關(guān)于排列 組合的問(wèn)題 關(guān)于錯(cuò)位排列的問(wèn)題
排列組合應(yīng)用問(wèn)題，題型繁多，解法獨(dú)特，但經(jīng)仔細(xì)分析研究，還是有一定規(guī)律可循。關(guān)鍵是掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列組合的定義，了解一些基本題型及其解法，掌握基本的一些分析問(wèn)題的方法。
一、基本題型及其解法
（1）純排列問(wèn)題
“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列”是最簡(jiǎn)單的純排列問(wèn)題，但是它有三種題型變化，下面分別用例題予以說(shuō)明。
例1 現(xiàn)有九位同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
①如果其中甲、乙兩位同學(xué)必須排在兩端，那么一共有多少種排法？
②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某些元素‘在’或‘不在’某幾個(gè)位置上”的一種排列題型。“在”，一般用直接法解，即先取出這幾個(gè)元素并讓它們落在指定的位置上，然后再考慮其它元素；“不在”，一般用間接法，轉(zhuǎn)化為“在”來(lái)求解。
例2 現(xiàn)有五位男同學(xué)，四位女同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
① 如果男女同學(xué)各自排在一起，那么一共有多少種排法？
② 如果男女同學(xué)相間地排，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某些元素‘相鄰’或‘不相鄰’的一種排列題型。“相鄰”則將這要求“相鄰”的m個(gè)元素捆綁起來(lái)看成一個(gè)整體（一個(gè)大元素）與另外（n-m）個(gè)元素進(jìn)行全排列，再乘以這m個(gè)元素自身的全排列數(shù)即 種排法；“不相鄰”，一般用插空法來(lái)解，即先將另外p(P≥m-1)個(gè)元素排好，留出（p+1）個(gè)空擋，再讓這不能相鄰的m個(gè)元素插進(jìn)去，共有排法 （種）。
例3 現(xiàn)有五位男同學(xué)，四位女同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
① 如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少種排法？
② 如果男同學(xué)次序一定，女同學(xué)次序也一定，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某幾個(gè)元素“次序一定”的一種排列題型。它的解法是先將n(n>m)個(gè)元素全排列有 種，就其中m個(gè)元素而言有 種排法，但由于要求這m個(gè)元素次序一定，因此只能取 中的某一種排法，故共有排法 / 種，即順序固定問(wèn)題用除法。
（2）純組合問(wèn)題
“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合”是最簡(jiǎn)單的純組合問(wèn)題，但是它有兩種題型變化，下面分別用例題予以說(shuō)明。
例4 現(xiàn)從五位男同學(xué)，四位女同學(xué)中選出5名代表，試問(wèn)其中：
① 男甲、女A都必須當(dāng)選，有幾種選法？
② 男甲必須當(dāng)選，女A不能當(dāng)選，有幾種選法？
本例是屬于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一種組合題型。“含”則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”則先將這些元素剔除，再?gòu)牧粝碌脑刂腥ト ?
例5 現(xiàn)從五位男同學(xué)，四位女同學(xué)中選出5名代表，試問(wèn)其中：
① 至少有一個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？
② 最多有三個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？
本例是屬于“‘至少’或‘最多’含有幾個(gè)元素”的一種組合題型。用分類(lèi)法或排雜法解都可以，但是解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，要保證分類(lèi)合理，排雜準(zhǔn)確，謹(jǐn)防漏解與重復(fù)。
（3）排列組合混合題
這類(lèi)問(wèn)題有兩群之間的排列題和分配（分組）問(wèn)題兩類(lèi)題型。
例6 ①用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，由兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字和三個(gè)奇數(shù)數(shù)字組成的有多少個(gè)？
②從n個(gè)不同元素里取出的m個(gè)元素的排列中，試問(wèn)其中含有a1,a2,……，ap(n>m>p)這p個(gè)元素且這p個(gè)元素排在一起的排列有多少種？
本例是典型的“兩群之間的排列問(wèn)題”，它的解法是根據(jù)公式 得來(lái)的，即從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列，可以分成兩步來(lái)完成：取出( )—排好（ ）。
