群論和群理論有區(qū)別嗎？群論的主要內(nèi)容是什么？ 群論有什么用
我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個重要分支，它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用，例如在物理中的應(yīng)用，群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ)。本課程的目的是為了使學(xué)生對群論的基本理論有感性的認識和理性的了解。本課程介紹群論的基本理論及某些應(yīng)用。 主要內(nèi)容有：首先介紹群、子群、 群同構(gòu)的概念及有關(guān)性質(zhì)，這是了解群的第一步。然后較為詳細地討論了兩類最常見的群：循環(huán)群與置換群，包括一些例題和練習(xí)，可以熟悉群的運算和性質(zhì)， 加深對群的理解。并且介紹置換群的某些應(yīng)用。
然后對群論中某些重要的概念作專題討論。首先定義并討論群的子集的運算；由群的子集的運算，引出并討論了子群的陪集的概念與性質(zhì)。定義并討論了正規(guī)子群與商群的概念與性質(zhì)。借助于商群的概念證明了群同態(tài)基本定理， 從而對群的同態(tài)象作出了系統(tǒng)的描述。這部分內(nèi)容是群論中最基本的內(nèi)容，是任何一個希望學(xué)習(xí)群論的讀者所必須掌握的。并且給出群的直積的概念，這是研究群的結(jié)構(gòu)不可缺少的工具。
最后是群表示論的基本理論及應(yīng)用，包括矢量空間與函數(shù)空間，矩陣的秩與直積，不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特征標、正規(guī)函數(shù)、基函數(shù)、表示的直積等的概念。
在群的表示理論之后，就是它在量子力學(xué)中的應(yīng)用，例如從群論的角度解決一些量子力學(xué)問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。從而達到了解群論的基礎(chǔ)知識以及有限群的表示理論，為群論在物理學(xué)中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)的目的。
Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups.
We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students.
An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group modules. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); modular representation theory studies the case in which the modules are vector spaces over fields with positive characteristic.
At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.
方程論是古典代數(shù)的中心課題。直到19世紀中葉，代數(shù)仍是一門以方程式論為中心的數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)方程的求解問題依然是代數(shù)的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數(shù)可解），就是這個方程的解由該方程的系數(shù)經(jīng)過有限次加減乘除以及開整數(shù)次方等運算表示出來的。群論也就是起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果。本文正是從方程論的發(fā)展入手，闡述伽羅瓦群論的產(chǎn)生過程，及其伽羅瓦理論的實質(zhì)。
一. 伽羅瓦群論產(chǎn)生的歷史背景
從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在古巴比倫數(shù)學(xué)和印度數(shù)學(xué)的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當(dāng)于+，，這是對系數(shù)函數(shù)求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數(shù)字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復(fù)興的極盛期（即16世紀初）才由意大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，顯然它是由系數(shù)的函數(shù)開三次方所得。同一時期，意大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數(shù)的函數(shù)開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以后的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結(jié)果。1770年前后，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日轉(zhuǎn)變代數(shù)的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在，并利用拉格朗日預(yù)解式方法，即利用1的任意n次單位根（n=1）引進了預(yù)解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數(shù)方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數(shù)解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數(shù)方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預(yù)解式不可能是四次以下的，從而轉(zhuǎn)證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數(shù)學(xué)家高斯開辟了一個新方法，在證明代數(shù)基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨后，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。
隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質(zhì)，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個根Q1(x)與Q2(x)滿足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2為有理函數(shù)。現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經(jīng)涉及到了群的一些思想和特殊結(jié)果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數(shù)Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當(dāng)用另一個根xI代替x1時，其中1〈I≤n ，那么Qj(xI)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應(yīng)說根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)來證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業(yè)。
二.伽羅瓦創(chuàng)建群理論的工作
伽羅瓦仔細研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項式方程的可解性理論，他并不急于尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。
1.伽羅瓦群論的創(chuàng)建
伽羅瓦在證明不存在一個五次或高于五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當(dāng)他系統(tǒng)地研究了方程根的排列置換性質(zhì)后，提出了一些確定的準則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導(dǎo)致他去考慮一種稱之為“群”的元素集合的抽象代數(shù)理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了“群”這一術(shù)語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質(zhì)描述的系統(tǒng)。他從此開始把方程論問題轉(zhuǎn)化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關(guān)群論的新概念，從而也產(chǎn)生了他自己的伽羅瓦群論，因此后人都稱他為群論的創(chuàng)始人。
對有理系數(shù)的n次方程
x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） ，
假設(shè)它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質(zhì)中有所反映，于是伽羅瓦把代數(shù)方程可解性問題轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的置換群及其子群性質(zhì)的分析問題。現(xiàn)在把與方程聯(lián)系起的置換群（它表現(xiàn)了方程的對稱性質(zhì)）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數(shù)域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對于每一個其函數(shù)值為有理數(shù)的關(guān)于根的多項式函數(shù)都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對于任一個取有理數(shù)值的關(guān)于根的多項式函數(shù)，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數(shù)的值不變。
2.伽羅瓦群論的實質(zhì)
