的又一重大發(fā)明。它的原理早在 1917 年已被著名的物理學家愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，但要直到 1958 年激光才被首次成功制造。激光是在有理論準備和生產(chǎn)實踐 迫切需要的背景下應(yīng)運而生的，它一問世，就獲得了異乎尋常的飛快發(fā)展，激光的發(fā)展不僅使古老的光學...
激光為甚會不會發(fā)生折射?
[1] 根據(jù)量子力學,電子不是在一些明確的軌道上繞原子核運動的,它們的位置只可利用或然率通過薜定諤方程預測。 [2] 量子力學說明光也有粒子的性質(zhì),特別是在光與原子作用的時候。光的粒子稱為光子。 http:\/\/www.wiki.cn\/wiki\/%E6%BF%80%E5%85%89http:\/\/www.hk-phy.org\/articles\/laser\/laser.html 參考...
主量子數(shù) 角量子數(shù) 磁量子數(shù) 什么東西?解釋清楚
根據(jù)薛定諤方程，大學時候，老師說過，有4個量子數(shù)，主量子數(shù)，角量子數(shù)，磁量子數(shù)和自旋量子數(shù)。主量子數(shù)n ：n相同的電子為一個電子層，電子近乎在同樣的空間范圍內(nèi)運動，故稱主量子數(shù)。當n=1,2,3,4,5,6,7 電子層符號分別為K,L,M,N,O,P,Q。當主量子數(shù)增大，電子出現(xiàn)離核的平均距離也...
蔡定諤的貓是什么
當然，物理學家知道它在上午或下午衰變的幾率——也就是雌貓在上午或者下午死亡的幾率。如果我們不揭開密室的蓋子，根據(jù)我們在日常生活中的經(jīng)驗，可以認定，雌貓或者死，或者活。這是她的兩種本征態(tài)。但是，如果我們用薛定諤方程來描述薛定諤貓，則只能說，她處于一種活與不活的疊加態(tài)。我們只有在揭開...
相關(guān)評說：
文水縣高速： ______[答案] 關(guān)于薛定諤方程一. 定義及重要性薛定諤方程(Schrdinger equation)是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分...
文水縣高速： ______ 薛定諤方程是建立起來的,而不是推導出來的,它是量子力學中的一個基本假設(shè),地位同牛頓力學中的牛頓方程.它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證.
文水縣高速： ______ 這個推薦答案說得不對哈~!薛定諤方程不是推倒出來的,真的是薛定諤純粹的從物理美學的角度創(chuàng)造出來的,這個方程具有完備性.我個人的理解是,這個方程其實是一個能量守恒的形式,他的解描述的是一個粒子空間分布的概率波函數(shù),實際上是概率函數(shù),只不過這個概率分布帶有波的特點.這個概率波描述了粒子的分布(不光是電子,準確的說任何具有能量的粒子都滿足,包括光量子等).總結(jié)一下,這是一個可以通過能量分布來確定空間分布的方程(當然也可以是動量空間分布,主要看在哪個坐標空間來求解了).個人理解而已,請指教.
文水縣高速： ______ 去百度文庫,查看完整內(nèi)容> 內(nèi)容來自用戶:maritime5 姓名李尚書 學號2014301020084 班級物基一班 選題 論述 結(jié)論 總分 定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值求解 李尚書物基一班2014301020084摘要:本期末作業(yè)主要利用各種有限差分方法數(shù)值求...
文水縣高速： ______ .在給定的初始條件(系統(tǒng)的初狀態(tài))和邊界條件下.解微分方程;有數(shù)據(jù)才好解. 附 薛定諤方程 Schrodinger equation 量子力學的基本方程.它反映了微觀系統(tǒng)的狀態(tài)隨 時間變化的規(guī)律.微觀系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù) ψ(r,t)描 寫,薛定諤方程是波函數(shù)ψ...
文水縣高速： ______ 薛定諤方程不是推倒出來的,真的是薛定諤純粹的從物理美學的角度創(chuàng)造出來的我個人的理解是,這個方程其實是一個能量守恒的形式,他的解描述的是一個...
文水縣高速： ______ 薛定諤方程實際上是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.薛定諤方程是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,可描述微觀粒子的運動,每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)...
文水縣高速： ______ 薛定諤方程(Schrdinger equation)是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗.是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,可描述微觀粒子的運動,每個微觀系統(tǒng)都有一個相應(yīng)的薛定諤方程式,通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應(yīng)的能量,從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì). 單粒子薛定諤方程的數(shù)學表達形式
文水縣高速： ______ 舉例一維定態(tài),你可以理解為宏觀物理中的機械能守恒,左邊為動能加勢能,右邊為總機械能. 位移態(tài)對時間求導就是速度,整理下左一項等同于動能, 第二項是勢函數(shù),求出來就是勢能 最后一項可以理解為總能量(波能量為h和頻率之積)