例7 、6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法？
① 平均分給甲、乙、丙三人。
② 甲得一本，乙得兩本，丙得三本。
③ 一人得一本，一人得兩本，一人得三本。
④ 平均分成三堆（組）。
⑤ 一堆一本，一堆兩本，一堆三本。
本例的①、②、③是屬于“分配問(wèn)題”，它有兩種情況：一種是平均分配或者按某一種確定的分配方案分配（如②），那么只要一個(gè)一個(gè)地按要求去取，然后再將這些組合數(shù)乘起來(lái)即得；另一種是分配方案不確定的（如③），那么還要乘以分配人數(shù)的全排列數(shù)。
本例的④、⑤是屬于“分堆（組）”問(wèn)題，它有兩種情況：一是平均分組，如有kn不同元素平均分成k組，那么分法有 種。另一種不是平均分組，那么其解法與分配問(wèn)題的前一種情況相同。
二、解排列組合應(yīng)用問(wèn)題的一些分析方法
對(duì)于解比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，往往比較困難，會(huì)有無(wú)從下手的感覺(jué)。為了提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，這里根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)，介紹五種分析方法。
（一）特征分析法
例8 從1，2，3，……，100這一百個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，其中積能被5整除的有多少個(gè)？能被5整除但不能被5n(n≥2,n∈N)整除的有多少個(gè)？
解：兩數(shù)中只要有一個(gè)是5的倍數(shù)，那么它們的積就能被5整除，而1到100中共有20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù)，故共有取法 種；能被5整除而不能被5n(n≥2,n∈N)整除，那就是說(shuō)這20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù)中，不能取兩個(gè)相乘；同時(shí)還不能取這20個(gè)數(shù)中本已含有52因數(shù)的數(shù)25，50，75，100，因此符合題意的積共有 (種）
例9 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，試問(wèn)其中能被3整除的有多少？
分析：能被3整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，由1+2+3+4+5+6+7=28，又組成的是五位數(shù)，因此應(yīng)從28中減去兩個(gè)數(shù)字使其差為3的倍數(shù)，再由大到小依次考慮，便得到下面四種情況：
解①28-1-2=24，由2，4，5，6，7五個(gè)數(shù)字，可組成 個(gè)五位數(shù)。
②28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21，一共可組成 個(gè)五位數(shù)。
③28-3-7=18或28-4-6=18可組成 個(gè)五位數(shù)。
④28-6-7=15可組成 個(gè)五位數(shù)。
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：可得能被3整除的五位數(shù)共有 =840（個(gè)）。
上面兩例是抓住了能被5整除與能被3整除的數(shù)的特征，再進(jìn)行有條理有次序（特別是例2）的分析而得出解答的。因此在解應(yīng)用題時(shí)，必須十分注意題意的內(nèi)含特征以及解題的條理性。
（二）排陣分析法
例10 從1到9這九個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，問(wèn)一共可以得到多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？
分析：由于底數(shù)不能取1，因此底數(shù)可以從2到9這八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)；真數(shù)可以從留下的八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，故有 個(gè)對(duì)數(shù)。但本題是問(wèn)“有幾個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？”，顯然 是相同的，只能算一個(gè)。那么另外有沒(méi)有相同的對(duì)數(shù)值呢？那就要費(fèi)一番周折了，而且一個(gè)一個(gè)地找很容易造成遺漏，再考慮到底數(shù)取法只有八種情況，當(dāng)取某一值為底時(shí)，真數(shù)依次排上的次序性很強(qiáng)（如 等等），而且在排時(shí)若遇相同的值立即舍去，“重復(fù)取”的情況也就避免了，因此還是直接排出要方便些，可靠些。分別以2，3，4，……，9為底直接排出，可得共有53個(gè)不同的對(duì)數(shù)值
例11 現(xiàn)在將準(zhǔn)備從七個(gè)學(xué)校選出12人組成區(qū)籃球隊(duì)，要求每校至少有一人參加，向各校分配到的隊(duì)員人數(shù)，可能有幾種不同情況？
解：由于每校至少要有一人參加，因此這一個(gè)名額不妨先分配下去，還余下五個(gè)名額，因?yàn)闆](méi)有其他的分配要求，因此這5個(gè)名額分配時(shí)，可能有如下六種情況。