我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領(lǐng)悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構(gòu)造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設(shè)它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構(gòu)造了類似于拉格朗日預(yù)解式的關(guān)于x1,x2,…,xn的一次對稱多項式
△1=A1x1+A2x2+…+Anxn，
其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數(shù)且使得n!個形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構(gòu)造了一個方程
=0 (2) ，
該方程的系數(shù)必定為有理數(shù)（可由對稱多項式定理證明），并且能夠分解為有理數(shù)域上的不可約多項式之積。設(shè)F(x)=是 的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個△I中的這m個排列的全體。同時他又由韋達定理
知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現(xiàn)了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的并不在于計算伽羅瓦群，而是證明：恒有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個元素集合構(gòu)成的，S(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現(xiàn)在把S(n)中的元素個數(shù)稱為階，S(n)的階是n!。
伽羅瓦找出方程系數(shù)域中的伽羅瓦群G后，開始尋找它的最大子群H1，找到H1后用一套僅含有理運算的手續(xù)（即尋找預(yù)解式）來找到根的一個函數(shù)。的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群I）。在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時，系數(shù)域R也隨之一步步擴大為R1,R2,…,Rm，每個RI對應(yīng)于群HI。當(dāng)Hm=I時，Rm就是該方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。例如，四次方程
x4+px2+q=0 (3) ，
p與q獨立，系數(shù)域R添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群G，G是S(4)的一個8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中
E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=， E6=， E7=。
要把R擴充到R1，需在R中構(gòu)造一個預(yù)解式，則預(yù)解式的根，添加到R中得到一個新域R1，于是可證明原方程（3）關(guān)于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構(gòu)造第二個預(yù)解式，解出根 ，于是在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此時，第二個預(yù)解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2。第三步，構(gòu)造第三個預(yù)解式，得它的根 ，把添加到R2中得擴域R3，此時方程（3）在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=I，則R3是方程（3）的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數(shù)域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
現(xiàn)仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實質(zhì)上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那么對于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個素數(shù)次p的二項方程xp=A。由于高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。于是，伽羅瓦引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個重要概念“正規(guī)子群”。
他是這樣給正規(guī)子群下定義的：設(shè)H是G的一個子群，如果對G中的每個g都有g(shù)H=Hg，則稱H為G的一個正規(guī)子群，其中g(shù)H表示先實行置換g，然后再應(yīng)用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入后，伽羅瓦證明了當(dāng)作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預(yù)解式是一個二項方程xp=A (p為素數(shù))時，則H1是G的一個正規(guī)子群。反之，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素數(shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規(guī)子群：如果一個有限群有正規(guī)子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。一個極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規(guī)子群序列。他還提出把一個群G生成的一個極大正規(guī)子群序列標記為G、H、I、J…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。對上面的四次方程(3)，H1是G的極大正規(guī)子群， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群，即對方程(3)的群G 生成了一個極大正規(guī)子群的序列G、H1、H2、H3。
隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)對于一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最后，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念“可解群”。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)。
根據(jù)伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)時，方程可用根式求解。若不全為質(zhì)數(shù)，則不可用根式求解。由于引入了可解群，則可說成當(dāng)且僅當(dāng)一個方程系數(shù)域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為質(zhì)數(shù)，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時，有兩個二次預(yù)解式t2=A和t3=B，合成序列指數(shù)為2與3，它們是質(zhì)數(shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (實際A(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個子群。如果一個置換可表為偶數(shù)個這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個數(shù)為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n ≥5時，n！/2不是質(zhì)數(shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。
順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發(fā)點與伽羅瓦不同，但他們的結(jié)果都是相同的，都為了證其為可解群，并且伽羅瓦還把阿貝爾方程進行了推廣，構(gòu)造了一種現(xiàn)在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個根都是其中兩個根的帶有系數(shù)域中系數(shù)的有理函數(shù)。
四.伽羅瓦群論的歷史貢獻
伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程論，但他并不局限于此，而是把群論進行了推廣，作用于其他研究領(lǐng)域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當(dāng)時的數(shù)學(xué)大師都不能理解他的數(shù)學(xué)思想和他的工作的實質(zhì)，以至他的論文得不到發(fā)表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終于為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時這種理論對于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。
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一般說來，群指的是對于某一種運算*，滿足以下四個條件的集合G：
（1）封閉性
若a,b∈G,則存在唯一確定的c∈G,使得a*b=c;
（2）結(jié)合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）單位元存在
存在e∈G,對任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱幺元;
（4）逆元存在
任意a∈G,存在唯一確定的b∈G, a*b=b*a=e（單位元），則稱a與b互為逆元素，簡稱逆元，記作a^(-1)=b.
通常稱G上的二元運算*為“乘法”，稱a*b為a與b的積，并簡寫為ab.
若群G中元素個數(shù)是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數(shù)稱為有限群的階。
定義運算*
對于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，簡寫為gH；H*g={hg|h∈H}，簡寫為Hg.
A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，簡寫為AB.
群的替換定理
G對*是群，則對于任一g∈G，gG=Gg=G.
