素數(shù)階有限群G的非平凡子群個數(shù)等于多少？ 6階群的任何非平凡子群一定不會是下列哪一個？ A.2階 B....
沒有非平凡子群。
證明：假設H是G的非平凡子群，|G|=p是素數(shù)。則H中必有G的非單位元，記為h。由Lagrange定理知h的階ord(h)整除|G|=p，所以ord(h)=1或ord(h)=p。
但由h≠1知ord(h)≠1，所以必有ord(h)=p。而H包含G中h生成的循環(huán)子群，所以必有|H|>=ord(h)=p=|G|。這說明H=G，與H是G的非平凡子群矛盾。證畢。
說明
設G是一個群， 如果G是有限集合，那么就稱為有限群。
假若群G是一個有限群，則組成G的元的個數(shù)為G的階，記為 |G|。
有限群的分類是個重要的數(shù)學問題。這個問題經(jīng)過許多數(shù)學家的努力中有了完美的答案（相關概念如“魔群”）。比如素數(shù)階的有限群都是循環(huán)群。
以上內容參考：百度百科-有限群
沒有非平凡子群。
證明：假設H是G的非平凡子群，|G|=p是素數(shù)。則H中必有G的非單位元，記為h。由Lagrange定理知h的階ord(h)整除|G|=p，所以ord(h)=1或ord(h)=p。但由h≠1知ord(h)≠1，所以必有ord(h)=p。而H包含G中h生成的循環(huán)子群，所以必有|H|>=ord(h)=p=|G|。這說明H=G，與H是G的非平凡子群矛盾。證畢。
也可以先證明G是循環(huán)群（已經(jīng)包含在上面的過程中，或者見 http://zhidao.baidu.com/question/163590932.html），再用有限生成Abel群的結構定理立即可得。
搜一下：素數(shù)階有限群G的非平凡子群個數(shù)等于多少？
證明:如果群G的階為偶數(shù),則G必有2階元
根據(jù)Sylow第一定理：G是有限群，p是素數(shù)，如果p^k||G|，k>=0，那么G中一定有一個階為p^k的子群。定理中令p=2，k=1，則G有一個2階子群，所以G中一定有2階元。也可以說:群中的每一個元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。因為任一階大于2 的元素和它的逆元的階相等。
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