（注：記號(hào)“11111”表示將5個(gè)名額分成5個(gè)“1”，分配到七個(gè)學(xué)校中去，每校1人，其余類(lèi)推）
①分成“11111”有 種分配法。
②分成“2111”有 種分配法。
③分成“221”有 種分配法。
④分成“311”有 種分配法。
⑤分成“23”有 種分配法。
⑥分成“41”有 種分配法。
⑦分成“5”有 種分配法。
因此共有 種分配法。
通過(guò)上述兩例的分析，可以看出“排陣分析法”主要有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①解題方法直觀，易被接受；②條理性強(qiáng)，便于思考分析；③取舍明確，可避免漏解或重復(fù)。
（三）元素、位置分析法
例12 3封不同的信，投入4個(gè)不同的信箱，共有多少種不同的投信方法？
解法一：元素分析法（以信為主）
第一封信有四種不同的投法，不論把它投入哪一個(gè)信箱里，第二封信還有四種投法，同理第三封信也有四種投法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，故共有投法4x4x4=64（種）
解法二：位置分析法（以信箱為主）
四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到3封信的有 ；四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到2封信的有 ；四個(gè)信箱中某三個(gè)信箱各收到1封信的，收信方法有 。因此收信方法 （種）
元素分析法（即以元素為主考慮各種可能性）與位置分析法（即以位置為主考慮多種可能性）是解排列組合應(yīng)用題的兩種常用方法，它的優(yōu)點(diǎn)是研究對(duì)象清楚單一易于分析各種情況。
例13 三位教師分配到六個(gè)班里，各人數(shù)不同的班級(jí)，若每人都教兩個(gè)班，有幾種分配方法？
解法一（以教師為主）
這是一個(gè)分配問(wèn)題，第一位教師可從六個(gè)班中選二個(gè)有 ，第二位教師可從四個(gè)班中選二個(gè)有 ，第三位教師教余下的二班有 ，因此共有 種不同的分法。
解法二（以班級(jí)為主）
將六個(gè)班分成三組，每組兩個(gè)班，共有 分組法，再將每種方法中的三組分配給三位教師有 種，因此共有 種方法。
（四）圖形分析法
例14 用0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，試問(wèn)能組成多少個(gè)大于401325的自然數(shù)？
解：大于401325的數(shù)，必須是六位數(shù)；當(dāng)最高位數(shù)字為5時(shí)，形如5xxxxx的數(shù)一定大于401325有 個(gè)；再看最高位是4時(shí)，形如下面的數(shù)也必須大于401325：
①41xxxx；42xxxx；43xxxx；45xxxx。共有 個(gè)。
②402xxx；403xxx;405xxx共有 個(gè)。
③4015xx共有 個(gè)。
④401352共有1個(gè)。
綜上得大于401325的自然數(shù)共有 個(gè)。
例15 一直線和圓相離，這條直線上有六個(gè)點(diǎn)，圓上有四個(gè)點(diǎn)，通過(guò)其中任意兩點(diǎn)作直線，試問(wèn)：
①最多可作幾條直線？②最少可作幾條直線？
解：①顯然除了A1、A2、A3,……A6 這六點(diǎn)共線外，其余無(wú)三點(diǎn)共線時(shí)，那以任取其中兩點(diǎn)作直線必最多，共有 （條）
如圖，由于B1,B2,B3,B4 在圓上，故四點(diǎn)
中任意三點(diǎn)均不共線，因此當(dāng)過(guò)B1,B2,B3,B4
中任意兩點(diǎn)的直線（共有 條）正好分
別通過(guò)A1、A2、A3,……A6 這六個(gè)點(diǎn)時(shí)，則直線條數(shù)最少，共有 （條）。（如圖B2 B4 A1 三點(diǎn)，原來(lái)過(guò)其中任意兩點(diǎn)可作三條直線，而現(xiàn)在只能作一條，減少了兩條）
從上兩例可以看出，有時(shí)結(jié)合圖形來(lái)分析比較直觀，易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
（五）減元分析法
例16 我們把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的，否則就是不同的，用三個(gè)“1”和六個(gè)“0”作三階行列式，試問(wèn)能作成多少個(gè)不同的行列式？
分析：本題情況比較復(fù)雜，因此不妨先減元來(lái)分析一下，如兩個(gè)“1”與兩個(gè)“0”，作成二階行列式有：
在排的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)“1”排好位置以后，那兩個(gè)“0”只能進(jìn)入留下的空擋，因此實(shí)際上只要排好兩個(gè)“1”的位置即可，而四個(gè)空擋中排兩個(gè)“1”的方法共有 種，這與實(shí)際排出也是一致的，由此減元分析可得原題三階行列式的個(gè)數(shù)是 個(gè)。
例17 ①將四個(gè)“十”號(hào)，六個(gè)“一”號(hào)排成“一十一一十十一十一一”時(shí)，符號(hào)改變了幾次？
②將八個(gè)“十”號(hào)，六個(gè)“一”號(hào)排成一列時(shí)使符號(hào)改變5次的排法共有多少種？
解：①?gòu)淖笸乙来吸c(diǎn)算，可得符號(hào)共改變了6次。
