一個函數(shù)可導(dǎo)，怎么證明它的導(dǎo)數(shù)連續(xù) 一個函數(shù)可導(dǎo)，怎么證明它的導(dǎo)數(shù)連續(xù)？
證明：用反證法，設(shè)
lim
(x趨于a)
f'(x)
=
L，就是要證
L
=
f'(a)，那么我們先假設(shè)L
>
f'(a)。
如此一來，取L'
=
(L+f'(a))
/
2
>
f'(a)，根據(jù)函數(shù)極限的定義，對于
epsilon
=
(L-f'(a))/2
>
0，存在一個x的鄰域
delta(x)，使得在這個鄰域內(nèi)的任意一個x，都有，
|
f'(x)
-
L
|
<
epsilon,
推出
f'(x)
>
L
-
epsilon
=
L'。
然后考慮在a點導(dǎo)數(shù)的定義：
lim
(x趨于a)
[f(x)
-
f(a)]
/
(x-a)
=
f'(a)，
考慮閉區(qū)間
[a,x]
（或者
[x,a]，取決于從哪個方向趨近于a，不過無所謂的），由于函數(shù)在該閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間
(a,x)上可導(dǎo)，故根據(jù)拉格朗日微分中值定理，存在
c
屬于
(a,x)，使得
[f(x)
-
f(a)]
/
(x-a)
=
f'(c)，
接著，由于當x趨于a時，
c也是趨于a的，所以最終，c一定會進入到剛才所說的x的鄰域
delta(x)（注意我的epsilon
和鄰域都已經(jīng)取定了，對于固定的一個區(qū)間，只要c充分接近a，就一定會進入到這個區(qū)間），到那個時候，就總是有
f'(c)
>
L'，這樣一來，當c趨于a時，由于函數(shù)極限的保號性，就有
f'(a)
>=
L'
>
f'(a)，這顯然是一個矛盾。
同理，你也可以證明，當L
<
f'(a)時也會出現(xiàn)矛盾，L'的取法還是一樣，
epsilon
你取
(f'(a)
-
L)/2即可。保證可以證的出來，不是一樓說的有問題。
還有問題可以追問。
f
可導(dǎo)，則
f
連續(xù)
a點有極限，則點a處f可導(dǎo)，且存在二階導(dǎo)數(shù)（
二階導(dǎo)大于零，a為極小值；二階導(dǎo)小于零，a為極大值
）
二階導(dǎo)數(shù)存在，則a點的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)
所以f的導(dǎo)函數(shù)在a點處連續(xù)
連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)
這是定理
就是這么證明的
類似于導(dǎo)數(shù)極限定理：
（1）在[a,x1]點a
的右鄰域應(yīng)用拉格朗日中值定理：
存在ξn使：
f(x)-f(a)/x-a=f'(ξn)
由于函數(shù)
f
可導(dǎo)，且f的導(dǎo)數(shù)在a點有極限，
所以：兩邊令x→a+取極限，并注意（a<ξn
f'(ξn)
(*)
(2)
應(yīng)用海涅定理：由于（*）可知：
存在一個點列：{ξn}滿足：ξn→a+
且：f'(ξn)→f'(a)
則由充要條件可知：當x→a+時，有f'(x)→f'(a)
同理，在[x2,a]上，可證明：
當x→a-時，有f'(x)→f'(a)
所以：lim
f'(x)=f'(a).
一個函數(shù)可導(dǎo),怎么證明它的導(dǎo)數(shù)連續(xù)
用反證法證明一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)。設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)極限為L，即lim (x趨于a) f'(x) = L。要證L = f'(a)。假設(shè)L > f'(a)，取L' = (L f'(a)) \/ 2 > f'(a)。根據(jù)函數(shù)極限定義，存在鄰域delta(x)，對于任意x在此鄰域內(nèi)，| f'(x) - L | L - epsilon，其中epsilon = (L-f...
