§2.1 群的基本概念
在深入探討群的基本概念之前，我們先從半群這一概念入手，逐步引入群的性質(zhì)與特征。首先，我們來定義半群。
半群定義如下：若代數(shù)系統(tǒng) S 中存在運(yùn)算“∘”滿足結(jié)合律，即對(duì)于所有 a, b, c ∈ S，有 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)，那么稱 S 為半群。通常，我們使用“∘”表示運(yùn)算，若在具體上下文中不會(huì)引起混淆，可以省略“∘”。
若該半群的運(yùn)算還滿足交換律，即 a ∘ b = b ∘ a 對(duì)于所有 a, b ∈ S 都成立，那么該半群稱為可交換半群。在可交換半群中，我們有時(shí)使用“+”作為運(yùn)算符號(hào)。
接下來，我們通過實(shí)例來直觀理解半群的概念。例如，任意集合 N、N × N、N × N × N 中的元素與運(yùn)算“+”構(gòu)成半群；集合 M(A, B) 中的全體映射在映射的復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成半群；全體偶數(shù)在乘法下構(gòu)成半群。
在半群中，我們定義冪和指數(shù)律。例如，若 a, b ∈ S，那么 a^n = a ∘ a ∘ ... ∘ a（共 n 個(gè) a），并有以下指數(shù)律：a^1 = a，a^0 = e（其中 e 為單位元），以及對(duì)于可交換半群，還滿足 (a^n) * (a^m) = a^(n+m)。
接著，我們介紹幺半群的概念。若半群 S 中存在單位元 e，使得對(duì)于所有 a ∈ S，有 e ∘ a = a ∘ e = a，則稱 S 為幺半群。有時(shí)，我們也將幺半群稱為獨(dú)異點(diǎn)。
子半群的概念也非常重要。若集合 T 是半群 S 的子集，且在 S 的運(yùn)算下也構(gòu)成半群，則稱 T 為 S 的子半群。
群的基本概念是建立在幺半群的基礎(chǔ)上，但要求各元素存在逆元。具體來說，一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) G 被稱為群，當(dāng)且僅當(dāng) G 滿足以下三個(gè)條件：結(jié)合律、存在單位元和存在逆元。結(jié)合律指的是對(duì)于所有 a, b, c ∈ G，有 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)；單位元表示存在元素 e 使得 e ∘ a = a ∘ e = a 對(duì)于所有 a ∈ G 都成立；逆元指對(duì)于每個(gè) a ∈ G，存在唯一元素 b ∈ G 使得 a ∘ b = b ∘ a = e。
群可以分為交換群和非交換群，前者滿足交換律。群的階定義為群中元素的數(shù)目。若群的元素?cái)?shù)目有限，則稱為有限群，無限群則沒有明確的階數(shù)。
子群的概念是群內(nèi)部的一個(gè)重要特性，若集合 T 是群 G 的子集，并且在 G 的運(yùn)算下也構(gòu)成群，則稱 T 為 G 的子群。
接下來，我們探討群的一些簡單性質(zhì)。例如，群滿足消去律，即若 ab = ac，則 b = c。單位元是唯一的冪等元。群的滿同態(tài)保持單位元和逆元。
群的判定定理提供了判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為群的方法，例如，群的滿同態(tài)是群、含有左單位元和左逆元的半群是群、線性方程可解的半群是群、以及消去律成立的半群是群。
最后，我們通過運(yùn)算表來研究低階群及其性質(zhì)。低階群的運(yùn)算表顯示了群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，例如，所有三階群都是相互同構(gòu)的。我們注意到運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱，這意味著群是交換群。在任何行（列）中，每個(gè)元素恰好出現(xiàn)一次，這一性質(zhì)可以推廣到一般情況：有限群的運(yùn)算表中的每一行（列）都是該群元素的一個(gè)全排列。
在后續(xù)章節(jié)中，我們將詳細(xì)討論具有特殊性質(zhì)的群及其相關(guān)概念，以及如何利用這些群來解決實(shí)際問題。我期待能夠保持持續(xù)的探索與學(xué)習(xí)，以深化對(duì)群論的理解。
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