②通過(guò)對(duì)①的仔細(xì)觀察分析可以發(fā)現(xiàn)：
（a）“十”號(hào)旁邊排上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)將使符號(hào)改變（“一”號(hào)旁邊排上“十”號(hào)也同樣）
（b）兩個(gè)“十”號(hào)之間插入一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，將使符號(hào)改變2次。
（c）最左端那一個(gè)“十”號(hào)的左邊加上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，使符號(hào)改變一次（最右端那個(gè)“十”號(hào)的右邊加上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)也同樣）
由上述三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，再考慮到符號(hào)改變5次的要求，我們不妨先讓八個(gè)“十”號(hào)排成一列，留出首尾空位和中間七個(gè)空擋，只要在中間的七個(gè)空擋中取出兩個(gè)，各插入一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，使符號(hào)改變4次；再在首或尾空位中放上留下的一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)使符號(hào)改變1次，那么問(wèn)題的要求就滿足了。
具體計(jì)算過(guò)程從略，符號(hào)改變5次的排法，共有 （種）
減元分析法是用在一時(shí)看不出眉目，或無(wú)從下手的排列組合應(yīng)用題。這時(shí)不妨先減元排出，然后仔細(xì)觀察，分析歸納，找出解題規(guī)律。
既干凈又暖和
不重復(fù)不遺漏
產(chǎn)疤17163675072： 關(guān)于排列組合的問(wèn)題共有9個(gè)球,其中有2個(gè)是紅,2個(gè)是藍(lán),其他的球的顏色各不一樣,也就是說(shuō)共有7種不同顏色的球,現(xiàn)在要從中抽取3個(gè)并將這3個(gè)排列... -
囊謙縣齒槽： ______[答案] 這個(gè)要多重討論;首先 先對(duì)抽出的3個(gè)進(jìn)行顏色討論,分為 2紅或2藍(lán),1紅1藍(lán),1紅0藍(lán)或0紅1藍(lán),0紅0藍(lán).然后再對(duì) 每種情況的 排法進(jìn)行討論.2紅 共有 3*6 =18 1紅1藍(lán) 共有 5*A(3,3)=301紅0藍(lán) 共有 3*A(5,2)=600紅...
產(chǎn)疤17163675072： 幾道排列組合的問(wèn)題!~急!1.一排7個(gè)座位坐4個(gè)人,任意兩個(gè)都不相鄰,則不同坐法有幾種?2.將3個(gè)編號(hào)的球隨機(jī)放入4個(gè)編號(hào)的盒中,對(duì)于每個(gè)盒子來(lái)說(shuō)... -
囊謙縣齒槽： ______[答案] 1 只有 1 3 5 7 能坐人 全排列 答案是4!=24 2 這就是慢慢算了.. 答案依次為 27 27 9 3 24
產(chǎn)疤17163675072： 關(guān)于一個(gè)排列組合的數(shù)學(xué)問(wèn)題舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子作為示范:現(xiàn)有甲乙丙3個(gè)人,從其中任選2個(gè)人去參見(jiàn)某項(xiàng)活動(dòng),請(qǐng)問(wèn)甲被選中的概率為多少?我有兩種解題思... -
囊謙縣齒槽： ______[答案] 排列的定義: 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的... 如231與213是兩個(gè)排列,2+3+1的和與2+1+3的和是一個(gè)組合. 現(xiàn)在回答你的問(wèn)題: 上面的解題思路是正確的. 但是如果你下...
產(chǎn)疤17163675072： 排列組合的問(wèn)題 -
囊謙縣齒槽： ______ 一,看問(wèn)題是否和順序有關(guān).有關(guān)就用排列,無(wú)關(guān)就用組合. 排列:比如說(shuō)排隊(duì)問(wèn)題甲乙兩人排隊(duì),先排甲,那么站法是甲乙,先排乙,那么站法乙甲,是兩種不同的排法,和先排還是后排的順序有關(guān),所以是A(2,2)=2種 組合:從甲乙兩個(gè)球中選2個(gè),無(wú)論先取甲,在是先取乙,取到的兩個(gè)球都是甲和乙兩個(gè)球,和先后取的順序無(wú)關(guān),所以是C(2,2)=1種
產(chǎn)疤17163675072： 關(guān)于排列組合的問(wèn)題 對(duì)于一個(gè)四位數(shù),其各位數(shù)字至多有兩個(gè)不相同,試求共有多少個(gè)這樣的四位數(shù)?我的解答時(shí)4位數(shù)字都一樣 有9個(gè)3位一樣 千位不同 有 ... -
囊謙縣齒槽： ______[答案] 4.0 9種3.1 2a9*1C4+1c9*3+9 四個(gè)數(shù)全非零,2a9,再選一個(gè)不同1c4.含一個(gè)零1C9*3.含3零必為X000,9種2.2 2c9*4a4/2/2+1c9*2c4 四個(gè)數(shù)全非零,2c9, 像xxyy,共4A4/2/2.兩個(gè)零,1c9*2c4 共576.覺(jué)得好的頂一下...