定義記法
G對*是群，集合H包含于G，記H^(-1)={h^(-1)|h∈H}
子群的定義
如果G對于運算*為一個群，H包含于G并且H對*構(gòu)成一個群，那么稱H為G的子群。
這條定理可以判定G的子集是否為一個子群：
HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群
歷史
群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（ Galois，1811~1832年）的發(fā)明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也對群論作出了發(fā)展。
最先產(chǎn)生的是n個文字的一些置換所構(gòu)成的置換群，它是在研究當(dāng)時代數(shù)學(xué)的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時,經(jīng)由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發(fā)展，并有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數(shù)域上一元n次多項式方程,它的根之間的某些置換所構(gòu)成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由于一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當(dāng)n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構(gòu)、正規(guī)子群等重要概念。應(yīng)當(dāng)指出，A.-L.柯西早在1815年就發(fā)表了有關(guān)置換群的第一篇論文，并在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至于置換群的系統(tǒng)知識和伽羅瓦用于方程理論的研究，由于伽羅瓦的原稿是他在決斗致死前夕趕寫成的，直到后來才在C.若爾當(dāng)?shù)拿爸脫Q和代數(shù)方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發(fā)展。置換群是最終產(chǎn)生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數(shù)論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с為整數(shù)，x、y 取整數(shù)值，且D＝b^2-aс為固定值，對于兩個型的"復(fù)合"乘法,構(gòu)成一個交換群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克羅內(nèi)克于1870年在其代數(shù)數(shù)論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第二個主要來源。
在若爾當(dāng)?shù)膶Ｖ绊懴拢–.）F.克萊因于1872年在其著名的埃爾朗根綱領(lǐng)中指出，幾何的分類可以通過無限連續(xù)變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數(shù)”的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續(xù)群）。在1870年前后，M.S.李開始研究連續(xù)變換群即解析變換李群,用來闡明微分方程的解,并將它們分類。這無限變換群的理論成為導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第三個主要來源。
A.凱萊于1849年、 1854年和 1878年發(fā)表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯于1879年和E.內(nèi)托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數(shù)學(xué)家們終于成功地概括出抽象群論的公理系統(tǒng)，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)和現(xiàn)代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先后兩版,頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論后，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發(fā)展導(dǎo)致20世紀30年代抽象代數(shù)學(xué)的興起。尤其是近30年來,有限群論取得了巨大的進展,1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。
時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓撲學(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓撲群、李群、代數(shù)群、算術(shù)群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)如拓撲、解析流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以至（代數(shù)）編碼學(xué)、自動機理論等方面，都有重要的應(yīng)用。作為推廣“群”的概念的產(chǎn)物：半群和幺半群理論及其近年來對計算機科學(xué)和對算子理論的應(yīng)用，也有很大的發(fā)展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發(fā)展。
今天，群論經(jīng)常應(yīng)用于物理領(lǐng)域。粗略地說，我們經(jīng)常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。基礎(chǔ)物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數(shù)方程，與微分方程的解密切相關(guān)。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉(zhuǎn)群，三維旋轉(zhuǎn)群以及和反應(yīng)四維時空相對應(yīng)的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構(gòu)成了Poincare群。
另外，晶體學(xué)中早期的關(guān)于晶體的各種結(jié)構(gòu)的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結(jié)構(gòu)只有確定的230種。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質(zhì)。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數(shù)學(xué)家眼中，也即指在抽象群論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的是各元素間的運算關(guān)系，也即群的結(jié)構(gòu)，而不管一個群的元素的具體含義是什么。舉一個具體的例子，群論研究表明，任何一個群都同構(gòu)于由群的元素組成的置換群。于是，特別是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。
群的例子
全體整數(shù)的加法構(gòu)成一個群
全體非零實數(shù)的乘法構(gòu)成一個群
對三個互不相同的有序?qū)ο蟮?種不同順序間的改變（包括不變的情況）構(gòu)成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子） ,它由此被標記為S3
杭拜18532546663： 群論在固體物理中的具體應(yīng)用有哪些 -
理塘縣單萬： ______ 物理上一般用群論描述對稱性.保有系統(tǒng)對稱性的操作的集合構(gòu)成群.由群的性質(zhì)能衍生出部分系統(tǒng)的性質(zhì).最簡單的,經(jīng)典力學(xué)里就有的,系統(tǒng)的時間平移不變性帶來能量守恒,空間平移不變性帶來動量守恒等等.深入一點的話,在量子力學(xué)...
杭拜18532546663： 群論對于理論物理重要到什么程度 -
理塘縣單萬： ______ 群論是研究自然科學(xué)一門非常有用的工具,就在數(shù)學(xué)自身的領(lǐng)域來說也是非常強大的.對研究物理的同學(xué)來說,提一些建議: 首先,群論是研究世界的對稱性的,故在物理的相關(guān)領(lǐng)域能夠有很多應(yīng)用.其次,群論自身的發(fā)展基本就是研究群的結(jié)構(gòu)和分類,還有群的作用,如置換群(群在集合上的作用),表示論(群在空間的作用),還有很多其他方面的作用,不細說,物理系的同學(xué)應(yīng)該學(xué)習(xí)群的表示論.最后,鑒于物理和數(shù)學(xué)學(xué)科的些許區(qū)別,應(yīng)該用更多的物理直覺,加上數(shù)學(xué)的一些知識去做一些研究.群論的學(xué)習(xí)是需要花很多時間的,因為群論本身就是個非常龐大的理論體系.