一個函數(shù)可導(dǎo),怎么證明它的導(dǎo)數(shù)連續(xù)
同樣地，可以證明當 L < f'(a) 時，也會出現(xiàn)矛盾。因此，我們的初始假設(shè)不成立，最終得到 L = f'(a)，證明了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)。
一個函數(shù)可導(dǎo),怎么證明它的導(dǎo)數(shù)連續(xù)
證明：用反證法，設(shè) lim (x趨于a) f'(x) = L，就是要證 L = f'(a)，那么我們先假設(shè)L > f'(a)。如此一來，取L' = (L+f'(a)) \/ 2 > f'(a)，根據(jù)函數(shù)極限的定義，對于 epsilon = (L-f'(a))\/2 > 0，存在一個x的鄰域 delta(x)，使得在這個鄰域內(nèi)的任意一個x，都有...
可導(dǎo)推連續(xù)的證明方法有哪些?
在數(shù)學(xué)分析中，可導(dǎo)性與連續(xù)性是函數(shù)性質(zhì)的兩個基本概念。對于實數(shù)函數(shù)來說，如果一個函數(shù)在某點可導(dǎo)，那么它在該點也是連續(xù)的。這是因為可導(dǎo)性在某種程度上比連續(xù)性要求更為嚴格。以下是證明“可導(dǎo)推連續(xù)”的幾個方法：定義法： 根據(jù)可導(dǎo)的定義，如果函數(shù)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則極限 lim ?...
可導(dǎo)一定連續(xù)怎么證明
可導(dǎo)一定連續(xù)怎么證明，如下：設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)為f'(x0)；lim[f(x)-f(x0)](x->x0)=lim{[f(x)-f(x0)]\/(x-x0)}*(x-x0)=lim{[f(x)-f(x0)]\/(x-x0)}*lim(x-x0)=f'(x0)*0=0 所以說f(x)在x0處連續(xù)。知識拓展：函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性 連續(xù)點：如果函數(shù)在某...
函數(shù)在某點可導(dǎo),如何判斷其在該點連續(xù)?
- 檢查導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)的可導(dǎo)性是等價的。如果導(dǎo)數(shù)函數(shù)在該點連續(xù)，則函數(shù)在該點可導(dǎo)。2. 使用導(dǎo)數(shù)的存在性的判定方法：根據(jù)微分學(xué)的一些定理和方法，可以判斷函數(shù)在某點的可導(dǎo)性。- 連續(xù)性：如果函數(shù)在某點處連續(xù)，則函數(shù)在該點可導(dǎo)。- 有界性：如果函數(shù)在某點處有界，則函數(shù)...
可導(dǎo)必連續(xù)的證明詳解
1、證明可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù):設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo),即limΔy\/Δx（Δx趨近于0）=f′（x）存在,由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道,Δy\/Δx=f′(x)+α,其中α是當Δx趨近于0時的無窮小,上式兩邊同乘以Δx得：Δy=f′(x)Δx+αΔx,由此可見,當Δx趨近于0時,y趨近于0.這就是...
為什么一個函數(shù)可求導(dǎo)就說明它連續(xù)。請證明
而連續(xù)性的定義是，函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，意味著當x→x0時，f(x)的極限值等于f(x0)。結(jié)合導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的定義，我們能夠證明，如果一個函數(shù)在某點可導(dǎo)，那么它在該點也是連續(xù)的。這一結(jié)論不僅適用于一元函數(shù)，也適用于多元函數(shù)，是微積分中的基本定理之一。通過上述推導(dǎo)過程，我們得以深刻理解導(dǎo)數(shù)...
可導(dǎo)必連續(xù)怎么證明
可導(dǎo)必連續(xù)的證明如下：設(shè)y=f(x)在x0處可導(dǎo)，f'(x0)=A可導(dǎo)的充分必要條件有f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）當x→x0時，f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）由定理：當x→x0時f(x)→A的充分必要條件是f(x)=A+a(a是x→x0時的無窮小）得，limf(x)=f(x0)。導(dǎo)數(shù)，也叫...
函數(shù)如何由可導(dǎo)推出連續(xù)性?
首先，我們需要理解可導(dǎo)和連續(xù)的定義。一個函數(shù)在某一點連續(xù)，意味著當輸入值趨近于該點時，輸出值也趨近于該點的函數(shù)值。換句話說，如果我們用極限的語言來描述，對于函數(shù)f(x)，如果對于任意趨近于a的x值，都有l(wèi)im(x->a) f(x) = f(a)，那么我們說f(x)在x=a處連續(xù)。另一方面，一個函數(shù)在...
