設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)證明至少存在一點ξ∈(0，1)，使f＇(ξ)＝2ξ[ 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),有f(...
構(gòu)造函數(shù)使用羅爾定理
羅爾（Rolle）中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
羅爾定理描述如下： 如果R上的函數(shù) f(x) 滿足以下條件：
（1）在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，
（2）在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，
（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
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證明：因為函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1、若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。
2、若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內(nèi)某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理，可導(dǎo)的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
如下圖所示構(gòu)造函數(shù)使用羅爾定理
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f'(x)<0,則()
【答案】：D 【分析】由已知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，因此f(x)在[0，1]上的最大值在左端點處，最小值在右端點處，應(yīng)選D．
f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,|f'(x)|<f(x),證明:f(x)=0
即(e^(-x))f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。任取0<x1<x2<1有 f(x1)\/e^x1≥f(x2)\/e^x2 任意取定x2=x0代入上式得 當(dāng)0<x<x0時，f(x)\/e^x≥f(x0)\/e^x0 在上式中令x趨于0，則有 lim(f(x)\/e^x)=limf(x)\/lime^x=f(0)\/e^0=0≥lim(f(x0)\/e^xo)=f(x0)\/e^x...
f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)。 f(0)=f(1)=0,f(1\/2)=1 求證存在a...
證明：考察函數(shù)F(x) = x f(x)顯然，F(xiàn)(0)=0，F(xiàn)(1)=0。那么，根據(jù)羅爾定理，必存在一點ε∈(0, 1)，使得F'(ε)=0。而F'(ε)=εf '(ε)+f(ε)，即得所要結(jié)論。這樣可以么？
設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0.求證:存在ξ∈(0,1...
而且F(x)在[0,1]內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(x)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo) 故根據(jù)Rolle中值定理得:存在g∈(0,1),使得f'(g)=0 而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)即得：-2f(g)=g*f'(g)故：f'(g)=-2f(g)\/g ...
一道大一高數(shù)題f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)
F'(a)=[F(1)-F(0)]\/(1-0)=1-e<0 設(shè)b∈(1,2)使得 F'(b)=[F(2)-F(1)]\/(2-1)=e-1>0 所以，在x∈(0,1)時F(x)單減 x∈(1,2)時，F(xiàn)(x)單增 F(1)為極值點 所以必存在極值點ξ∈(0,2)使得F'(ξ)=0 (直接用介值定理也可)如果確實是要證明的是ξ∈（0，1...
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)>0,f(1\/2)<0,f(1)>...
f(x)在[0,1]內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，所以導(dǎo)函數(shù)f'(x)也在這一區(qū)間連續(xù)。又f(0)>0,f(1\/2)<0,則在[0,1\/2]上必有一區(qū)間[a,b]使得f'(x)<0，這里，[a,b]屬于[0,1\/2],因為f(x)在[0,1\/2]上必有遞減的區(qū)域。同樣的，可得到f'(x)在[1\/2,1]上必有一區(qū)間使得f'(x)>0.又由于f...
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1)=0,證明:至少存在...
解答：證明：令F（x）=e2xf（x），則F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）．由羅爾中值定理知，存在ξ∈（0，1），使得F′（ξ）=2e2ξf（ξ）+e2ξf′（ξ）=0，即：f′（ξ）+2f（ξ）=0．
設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,證明:至少存在一點&...
0)=0 當(dāng)x=1時，F(xiàn)(1)=1^2*f(1)=0 而且F(x)在[0,1]內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)(x)在(0,1)內(nèi)可導(dǎo) 故根據(jù)Rolle中值定理得:存在g∈(0,1),使得f'(g)=0 而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)即得：-2f(g)=g*f'(g)故：f'(g)=-2f(g)\/g ...