杭拜18532546663： 研究生專業(yè) - 群論及其應(yīng)用 - 研究什么方向的 -
理塘縣單萬： ______ 物理學(xué) 化學(xué) 生物 都和群論有交叉的,例如化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)可用群來刻畫
杭拜18532546663： 莫比烏斯帶有( )個面,是曲的,請你例舉一個與莫比烏斯帶的面的個數(shù)相同的物體 -
理塘縣單萬： ______[答案] 數(shù)學(xué)家們吐露, 麥比烏斯帶只有單面, 如果你要將它分成兩半, 你將會感到十分可笑, 因為分開后還是一條帶. 莫比烏斯... 然而我仍將堅持把我們的討論限于三維之內(nèi),因為我們探究的主要對象分子的形狀總是在三維中觀察到的.因此,我要重申,...
杭拜18532546663： 求包括以下知識大學(xué)數(shù)學(xué)高等教材 -
理塘縣單萬： ______ 關(guān)于群論,那是近世代數(shù)的范疇,可以參看近世代數(shù)那塊的書籍,還可以看看專門的群的理論書籍,像中科大馮克勤, 章璞, 李尚志的《群與代數(shù)表示引論》等 下面的嘛,一般高等代數(shù)書都會有的,比如北大那本《高等代數(shù)》而包括近世代數(shù)內(nèi)容的高等代數(shù)書似乎沒有,至少我沒見過
杭拜18532546663： 群論是誰提出來的! -
理塘縣單萬： ______ 群論是法國傳奇式人物伽羅瓦( Galois,1811~1832年)的發(fā)明.他用該理論,具體來說是伽羅瓦群,解決了五次方程問題.在此之后柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年),阿貝爾(Niels Henrik Abel,1802~1829年)等人也對群論作出了發(fā)展.
杭拜18532546663： 怎樣理解群倫? -
理塘縣單萬： ______ 因為一群體的方式生存可以共享資源 以及保護自己的物種
杭拜18532546663： 群論有什么用 -
理塘縣單萬： ______ 我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個重要分支,它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用,例如在物理中的應(yīng)用,群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ).本課程的目的是為了使學(xué)生對群論的基本理論有感性的認識和理性的了解.本課程介紹群論的基本理...
杭拜18532546663： 數(shù)系的歷史發(fā)展 - 數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類歷史進程有什么關(guān)?數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類歷史進程有什么
理塘縣單萬： ______ 對于你提的問題我很陌生,不過還是在Google的幫助下找到了一些,僅供參考.希望... 現(xiàn)代數(shù)學(xué)雖然呈現(xiàn)出多姿多彩的局面,但是它的主要特點可以概括如下:(1)數(shù)學(xué)...
然后對群論中某些重要的概念作專題討論。首先定義并討論群的子集的運算；由群的子集的運算，引出并討論了子群的陪集的概念與性質(zhì)。定義并討論了正規(guī)子群與商群的概念與性質(zhì)。借助于商群的概念證明了群同態(tài)基本定理， 從而對群的同態(tài)象作出了系統(tǒng)的描述。這部分內(nèi)容是群論中最基本的內(nèi)容，是任何一個希望學(xué)習(xí)群論的讀者所必須掌握的。并且給出群的直積的概念，這是研究群的結(jié)構(gòu)不可缺少的工具。
最后是群表示論的基本理論及應(yīng)用，包括矢量空間與函數(shù)空間，矩陣的秩與直積，不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特征標、正規(guī)函數(shù)、基函數(shù)、表示的直積等的概念。
在群的表示理論之后，就是它在量子力學(xué)中的應(yīng)用，例如從群論的角度解決一些量子力學(xué)問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。從而達到了解群論的基礎(chǔ)知識以及有限群的表示理論，為群論在物理學(xué)中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)的目的。
Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups.
We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students.
An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group modules. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); modular representation theory studies the case in which the modules are vector spaces over fields with positive characteristic.
At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.
