函數(shù)逼近論函數(shù)逼近論的產(chǎn)生
自18世紀(jì)至19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們?nèi)鏛.歐拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里葉和J.-V.彭賽列等人的研究中，已經(jīng)涉及了一些具體函數(shù)的最佳逼近問題。這些問題源于實際應(yīng)用，如繪圖學(xué)、測地學(xué)和機(jī)械設(shè)計，但當(dāng)時尚未形成系統(tǒng)的理論框架。切比雪夫在函數(shù)逼近領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，他提出了最佳逼近的概念，研究了n次多項式作為逼近函數(shù)類的最佳逼近元的性質(zhì)，并建立了判定多項式是否為最佳逼近元的特征定理。他關(guān)注的是在【-1,1】區(qū)間上，使函數(shù)偏差最小的n階多項式，這就是著名的切比雪夫多項式。
在1885年，德國數(shù)學(xué)家K.（T.W.）外爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)更為深遠(yuǎn)。他證明了一個定理，指出任何連續(xù)函數(shù)理論上可以用多項式在定義區(qū)間上一致地近似，但并未給出選擇最佳逼近多項式的具體方法。這時，問題轉(zhuǎn)向如何在不超過固定次數(shù)n的多項式中選擇誤差最小的多項式，這正是切比雪夫逼近的核心思想。可以說，切比雪夫和外爾斯特拉斯為現(xiàn)代函數(shù)逼近論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，他們的工作開啟了對函數(shù)用多項式逼近的深入研究。
擴(kuò)展資料
函數(shù)論的一個重要組成部分，涉及的基本問題是函數(shù)的近似表示問題。在數(shù)學(xué)的理論研究和實際應(yīng)用中經(jīng)常遇到下類問題:在選定的一類函數(shù)中尋找某個函數(shù)g，使它是已知函數(shù)ƒ在一定意義下的近似表示，并求出用g近似表示 ƒ而產(chǎn)生的誤差。這就是函數(shù)逼近問題。在函數(shù)逼近問題中,用來逼近已知函數(shù)ƒ的函數(shù)類可以有不同的選擇；即使函數(shù)類選定了,在該類函數(shù)中用作ƒ的近似表示的函數(shù)g的確定方式仍然是各式各樣的;g對ƒ的近似程度（誤差）也可以有各種不同的含義。所以函數(shù)逼近問題的提法具有多樣的形式，其內(nèi)容十分豐富。
函數(shù)逼近論函數(shù)逼近論的產(chǎn)生
這些問題源于實際應(yīng)用，如繪圖學(xué)、測地學(xué)和機(jī)械設(shè)計，但當(dāng)時尚未形成系統(tǒng)的理論框架。切比雪夫在函數(shù)逼近領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，他提出了最佳逼近的概念，研究了n次多項式作為逼近函數(shù)類的最佳逼近元的性質(zhì)，并建立了判定多項式是否為最佳逼近元的特征定理。他關(guān)注的是在【-1,1】區(qū)間上，使函數(shù)偏差最小的n階...
函數(shù)逼近論的函數(shù)逼近論的產(chǎn)生
已知【α,b】區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)?(x),假,(n≥0),叫做?(x)的n階最佳一致逼近值,也簡稱為最佳逼近值，簡記為En(?)。能使極小值實現(xiàn)的多項叫做 ?(x)的n階最佳逼近多項式。切比雪夫證明了,在區(qū)間【-1,1】上函數(shù)xn+1的n階最佳逼近多項式 必滿足關(guān)系式。多項就是著名...
函數(shù)逼近論的發(fā)展
這一理論主要在以下幾個方面取得了很大進(jìn)展： 在逼近論中系統(tǒng)地闡明函數(shù)的最佳逼近值En(?)（借助于代數(shù)多項式來逼近,或者對2π周期函數(shù)借助于三角多項式來逼近，或借助于有理函數(shù)來逼近等等）的數(shù)列當(dāng)n→∞時的性態(tài)和函數(shù)?（x）的構(gòu)造性質(zhì)（可微性、光滑性、解析性等等）之間內(nèi)在聯(lián)系的理...