設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1)=0,f(1\/3)=2\/3,試...
f(x)可導(dǎo)，那么其導(dǎo)函數(shù)必然連續(xù)。證明：假設(shè)f‘(x)在點t,(0<t<1)間斷 那么f'(x)在點t處要么無定義，要么左、右極限不一致，則f(x)在點t處不可導(dǎo) 與假設(shè)矛盾。故f'(x)在（0,1)上必定連續(xù)。
設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,|f'(x)|=<f(x),證明
由f(x)在[0,1]連續(xù), 在(0,1)可導(dǎo), 且f(0) = f(1).根據(jù)Rolle定理, 存在c∈(0,1), 使f'(c) = 0.考慮g(x) = f'(x)(x-1), 有g(shù)(x)在[c,1]連續(xù), 在(c,1)可導(dǎo), 且g(c) = 0 = g(1).根據(jù)Rolle定理, 存在ξ∈(c,1), 使g'(ξ) = 0, 即有f"(ξ)(ξ-1)...
相關(guān)評說：
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 令F(x)=f(x)-x,則F(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且 F( 1 2)=f( 1 2)- 1 2= 1 2, F(1)=f(1)-1=-1, 故對F(x)在[ 1 2,1]上利用零點定理可得, ?η∈( 1 2,1),使得F(η)=0. 又因為F(0)=f(0)-0=0, 故對F(x)在區(qū)間[0,η]上利用羅爾中值定理可得, 至少存在一...
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 證明: 分別在[0,1/2],[1/2,1]上對f(x)運(yùn)用微分中值定理 存在ξ∈(0,1/2),使得 f(1/2)-f(0)=1/2f'(ξ).(1) 存在η∈(1/2,1),使得 f(1)-f(1/2)=1/2f'(η).(2) (1),(2)相加可得 f'(η)+f'(ξ)=0 即證.
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 推理: 先將結(jié)論變形: f(e)+e*f'(e) = 0 替換 e->x 得:f(x)+x*f'(x)=0 即 (x*f(x))' = 0 證明: 令 F(x) = x*f(x),則F(0) = F(1) = 0 F'(x) = f(x)+x*f'(x) 由羅爾定理,存在e∈(0,1),F'(e)=0 即 f(e) + e*f'(e)=0 f'(e) = -f(e)/e
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 設(shè)F(x)=f(x)-e^(-x) F(0)=f(0)-1=0 F(1)=f(1/e)-e^(-1)=0 F(x)在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理的條件 所以存在a屬于(0,1),使得F'(a)=0 即f'(a)+e^(-a)=0 所以存在a屬于(0,1),使得f'(a)=-e^(-a)
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 考慮 g(x) = x f(x),注意到 g(0) = g(1) = 0,然后用 Rolle 定理即可.
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 構(gòu)造函數(shù)利用Rolle定理求解. 令g(x)=xe^(-x)f(x) 而f(1)=k·1/k·ξe^(1-ξ)f(ξ) 所以e^(-1)f(1)=ξe^(-ξ)f(ξ) 即g(1)=g(ξ) 運(yùn)用Rolle定理即可得到最終結(jié)果.
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 令g(x)=xf(x) 則g(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且g(1)=0=g(0) 由羅爾中值定理 知有一點a屬于(0,1)使得 g`(a)=0 0=g`(a)=f(a)+af`(a) 即f`(a)=-f(a)/a.
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 證明:令F(x)=e2xf(x), 則F(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且F(0)=F(1). 由羅爾中值定理知,存在ξ∈(0,1),使得F′(ξ)=2e2ξf(ξ)+e2ξf′(ξ)=0, 即:f′(ξ)+2f(ξ)=0.
鎮(zhèn)雄縣機(jī)構(gòu)： ______[答案] 證明 由f(x)在[0,1]連續(xù),由積分中值定理有 存在θ1∈[0,1/k](在[0,1]內(nèi),k>1)使得 f(1)=k∫(0~1/k)xf(x)exp(1-x)dx=k*(1/k-0)*θ1f(θ1)exp(1-θ1)=θ1f(θ1)exp(1-θ1) 記g(x)=xf(x)exp(1-x) 則有g(shù)(θ1)=f(1)=g(1) 由Roll定理有 存在ζ∈(θ1,1)使得g'(ζ)=[f(ζ)-ζf(ζ)+ζf'(ζ)]...
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