方程論是古典代數(shù)的中心課題。直到19世紀中葉，代數(shù)仍是一門以方程式論為中心的數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)方程的求解問題依然是代數(shù)的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數(shù)可解），就是這個方程的解由該方程的系數(shù)經(jīng)過有限次加減乘除以及開整數(shù)次方等運算表示出來的。群論也就是起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果。本文正是從方程論的發(fā)展入手，闡述伽羅瓦群論的產(chǎn)生過程，及其伽羅瓦理論的實質(zhì)。
一. 伽羅瓦群論產(chǎn)生的歷史背景
從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在古巴比倫數(shù)學(xué)和印度數(shù)學(xué)的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當(dāng)于+，，這是對系數(shù)函數(shù)求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數(shù)字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復(fù)興的極盛期（即16世紀初）才由意大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，顯然它是由系數(shù)的函數(shù)開三次方所得。同一時期，意大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數(shù)的函數(shù)開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以后的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結(jié)果。1770年前后，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日轉(zhuǎn)變代數(shù)的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在，并利用拉格朗日預(yù)解式方法，即利用1的任意n次單位根（n=1）引進了預(yù)解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數(shù)方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數(shù)解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數(shù)方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預(yù)解式不可能是四次以下的，從而轉(zhuǎn)證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數(shù)學(xué)家高斯開辟了一個新方法，在證明代數(shù)基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨后，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。
隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質(zhì)，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個根Q1(x)與Q2(x)滿足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2為有理函數(shù)。現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經(jīng)涉及到了群的一些思想和特殊結(jié)果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數(shù)Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當(dāng)用另一個根xI代替x1時，其中1〈I≤n ，那么Qj(xI)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應(yīng)說根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)來證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業(yè)。
二.伽羅瓦創(chuàng)建群理論的工作
伽羅瓦仔細研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項式方程的可解性理論，他并不急于尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。
1.伽羅瓦群論的創(chuàng)建
伽羅瓦在證明不存在一個五次或高于五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當(dāng)他系統(tǒng)地研究了方程根的排列置換性質(zhì)后，提出了一些確定的準則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導(dǎo)致他去考慮一種稱之為“群”的元素集合的抽象代數(shù)理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了“群”這一術(shù)語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質(zhì)描述的系統(tǒng)。他從此開始把方程論問題轉(zhuǎn)化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關(guān)群論的新概念，從而也產(chǎn)生了他自己的伽羅瓦群論，因此后人都稱他為群論的創(chuàng)始人。
對有理系數(shù)的n次方程
x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） ，
假設(shè)它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質(zhì)中有所反映，于是伽羅瓦把代數(shù)方程可解性問題轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的置換群及其子群性質(zhì)的分析問題。現(xiàn)在把與方程聯(lián)系起的置換群（它表現(xiàn)了方程的對稱性質(zhì)）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數(shù)域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對于每一個其函數(shù)值為有理數(shù)的關(guān)于根的多項式函數(shù)都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對于任一個取有理數(shù)值的關(guān)于根的多項式函數(shù)，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數(shù)的值不變。
2.伽羅瓦群論的實質(zhì)
我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領(lǐng)悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構(gòu)造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設(shè)它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構(gòu)造了類似于拉格朗日預(yù)解式的關(guān)于x1,x2,…,xn的一次對稱多項式
△1=A1x1+A2x2+…+Anxn，
其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數(shù)且使得n!個形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構(gòu)造了一個方程
=0 (2) ，
該方程的系數(shù)必定為有理數(shù)（可由對稱多項式定理證明），并且能夠分解為有理數(shù)域上的不可約多項式之積。設(shè)F(x)=是 的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個△I中的這m個排列的全體。同時他又由韋達定理
知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現(xiàn)了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的并不在于計算伽羅瓦群，而是證明：恒有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個元素集合構(gòu)成的，S(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現(xiàn)在把S(n)中的元素個數(shù)稱為階，S(n)的階是n!。
伽羅瓦找出方程系數(shù)域中的伽羅瓦群G后，開始尋找它的最大子群H1，找到H1后用一套僅含有理運算的手續(xù)（即尋找預(yù)解式）來找到根的一個函數(shù)。的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群I）。在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時，系數(shù)域R也隨之一步步擴大為R1,R2,…,Rm，每個RI對應(yīng)于群HI。當(dāng)Hm=I時，Rm就是該方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。例如，四次方程
x4+px2+q=0 (3) ，
