因式分解的幾種方法
導語：因式分解是中學數(shù)學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，在數(shù)學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用。是解決許多數(shù)學問題的有力工具。把一個多項式在一個范圍(如有理數(shù)范圍內分解，即所有項均為有理數(shù))化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。
因式分解的幾種方法
1、提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、分解因式x3-2x2-x
x3-2x2-x=x(x2-2x-1)
2、應用公式法
由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a2+4ab+4b2
解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2
3、分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2+5n-mn-5m
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
對于mx2+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2-19x-6
分析：1×7=7,2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對于那些不能利用公式法的多項式，有的'可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x2+6x-40
解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40
=(x+ 3)2-(7 )2
=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉換回來。
例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式，在這里以二次項系數(shù)為中心對稱項的系數(shù)是相等的，如四次項與常數(shù)項對稱，系數(shù)相等，解法也是把對稱項結合在一起)
解：2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2
=x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
令y=x+,
x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
= x2[2(y2-2)-y-6]
= x2(2y2-y-10)
=x2(y+2)(2y-5)
=x2(x++2)(2x+-5)
=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情況下是試根法，并且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數(shù)是不是方程的根)
例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為，-3，-2，1 ,
則2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、圖象法
(這種方法在以后學函數(shù)的時候會用到。現(xiàn)在只是作為了解內容，它和第八種方法是類似的)
令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點x1,x2,x3,……xn，則多項式可因式分解為
f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例9、因式分解x3+2x2-5x-6
解：令y=x3+2x2-5x-6
作出其圖象，可知與x軸交點為-3，-1，2
則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列
解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
將2或10(或其它數(shù))代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質因數(shù)，將質因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15
解：令x=2，則x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數(shù)的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數(shù)法
首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4
如果已知道這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解：設x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以解得
則x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)
因式分解的幾種方法
1】提取公因式
這種方法比較常規(guī)、簡單，必須掌握。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例一：2x-3x=0
解：x(2x-3)=0
x1=0,x2=3/2
這是一類利用因式分解的方程。
總結：要發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律就是：當一個方程有一個解x=a時，該式分解后必有一個(x-a)因式 這對我們后面的學習有幫助。
2】公式法
將式子利用公式來分解，也是比較簡單的方法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
注意：使用公式法前，建議先提取公因式。
例二：x-4分解因式
分析：此題較為簡單，可以看出4=2 2，適用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2)
3】十字相乘法
是做競賽題的基本方法，做平時的題目掌握了這個也會很輕松。注意：它不難。
這種方法的關鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1.a2的積a1.a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1.c2的積c1.c2，并使a1c2?a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結果
例三： 把2x-7x+3分解因式.
分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù).
分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：
2=1×2=2×1;
分解常數(shù)項： 222
因式分解的四種方法?
因式分解的四種方法：1. 提公因式法。當多項式中存在公因式時，可以先將其提取出來進行因式分解。這是最基本也是最常用的方法。2. 公式法分解。利用平方差公式、完全平方公式等數(shù)學公式進行因式分解。這種方法適用于具有特定結構的多項式。3. 分組分解法。當多項式項數(shù)較多，且不易直接提取公因式時，可以...
因式分解方法有幾種
因式分解方法有提公因式法、公式法、拆項和添減項法、分組分解法和十字相乘法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法、對稱多項式輪換對稱多項式法、余數(shù)定理法、求根公式法、換元法、長除法、除法等。數(shù)學中用以求解高次一元方程的一種方法。把方程的一側的數(shù)（包括未知數(shù)），通過移動使其值化成0，把方程的另一...
因式分解四種基本方法
1. 分組分解法：主要針對多項式的分解。分組是根據(jù)題目的特點，將多項式中的某幾項分為一組進行提取公因式或應用公式法分解。這種方法需要對多項式進行觀察，選擇合適的分組方式，使得分組后的式子更容易進行因式分解。例如，對于多項式ax²+bx+cy²+dy，可以根據(jù)情況將其分為兩組進行分解。2....
因式分解的四種方法都是什么?
因式分解的四種方法分別是：分組分解法、公式法、十字相乘法以及配方法。分組分解法。分組分解法是人們在處理復雜的數(shù)學問題時經常使用的一種方法。在進行因式分解時，根據(jù)題目的特點，將多項式分為若干組，分別對每一組進行因式分解，然后將所得的因式乘積與其余的項結合起來繼續(xù)進行分解，直到完全分解為止。
因式分解的方法有幾種初中
因式分解的方法有幾種初中如下：因式分解法的四種方法：提公因式法、分組分解法、待定系數(shù)法、十字分解法。1、一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。2、分組分解法指通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式...
因式分解12種方法
十字相乘法適用于mx+px+q形式的多項式，通過找到a和b的乘積等于m，c和d的乘積等于q，且ac+bd等于p，從而將多項式分解為(ax+d)(bx+c)的形式。配方法通過將多項式配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，將多項式分解為因式乘積的形式。例如，對于多項式x^2+6x+8，可以通過配方法，得到(x+3)...
因式分解法的四種方法
因式分解法的四種方法：1. 提公因式法 方法概述：在多項式中尋找公共因子，并將其提取出來。提公因式法是因式分解中最基本也是最重要的方法之一。這種方法簡單易行，主要依賴于觀察和分析多項式的各項以找到公因子。詳細解釋：在多項式里，如果有某項是各項的公共因子，那么就可以將它提取出來，從而簡化...
什么是因式分解四種方法?
因式分解的四種方法如下：1.公因數(shù)法：當多項式的所有項都含有共同的因子時，可以把這個因子提出來，然后用分配律將剩下的部分相加，進一步化簡。2.十字相乘法：對于二次多項式ax2+bx+c，其因式可以表示為兩個一次多項式的乘積。使用十字相乘法時，將a和c的乘積分解為兩個因數(shù)的乘積，然后根據(jù)...
因式分解有幾種常見方法?
完全平方公式法：當多項式可以表示為某個一次多項式的平方時，可以使用完全平方公式進行因式分解。這種方法主要適用于形如a²+2ab+b²或a²-2ab+b²的多項式。如果多項式滿足這樣的形式，就可以直接利用完全平方公式進行因式分解。該方法對于處理一些二次項比較集中的多項式問題較為方便。
數(shù)學因式分解的12種方法
數(shù)學因式分解的12種方法如下：1. 提取公因式法 這是最基本的因式分解方法，將多項式中的公因式提取出來。例如：4x2 +8x=4x(x+2)。2. 公式法 利用一些特定公式進行因式分解，比如二次方程、三次方程的求解公式。例如：x2 +5x+6=(x+2)(x+3)。3. 分組法 將多項式中的項按特定...
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