產(chǎn)疤17163675072： 排列與組合問(wèn)題我這塊有點(diǎn)不明白排列與組合問(wèn)題,我這塊有點(diǎn)不明白,
囊謙縣齒槽： ______ 排列組合是計(jì)數(shù)問(wèn)題,從解法上看,大致有以下幾種: (1)有附加條件的排列組合問(wèn)題,大多需用分類(lèi)討論的方法; (2)排列與組合的混合型問(wèn)題,需分步驟,要用乘...
產(chǎn)疤17163675072： 討論關(guān)于排列組合的問(wèn)題,一隊(duì)20個(gè)人,分別記做A1 ,A2 ,...A20 .讓隊(duì)員按照序列穿上不同顏色的衣服,A1~A5,A6~A10,A11~A15,A16~A20,分別穿上4種顏... -
囊謙縣齒槽： ______[答案] 最簡(jiǎn)單的方法就是先安排任意一個(gè)在第一位然后一次選擇下去
產(chǎn)疤17163675072： 排列組合問(wèn)題.身高全不等的5名同學(xué)排成一排,要求中間最高,從中間
囊謙縣齒槽： ______ 最中間的那個(gè)人一定是最高的1號(hào),選法是1.再?gòu)氖Ｏ碌?人中任選2人排在左邊,選出來(lái)以后按照需要的順序排法一對(duì),選法有C(4,2).剩下的2人當(dāng)然排在右邊. 故排法有1*C(4,2)*C(2,2)=6種.
產(chǎn)疤17163675072： 幾個(gè)排列組合的問(wèn)題 1、三個(gè)人坐在排椅上,若該排椅共有8個(gè)座位,且要求三個(gè)人中每個(gè)人的左右兩邊都要有空位,則不同的坐法有()種 24 種. 2、甲、... -
囊謙縣齒槽： ______[選項(xiàng)] A. 6種 B. 12種 C. 24種 D. 30種 請(qǐng)分析一下. 3、分別從4所學(xué)校中選拔6名報(bào)告員,每校至少1人,有多少種不同的選法.
產(chǎn)疤17163675072： 有關(guān)排列組合問(wèn)題
囊謙縣齒槽： ______ 先不考慮9的情況: 因?yàn)槭侨粩?shù),則第一位不能為0,所以取法是在除0外的8個(gè)數(shù)中取一個(gè),再?gòu)陌?的剩下的8個(gè)數(shù)中取2個(gè)并排列,所以有C81A82=448 考慮9的情況: 9為第一位,則從剩下的除6外的8個(gè)數(shù)中取2個(gè)并排列,所以有A82=56 9為第二位(第三位),從除0,6外的7個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)作為第一位,再?gòu)陌?剩下的7個(gè)數(shù)中取一個(gè),所以有2*9C71C71=882 所以可以組成448+56+882=1386個(gè)三位數(shù)
一、基本題型及其解法
（1）純排列問(wèn)題
“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列”是最簡(jiǎn)單的純排列問(wèn)題，但是它有三種題型變化，下面分別用例題予以說(shuō)明。
例1 現(xiàn)有九位同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
①如果其中甲、乙兩位同學(xué)必須排在兩端，那么一共有多少種排法？
②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某些元素‘在’或‘不在’某幾個(gè)位置上”的一種排列題型。“在”，一般用直接法解，即先取出這幾個(gè)元素并讓它們落在指定的位置上，然后再考慮其它元素；“不在”，一般用間接法，轉(zhuǎn)化為“在”來(lái)求解。
例2 現(xiàn)有五位男同學(xué)，四位女同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
① 如果男女同學(xué)各自排在一起，那么一共有多少種排法？
② 如果男女同學(xué)相間地排，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某些元素‘相鄰’或‘不相鄰’的一種排列題型。“相鄰”則將這要求“相鄰”的m個(gè)元素捆綁起來(lái)看成一個(gè)整體（一個(gè)大元素）與另外（n-m）個(gè)元素進(jìn)行全排列，再乘以這m個(gè)元素自身的全排列數(shù)即 種排法；“不相鄰”，一般用插空法來(lái)解，即先將另外p(P≥m-1)個(gè)元素排好，留出（p+1）個(gè)空擋，再讓這不能相鄰的m個(gè)元素插進(jìn)去，共有排法 （種）。
例3 現(xiàn)有五位男同學(xué)，四位女同學(xué)排成一行，試問(wèn)：
① 如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少種排法？
② 如果男同學(xué)次序一定，女同學(xué)次序也一定，那么一共有多少種排法？
本例是屬于“某幾個(gè)元素“次序一定”的一種排列題型。它的解法是先將n(n>m)個(gè)元素全排列有 種，就其中m個(gè)元素而言有 種排法，但由于要求這m個(gè)元素次序一定，因此只能取 中的某一種排法，故共有排法 / 種，即順序固定問(wèn)題用除法。
（2）純組合問(wèn)題
“從幾個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合”是最簡(jiǎn)單的純組合問(wèn)題，但是它有兩種題型變化，下面分別用例題予以說(shuō)明。
例4 現(xiàn)從五位男同學(xué)，四位女同學(xué)中選出5名代表，試問(wèn)其中：
① 男甲、女A都必須當(dāng)選，有幾種選法？
② 男甲必須當(dāng)選，女A不能當(dāng)選，有幾種選法？
本例是屬于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一種組合題型。“含”則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”則先將這些元素剔除，再?gòu)牧粝碌脑刂腥ト ?