p與q獨立，系數(shù)域R添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群G，G是S(4)的一個8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中
E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=， E6=， E7=。
要把R擴充到R1，需在R中構(gòu)造一個預(yù)解式，則預(yù)解式的根，添加到R中得到一個新域R1，于是可證明原方程（3）關(guān)于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構(gòu)造第二個預(yù)解式，解出根 ，于是在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此時，第二個預(yù)解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2。第三步，構(gòu)造第三個預(yù)解式，得它的根 ，把添加到R2中得擴域R3，此時方程（3）在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=I，則R3是方程（3）的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數(shù)域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
現(xiàn)仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實質(zhì)上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那么對于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個素數(shù)次p的二項方程xp=A。由于高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。于是，伽羅瓦引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個重要概念“正規(guī)子群”。
他是這樣給正規(guī)子群下定義的：設(shè)H是G的一個子群，如果對G中的每個g都有g(shù)H=Hg，則稱H為G的一個正規(guī)子群，其中g(shù)H表示先實行置換g，然后再應(yīng)用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入后，伽羅瓦證明了當(dāng)作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預(yù)解式是一個二項方程xp=A (p為素數(shù))時，則H1是G的一個正規(guī)子群。反之，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素數(shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規(guī)子群：如果一個有限群有正規(guī)子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。一個極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規(guī)子群序列。他還提出把一個群G生成的一個極大正規(guī)子群序列標記為G、H、I、J…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。對上面的四次方程(3)，H1是G的極大正規(guī)子群， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群，即對方程(3)的群G 生成了一個極大正規(guī)子群的序列G、H1、H2、H3。
隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)對于一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最后，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念“可解群”。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)。
根據(jù)伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)時，方程可用根式求解。若不全為質(zhì)數(shù)，則不可用根式求解。由于引入了可解群，則可說成當(dāng)且僅當(dāng)一個方程系數(shù)域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為質(zhì)數(shù)，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時，有兩個二次預(yù)解式t2=A和t3=B，合成序列指數(shù)為2與3，它們是質(zhì)數(shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (實際A(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個子群。如果一個置換可表為偶數(shù)個這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個數(shù)為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n ≥5時，n！/2不是質(zhì)數(shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。
順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發(fā)點與伽羅瓦不同，但他們的結(jié)果都是相同的，都為了證其為可解群，并且伽羅瓦還把阿貝爾方程進行了推廣，構(gòu)造了一種現(xiàn)在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個根都是其中兩個根的帶有系數(shù)域中系數(shù)的有理函數(shù)。
四.伽羅瓦群論的歷史貢獻
伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程論，但他并不局限于此，而是把群論進行了推廣，作用于其他研究領(lǐng)域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當(dāng)時的數(shù)學(xué)大師都不能理解他的數(shù)學(xué)思想和他的工作的實質(zhì)，以至他的論文得不到發(fā)表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終于為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時這種理論對于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。
參考文獻：
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一般說來，群指的是對于某一種運算*，滿足以下四個條件的集合G：
（1）封閉性
若a,b∈G,則存在唯一確定的c∈G,使得a*b=c;
（2）結(jié)合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）單位元存在
存在e∈G,對任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱幺元;
（4）逆元存在
任意a∈G,存在唯一確定的b∈G, a*b=b*a=e（單位元），則稱a與b互為逆元素，簡稱逆元，記作a^(-1)=b.
通常稱G上的二元運算*為“乘法”，稱a*b為a與b的積，并簡寫為ab.
若群G中元素個數(shù)是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數(shù)稱為有限群的階。
定義運算*
對于g∈G，H包含于G，g*H={gh|h∈H}，簡寫為gH；H*g={hg|h∈H}，簡寫為Hg.
A，B包含于G，A*B={ab|a∈A,b∈B}，簡寫為AB.
群的替換定理
G對*是群，則對于任一g∈G，gG=Gg=G.
定義記法
G對*是群，集合H包含于G，記H^(-1)={h^(-1)|h∈H}
子群的定義
如果G對于運算*為一個群，H包含于G并且H對*構(gòu)成一個群，那么稱H為G的子群。
這條定理可以判定G的子集是否為一個子群：
HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群
歷史
群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（ Galois，1811~1832年）的發(fā)明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之后柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也對群論作出了發(fā)展。