函數(shù)逼近論發(fā)展
1. 定量理論：通過系統(tǒng)研究，定量理論揭示了函數(shù)最佳逼近值En(?)（如代數(shù)多項式逼近、三角多項式或有理函數(shù)逼近）與函數(shù)構(gòu)造特性（如可微性、光滑性、解析性）之間的內(nèi)在聯(lián)系。杰克森和伯恩斯坦等人的工作表明，2π周期函數(shù)的r階導(dǎo)數(shù)充分必要條件是其最佳逼近值滿足特定條件，這個定理深刻揭示了兩者間...
函數(shù)逼近論逼近函數(shù)類
在處理函數(shù)逼近問題時，關(guān)鍵步驟是尋找一個簡單的函數(shù)類來近似給定的函數(shù)?(x)。這個特定的函數(shù)類被稱為逼近函數(shù)類，它提供了多種可能的選項來實現(xiàn)這種近似。最常見的兩種是n次代數(shù)多項式，它由所有形式的函數(shù)組成，其中α0, α1, ..., αn是實數(shù)，k取值從0到n。另一種是n階三角多項式，其...
切比雪夫主要經(jīng)歷
切比雪夫是俄羅斯數(shù)學(xué)的奠基人和領(lǐng)袖，對概率論、解析數(shù)論和函數(shù)逼近論的開創(chuàng)性工作改變了歐洲對俄羅斯數(shù)學(xué)的看法。他以卓越才能和獨特魅力吸引了一批年輕數(shù)學(xué)家，形成彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，使俄羅斯數(shù)學(xué)擺脫落后，走向世界前列。在概率論領(lǐng)域，切比雪夫從基礎(chǔ)問題入手，對大數(shù)定律進(jìn)行深入研究，提出一系列概念和方法...
函數(shù)逼近論的逼近方法
所謂線性算子是指某種逼近方法l，對于被逼近函數(shù) ?、g，在逼近函數(shù)類中有l(wèi)(?)、l(g)近似表示它們，并且對于任意實數(shù)α、β都有l(wèi)(α?+βg)=αl(?)+βl(g)。線性算子逼近方法構(gòu)造方便。一個典型的例子是2π周期的連續(xù)函數(shù)?(x)的n 階傅里葉部分和Sn(?...
數(shù)值分析(7):函數(shù)逼近
數(shù)值分析(7)：函數(shù)逼近 在數(shù)值分析中，當(dāng)我們處理插值點不精確的情況時，不再追求精確通過每個點，而是尋求在低次多項式下，使函數(shù)與插值點之間的誤差保持在可接受的范圍內(nèi)，這就是函數(shù)逼近的核心思想。主要關(guān)注兩個概念：代數(shù)多項式空間和函數(shù)空間。代數(shù)多項式空間由滿足加法和數(shù)乘運算的多項式組成，而函數(shù)...
程民德的成就及榮譽
函數(shù)逼近論是本世紀(jì)初發(fā)展起來的一個數(shù)學(xué)分支,其基本思想是用簡單的、性質(zhì)好的函數(shù)(例如多項式或三角多項式)去逼近復(fù)雜的、性質(zhì)差一些的函數(shù),這在理論上與實際應(yīng)用方面都是很有意義的。50年代以前,逼近論大都是研究一元函數(shù)的逼近問題。多元函數(shù)的逼近,只是從50年代以來才取得較大的進(jìn)展。逼近多元周期函數(shù),最常見的...
數(shù)值計算方法 第五章 函數(shù)逼近(2)
數(shù)值計算方法的第五章深入探討了函數(shù)逼近，特別是最佳一致逼近的概念。首先，Bernstein多項式基于Weierstrass定理，該定理指出，任何給定函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)都能通過多項式精確逼近。Bernstein的構(gòu)造性證明方法提供了一種實際操作的方法。Chebyshev多項式則從一個不同的視角研究逼近問題，它專注于在固定次數(shù)n內(nèi)尋找最...
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