例5 現(xiàn)從五位男同學(xué)，四位女同學(xué)中選出5名代表，試問(wèn)其中：
① 至少有一個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？
② 最多有三個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？
本例是屬于“‘至少’或‘最多’含有幾個(gè)元素”的一種組合題型。用分類(lèi)法或排雜法解都可以，但是解這類(lèi)題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，要保證分類(lèi)合理，排雜準(zhǔn)確，謹(jǐn)防漏解與重復(fù)。
（3）排列組合混合題
這類(lèi)問(wèn)題有兩群之間的排列題和分配（分組）問(wèn)題兩類(lèi)題型。
例6 ①用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，由兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字和三個(gè)奇數(shù)數(shù)字組成的有多少個(gè)？
②從n個(gè)不同元素里取出的m個(gè)元素的排列中，試問(wèn)其中含有a1,a2,……，ap(n>m>p)這p個(gè)元素且這p個(gè)元素排在一起的排列有多少種？
本例是典型的“兩群之間的排列問(wèn)題”，它的解法是根據(jù)公式 得來(lái)的，即從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列，可以分成兩步來(lái)完成：取出( )—排好（ ）。
例7 、6本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有幾種分法？
① 平均分給甲、乙、丙三人。
② 甲得一本，乙得兩本，丙得三本。
③ 一人得一本，一人得兩本，一人得三本。
④ 平均分成三堆（組）。
⑤ 一堆一本，一堆兩本，一堆三本。
本例的①、②、③是屬于“分配問(wèn)題”，它有兩種情況：一種是平均分配或者按某一種確定的分配方案分配（如②），那么只要一個(gè)一個(gè)地按要求去取，然后再將這些組合數(shù)乘起來(lái)即得；另一種是分配方案不確定的（如③），那么還要乘以分配人數(shù)的全排列數(shù)。
本例的④、⑤是屬于“分堆（組）”問(wèn)題，它有兩種情況：一是平均分組，如有kn不同元素平均分成k組，那么分法有 種。另一種不是平均分組，那么其解法與分配問(wèn)題的前一種情況相同。
二、解排列組合應(yīng)用問(wèn)題的一些分析方法
對(duì)于解比較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，往往比較困難，會(huì)有無(wú)從下手的感覺(jué)。為了提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，這里根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)，介紹五種分析方法。
（一）特征分析法
例8 從1，2，3，……，100這一百個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，其中積能被5整除的有多少個(gè)？能被5整除但不能被5n(n≥2,n∈N)整除的有多少個(gè)？
解：兩數(shù)中只要有一個(gè)是5的倍數(shù)，那么它們的積就能被5整除，而1到100中共有20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù)，故共有取法 種；能被5整除而不能被5n(n≥2,n∈N)整除，那就是說(shuō)這20個(gè)5的倍數(shù)的數(shù)中，不能取兩個(gè)相乘；同時(shí)還不能取這20個(gè)數(shù)中本已含有52因數(shù)的數(shù)25，50，75，100，因此符合題意的積共有 (種）
例9 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，試問(wèn)其中能被3整除的有多少？
分析：能被3整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，由1+2+3+4+5+6+7=28，又組成的是五位數(shù)，因此應(yīng)從28中減去兩個(gè)數(shù)字使其差為3的倍數(shù)，再由大到小依次考慮，便得到下面四種情況：
解①28-1-2=24，由2，4，5，6，7五個(gè)數(shù)字，可組成 個(gè)五位數(shù)。
②28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21，一共可組成 個(gè)五位數(shù)。
③28-3-7=18或28-4-6=18可組成 個(gè)五位數(shù)。
④28-6-7=15可組成 個(gè)五位數(shù)。
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：可得能被3整除的五位數(shù)共有 =840（個(gè)）。
上面兩例是抓住了能被5整除與能被3整除的數(shù)的特征，再進(jìn)行有條理有次序（特別是例2）的分析而得出解答的。因此在解應(yīng)用題時(shí)，必須十分注意題意的內(nèi)含特征以及解題的條理性。