最先產(chǎn)生的是n個文字的一些置換所構(gòu)成的置換群，它是在研究當(dāng)時代數(shù)學(xué)的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時,經(jīng)由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發(fā)展，并有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數(shù)域上一元n次多項式方程,它的根之間的某些置換所構(gòu)成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”（見有限群）。由于一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當(dāng)n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構(gòu)、正規(guī)子群等重要概念。應(yīng)當(dāng)指出，A.-L.柯西早在1815年就發(fā)表了有關(guān)置換群的第一篇論文，并在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至于置換群的系統(tǒng)知識和伽羅瓦用于方程理論的研究，由于伽羅瓦的原稿是他在決斗致死前夕趕寫成的，直到后來才在C.若爾當(dāng)?shù)拿爸脫Q和代數(shù)方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發(fā)展。置換群是最終產(chǎn)生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數(shù)論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類,即f=ax^2+2bxy+cy^2,其中a、b、с為整數(shù)，x、y 取整數(shù)值，且D＝b^2-aс為固定值，對于兩個型的"復(fù)合"乘法,構(gòu)成一個交換群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克羅內(nèi)克于1870年在其代數(shù)數(shù)論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第二個主要來源。
在若爾當(dāng)?shù)膶Ｖ绊懴拢–.）F.克萊因于1872年在其著名的埃爾朗根綱領(lǐng)中指出，幾何的分類可以通過無限連續(xù)變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數(shù)”的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續(xù)群）。在1870年前后，M.S.李開始研究連續(xù)變換群即解析變換李群,用來闡明微分方程的解,并將它們分類。這無限變換群的理論成為導(dǎo)致抽象群論產(chǎn)生的第三個主要來源。
A.凱萊于1849年、 1854年和 1878年發(fā)表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯于1879年和E.內(nèi)托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數(shù)學(xué)家們終于成功地概括出抽象群論的公理系統(tǒng)，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)和現(xiàn)代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限群論”先后兩版,頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論后，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發(fā)展導(dǎo)致20世紀30年代抽象代數(shù)學(xué)的興起。尤其是近30年來,有限群論取得了巨大的進展,1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。
時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學(xué)及其許多應(yīng)用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學(xué)、代數(shù)拓撲學(xué)、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學(xué)分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學(xué)科如拓撲群、李群、代數(shù)群、算術(shù)群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)如拓撲、解析流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學(xué)、理論物理、量子化學(xué)以至（代數(shù)）編碼學(xué)、自動機理論等方面，都有重要的應(yīng)用。作為推廣“群”的概念的產(chǎn)物：半群和幺半群理論及其近年來對計算機科學(xué)和對算子理論的應(yīng)用，也有很大的發(fā)展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發(fā)展。
今天，群論經(jīng)常應(yīng)用于物理領(lǐng)域。粗略地說，我們經(jīng)常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。基礎(chǔ)物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數(shù)方程，與微分方程的解密切相關(guān)。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉(zhuǎn)群，三維旋轉(zhuǎn)群以及和反應(yīng)四維時空相對應(yīng)的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構(gòu)成了Poincare群。
另外，晶體學(xué)中早期的關(guān)于晶體的各種結(jié)構(gòu)的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結(jié)構(gòu)只有確定的230種。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質(zhì)。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數(shù)學(xué)家眼中，也即指在抽象群論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的是各元素間的運算關(guān)系，也即群的結(jié)構(gòu)，而不管一個群的元素的具體含義是什么。舉一個具體的例子，群論研究表明，任何一個群都同構(gòu)于由群的元素組成的置換群。于是，特別是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。
群的例子
全體整數(shù)的加法構(gòu)成一個群
全體非零實數(shù)的乘法構(gòu)成一個群
對三個互不相同的有序?qū)ο蟮?種不同順序間的改變（包括不變的情況）構(gòu)成一個六階的群（這是一個有限的置換群的例子） ,它由此被標記為S3
群論和群理論有區(qū)別嗎?群論的主要內(nèi)容是什么?
這部分內(nèi)容是群論中最基本的內(nèi)容,是任何一個希望學(xué)習(xí)群論的讀者所必須掌握的。并且給出群的直積的概念,這是研究群的結(jié)構(gòu)不可缺少的工具。 最后是群表示論的基本理論及應(yīng)用,包括矢量空間與函數(shù)空間,矩陣的秩與直積,不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特征標、正規(guī)函數(shù)、基函數(shù)、表示的直積等的概念。
如何通俗的解釋什么是群論
群論是一門專門研究群的數(shù)學(xué)理論，它屬于數(shù)學(xué)的一個分支，主要探討由一些元素及其運算所構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群論的核心關(guān)注點在于研究這些元素之間的運算性質(zhì)和規(guī)律。簡單來說，群論就是研究一些元素之間的組合和變換規(guī)律。這些元素之間通過特定的運算規(guī)則進行結(jié)合，從而形成了一個有序的整體。這種規(guī)律不僅在數(shù)學(xué)...
群論講什么通俗一點
在物理學(xué)中，群論被用于量子力學(xué)和粒子物理學(xué)中，描述粒子的對稱性，從而揭示基本粒子的行為規(guī)律。在計算機科學(xué)中，群論則被用于算法設(shè)計和信息安全領(lǐng)域，為密碼學(xué)提供理論基礎(chǔ)。群論的魅力在于它能夠以抽象的方式，捕捉到復(fù)雜現(xiàn)象背后的對稱性。通過群論，我們不僅能夠深入理解對稱性的本質(zhì)，還能應(yīng)用到實際問題...
群論是哪個專業(yè)
群論是數(shù)學(xué)專業(yè)的一部分。群論是數(shù)學(xué)的一個分支領(lǐng)域，專門研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的對稱性和變換性質(zhì)。以下是關(guān)于群論的 1. 群論的基本定義和研究內(nèi)容：群論主要研究對象是代數(shù)系統(tǒng)中的群，這些群是由滿足一定運算規(guī)則的元素所構(gòu)成的集合。這種運算規(guī)則包括對群元素進行結(jié)合、單位元的存在以及逆元的性質(zhì)等。通過深...
群表示論和群論區(qū)別
群表示論和群論區(qū)別是概念不同。1、群論，是數(shù)學(xué)概念。在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它...
群表示論和群論有什么區(qū)別
群論與群表示論的區(qū)別主要體現(xiàn)在它們的概念與應(yīng)用上。群論是數(shù)學(xué)的一個分支，專注于研究群這種代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中扮演著核心角色，許多其他代數(shù)結(jié)構(gòu)，如環(huán)、域和模，都可以視作在群的基礎(chǔ)上擴展而來。群的概念貫穿于數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域，并且群論的分析方法對抽象代數(shù)的其他分支產(chǎn)生了深遠的影響。群論的...
數(shù)學(xué)群論的概念是什么?
群論的研究方法主要包括分類和構(gòu)造。分類是指根據(jù)群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)將群分為不同的類別，例如有限群、無限循環(huán)群、交換群等。構(gòu)造是指在已知群的基礎(chǔ)上，通過某種方式得到新的群。這種方法在解決一些數(shù)學(xué)問題時非常有用，因為它可以幫助我們找到與已知問題相關(guān)的新信息。總之，數(shù)學(xué)群論是一門研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)...