相關(guān)評說：
徐匯區(qū)推力： ______ 連續(xù) 1該點有定義 2左右極限相等 3極限值等于函數(shù)值 可導(dǎo) 用導(dǎo)數(shù)定義即可
徐匯區(qū)推力： ______[答案] 1.證明可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù): 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo),即limΔy/Δx(Δx趨近于0)=f′(x)存在,由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道,Δy/Δx=f′(x)+α,其中α是當Δx趨近于0時的無窮小,上式兩邊同乘以Δx得:Δy=f′(x)Δx+αΔx,由此可見,當Δx趨近于0時,y...
徐匯區(qū)推力： ______ 未必.例如函數(shù) f(x) = x2D(x), 它僅在 x=0 可導(dǎo),其余點均不連續(xù),談何導(dǎo)函數(shù)連續(xù)? 注:這里,D(x) 是Dirihlet 函數(shù),就是在有理點函數(shù)值是 1,在無理點函數(shù)值是 0 的函數(shù).
徐匯區(qū)推力： ______[答案] 1.有定義 2.有極限 3.極限值等于函數(shù)值 可導(dǎo)一定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo)
徐匯區(qū)推力： ______ 解:不妨設(shè)一元函數(shù)為y=f(x),因為該函數(shù)可導(dǎo),令其在X1處的導(dǎo)數(shù)為f'(X1),由導(dǎo)數(shù)的定義可知(f(X)-f(X1))/(X-X1)在X—>X1時極限為f'(X1),所以f(X)-f(X1)在X—>X1時的極限為f'(X1)*(X-X1)=0,由極限的運算可知f(X)在X—>X1時極限為f(X1),根據(jù)一元函數(shù)點連續(xù)的定義可知f(X)在X1處連續(xù),由于X1可變,這樣可證一元函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上也連續(xù),命題即證.
徐匯區(qū)推力： ______[答案] 可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)? f(x)=1/x,導(dǎo)數(shù)f'(x)=-1/x^2,導(dǎo)數(shù)不為0
徐匯區(qū)推力： ______[答案] 其導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù).如: f(x)=x^2 sin(1/x) ,x≠0 f(x)=0,x=0. 這個函數(shù)在任何一點都是可導(dǎo)的, x≠0時,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) x=0時,f'(x)=0 但是導(dǎo)函數(shù)在x=0處是不連續(xù)的.
徐匯區(qū)推力： ______[答案] 這個只能說明導(dǎo)數(shù)在x=k這一點連續(xù),而不是區(qū)間.導(dǎo)函數(shù)連續(xù)和普通函數(shù)連續(xù)時證明方法是一樣的.
徐匯區(qū)推力： ______ 可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)未必連續(xù). 如: f(x)=x^2*sin(1/x),當x不等于0;f(x)=0,當x等于0.顯然f(x)連續(xù),且可導(dǎo).f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),當x不等于0;f'(x)=0,當x等于0.但f'(x)在點x=0處不連續(xù).
徐匯區(qū)推力： ______ 可導(dǎo)一定連續(xù),連續(xù)不一定可導(dǎo),這是對一元函數(shù)而言的,對二元函數(shù),可導(dǎo)也不一定連續(xù). 二元函數(shù)暫且不談了,你應(yīng)該問的是一元的,要證明這問題很簡單啊,高數(shù)書上就有證明.你首先搞清楚導(dǎo)函數(shù)的定義和連續(xù)函數(shù)的定義,導(dǎo)函數(shù)指x無限逼近一個數(shù)x1時,f(x1)-f(x)/(x1-x)的極限存在,那么就說函數(shù)f(x)在x1點可導(dǎo). 而連續(xù)函數(shù)指當x取值x1時,f(x)在x1點的左右極限相等并且等于f(x1),這就說f(x)在x1點連續(xù). 證明過程我就不寫了,很簡單的,你根據(jù)上面的定義自然就可以證明!