（二）排陣分析法
例10 從1到9這九個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，問(wèn)一共可以得到多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？
分析：由于底數(shù)不能取1，因此底數(shù)可以從2到9這八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)；真數(shù)可以從留下的八個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，故有 個(gè)對(duì)數(shù)。但本題是問(wèn)“有幾個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？”，顯然 是相同的，只能算一個(gè)。那么另外有沒(méi)有相同的對(duì)數(shù)值呢？那就要費(fèi)一番周折了，而且一個(gè)一個(gè)地找很容易造成遺漏，再考慮到底數(shù)取法只有八種情況，當(dāng)取某一值為底時(shí)，真數(shù)依次排上的次序性很強(qiáng)（如 等等），而且在排時(shí)若遇相同的值立即舍去，“重復(fù)取”的情況也就避免了，因此還是直接排出要方便些，可靠些。分別以2，3，4，……，9為底直接排出，可得共有53個(gè)不同的對(duì)數(shù)值
例11 現(xiàn)在將準(zhǔn)備從七個(gè)學(xué)校選出12人組成區(qū)籃球隊(duì)，要求每校至少有一人參加，向各校分配到的隊(duì)員人數(shù)，可能有幾種不同情況？
解：由于每校至少要有一人參加，因此這一個(gè)名額不妨先分配下去，還余下五個(gè)名額，因?yàn)闆](méi)有其他的分配要求，因此這5個(gè)名額分配時(shí)，可能有如下六種情況。
（注：記號(hào)“11111”表示將5個(gè)名額分成5個(gè)“1”，分配到七個(gè)學(xué)校中去，每校1人，其余類(lèi)推）
①分成“11111”有 種分配法。
②分成“2111”有 種分配法。
③分成“221”有 種分配法。
④分成“311”有 種分配法。
⑤分成“23”有 種分配法。
⑥分成“41”有 種分配法。
⑦分成“5”有 種分配法。
因此共有 種分配法。
通過(guò)上述兩例的分析，可以看出“排陣分析法”主要有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①解題方法直觀，易被接受；②條理性強(qiáng)，便于思考分析；③取舍明確，可避免漏解或重復(fù)。
（三）元素、位置分析法
例12 3封不同的信，投入4個(gè)不同的信箱，共有多少種不同的投信方法？
解法一：元素分析法（以信為主）
第一封信有四種不同的投法，不論把它投入哪一個(gè)信箱里，第二封信還有四種投法，同理第三封信也有四種投法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，故共有投法4x4x4=64（種）
解法二：位置分析法（以信箱為主）
四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到3封信的有 ；四個(gè)信箱中某一個(gè)信箱收到2封信的有 ；四個(gè)信箱中某三個(gè)信箱各收到1封信的，收信方法有 。因此收信方法 （種）
元素分析法（即以元素為主考慮各種可能性）與位置分析法（即以位置為主考慮多種可能性）是解排列組合應(yīng)用題的兩種常用方法，它的優(yōu)點(diǎn)是研究對(duì)象清楚單一易于分析各種情況。
例13 三位教師分配到六個(gè)班里，各人數(shù)不同的班級(jí)，若每人都教兩個(gè)班，有幾種分配方法？
解法一（以教師為主）
這是一個(gè)分配問(wèn)題，第一位教師可從六個(gè)班中選二個(gè)有 ，第二位教師可從四個(gè)班中選二個(gè)有 ，第三位教師教余下的二班有 ，因此共有 種不同的分法。
解法二（以班級(jí)為主）
將六個(gè)班分成三組，每組兩個(gè)班，共有 分組法，再將每種方法中的三組分配給三位教師有 種，因此共有 種方法。
（四）圖形分析法
例14 用0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，試問(wèn)能組成多少個(gè)大于401325的自然數(shù)？
解：大于401325的數(shù)，必須是六位數(shù)；當(dāng)最高位數(shù)字為5時(shí)，形如5xxxxx的數(shù)一定大于401325有 個(gè)；再看最高位是4時(shí)，形如下面的數(shù)也必須大于401325：
①41xxxx；42xxxx；43xxxx；45xxxx。共有 個(gè)。
②402xxx；403xxx;405xxx共有 個(gè)。
③4015xx共有 個(gè)。
④401352共有1個(gè)。
綜上得大于401325的自然數(shù)共有 個(gè)。
例15 一直線和圓相離，這條直線上有六個(gè)點(diǎn)，圓上有四個(gè)點(diǎn)，通過(guò)其中任意兩點(diǎn)作直線，試問(wèn)：
①最多可作幾條直線？②最少可作幾條直線？
解：①顯然除了A1、A2、A3,……A6 這六點(diǎn)共線外，其余無(wú)三點(diǎn)共線時(shí)，那以任取其中兩點(diǎn)作直線必最多，共有 （條）