群數(shù)學(xué)概念
群是一個數(shù)學(xué)概念，群論是研究群的理論。群論由伽羅瓦創(chuàng)建，旨在解決多項式根的求解問題。群論在多個領(lǐng)域都有應(yīng)用。群定義如下：設(shè)G為非空集合，*為其二元運算。若滿足以下條件，則稱G為群：1. 封閉性：G內(nèi)任意元素的結(jié)合（積）為G的元素。2. 結(jié)合律：結(jié)合運算滿足結(jié)合性，即對任意元素a,b,c有 (...
數(shù)學(xué)中的群論難度如何?
群論的難度主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1.抽象性：群論涉及到的概念和定義都是非常抽象的，需要具備較強的抽象思維能力才能夠理解和掌握。2.系統(tǒng)性：群論是一個系統(tǒng)完整的理論體系，其中包含了許多重要的概念、定理和方法。要想真正掌握群論，就需要對這些內(nèi)容進行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和理解。3.技巧性：群論中有許多...
群論-帶你深入了解群論
群論還包括有限群與無限群、交換群與未交換群、阿貝爾群與非阿貝爾群、平凡子群、商群、正規(guī)子群等概念。有限群的元素個數(shù)有限，而無限群的元素個數(shù)無限。阿貝爾群與非阿貝爾群的區(qū)別在于乘法運算是否滿足交換律。正規(guī)子群具有特殊性質(zhì)，能幫助我們構(gòu)造商群。平凡子群作為所有子群的最小單位，對理解群的結(jié)構(gòu)...
相關(guān)評說：
理塘縣單萬： ______ 物理上一般用群論描述對稱性.保有系統(tǒng)對稱性的操作的集合構(gòu)成群.由群的性質(zhì)能衍生出部分系統(tǒng)的性質(zhì).最簡單的,經(jīng)典力學(xué)里就有的,系統(tǒng)的時間平移不變性帶來能量守恒,空間平移不變性帶來動量守恒等等.深入一點的話,在量子力學(xué)...
理塘縣單萬： ______ 群論是研究自然科學(xué)一門非常有用的工具,就在數(shù)學(xué)自身的領(lǐng)域來說也是非常強大的.對研究物理的同學(xué)來說,提一些建議: 首先,群論是研究世界的對稱性的,故在物理的相關(guān)領(lǐng)域能夠有很多應(yīng)用.其次,群論自身的發(fā)展基本就是研究群的結(jié)構(gòu)和分類,還有群的作用,如置換群(群在集合上的作用),表示論(群在空間的作用),還有很多其他方面的作用,不細說,物理系的同學(xué)應(yīng)該學(xué)習(xí)群的表示論.最后,鑒于物理和數(shù)學(xué)學(xué)科的些許區(qū)別,應(yīng)該用更多的物理直覺,加上數(shù)學(xué)的一些知識去做一些研究.群論的學(xué)習(xí)是需要花很多時間的,因為群論本身就是個非常龐大的理論體系.
理塘縣單萬： ______ 物理學(xué) 化學(xué) 生物 都和群論有交叉的,例如化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)可用群來刻畫
理塘縣單萬： ______[答案] 數(shù)學(xué)家們吐露, 麥比烏斯帶只有單面, 如果你要將它分成兩半, 你將會感到十分可笑, 因為分開后還是一條帶. 莫比烏斯... 然而我仍將堅持把我們的討論限于三維之內(nèi),因為我們探究的主要對象分子的形狀總是在三維中觀察到的.因此,我要重申,...
理塘縣單萬： ______ 關(guān)于群論,那是近世代數(shù)的范疇,可以參看近世代數(shù)那塊的書籍,還可以看看專門的群的理論書籍,像中科大馮克勤, 章璞, 李尚志的《群與代數(shù)表示引論》等 下面的嘛,一般高等代數(shù)書都會有的,比如北大那本《高等代數(shù)》而包括近世代數(shù)內(nèi)容的高等代數(shù)書似乎沒有,至少我沒見過
理塘縣單萬： ______ 群論是法國傳奇式人物伽羅瓦( Galois,1811~1832年)的發(fā)明.他用該理論,具體來說是伽羅瓦群,解決了五次方程問題.在此之后柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年),阿貝爾(Niels Henrik Abel,1802~1829年)等人也對群論作出了發(fā)展.
理塘縣單萬： ______ 因為一群體的方式生存可以共享資源 以及保護自己的物種
理塘縣單萬： ______ 我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個重要分支,它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用,例如在物理中的應(yīng)用,群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ).本課程的目的是為了使學(xué)生對群論的基本理論有感性的認識和理性的了解.本課程介紹群論的基本理...
理塘縣單萬： ______ 對于你提的問題我很陌生,不過還是在Google的幫助下找到了一些,僅供參考.希望... 現(xiàn)代數(shù)學(xué)雖然呈現(xiàn)出多姿多彩的局面,但是它的主要特點可以概括如下:(1)數(shù)學(xué)...