如圖，由于B1,B2,B3,B4 在圓上，故四點(diǎn)
中任意三點(diǎn)均不共線，因此當(dāng)過(guò)B1,B2,B3,B4
中任意兩點(diǎn)的直線（共有 條）正好分
別通過(guò)A1、A2、A3,……A6 這六個(gè)點(diǎn)時(shí)，則直線條數(shù)最少，共有 （條）。（如圖B2 B4 A1 三點(diǎn)，原來(lái)過(guò)其中任意兩點(diǎn)可作三條直線，而現(xiàn)在只能作一條，減少了兩條）
從上兩例可以看出，有時(shí)結(jié)合圖形來(lái)分析比較直觀，易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
（五）減元分析法
例16 我們把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的，否則就是不同的，用三個(gè)“1”和六個(gè)“0”作三階行列式，試問(wèn)能作成多少個(gè)不同的行列式？
分析：本題情況比較復(fù)雜，因此不妨先減元來(lái)分析一下，如兩個(gè)“1”與兩個(gè)“0”，作成二階行列式有：
在排的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)“1”排好位置以后，那兩個(gè)“0”只能進(jìn)入留下的空擋，因此實(shí)際上只要排好兩個(gè)“1”的位置即可，而四個(gè)空擋中排兩個(gè)“1”的方法共有 種，這與實(shí)際排出也是一致的，由此減元分析可得原題三階行列式的個(gè)數(shù)是 個(gè)。
例17 ①將四個(gè)“十”號(hào)，六個(gè)“一”號(hào)排成“一十一一十十一十一一”時(shí)，符號(hào)改變了幾次？
②將八個(gè)“十”號(hào)，六個(gè)“一”號(hào)排成一列時(shí)使符號(hào)改變5次的排法共有多少種？
解：①?gòu)淖笸乙来吸c(diǎn)算，可得符號(hào)共改變了6次。
②通過(guò)對(duì)①的仔細(xì)觀察分析可以發(fā)現(xiàn)：
（a）“十”號(hào)旁邊排上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)將使符號(hào)改變（“一”號(hào)旁邊排上“十”號(hào)也同樣）
（b）兩個(gè)“十”號(hào)之間插入一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，將使符號(hào)改變2次。
（c）最左端那一個(gè)“十”號(hào)的左邊加上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，使符號(hào)改變一次（最右端那個(gè)“十”號(hào)的右邊加上一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)也同樣）
由上述三點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，再考慮到符號(hào)改變5次的要求，我們不妨先讓八個(gè)“十”號(hào)排成一列，留出首尾空位和中間七個(gè)空擋，只要在中間的七個(gè)空擋中取出兩個(gè)，各插入一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)，使符號(hào)改變4次；再在首或尾空位中放上留下的一個(gè)或幾個(gè)“一”號(hào)使符號(hào)改變1次，那么問(wèn)題的要求就滿足了。
具體計(jì)算過(guò)程從略，符號(hào)改變5次的排法，共有 （種）
減元分析法是用在一時(shí)看不出眉目，或無(wú)從下手的排列組合應(yīng)用題。這時(shí)不妨先減元排出，然后仔細(xì)觀察，分析歸納，找出解題規(guī)律。
既干凈又暖和
不重復(fù)不遺漏
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囊謙縣齒槽： ______ 排列組合是計(jì)數(shù)問(wèn)題,從解法上看,大致有以下幾種: (1)有附加條件的排列組合問(wèn)題,大多需用分類(lèi)討論的方法; (2)排列與組合的混合型問(wèn)題,需分步驟,要用乘...
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囊謙縣齒槽： ______[選項(xiàng)] A. 6種 B. 12種 C. 24種 D. 30種 請(qǐng)分析一下. 3、分別從4所學(xué)校中選拔6名報(bào)告員,每校至少1人,有多少種不同的選法.
囊謙縣齒槽： ______ 先不考慮9的情況: 因?yàn)槭侨粩?shù),則第一位不能為0,所以取法是在除0外的8個(gè)數(shù)中取一個(gè),再?gòu)陌?的剩下的8個(gè)數(shù)中取2個(gè)并排列,所以有C81A82=448 考慮9的情況: 9為第一位,則從剩下的除6外的8個(gè)數(shù)中取2個(gè)并排列,所以有A82=56 9為第二位(第三位),從除0,6外的7個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)作為第一位,再?gòu)陌?剩下的7個(gè)數(shù)中取一個(gè),所以有2*9C71C71=882 所以可以組成448+56+882=1386個(gè)三位數(shù)
