數(shù)學(xué)問(wèn)題

希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及解決情況 1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并在會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：正如人類(lèi)的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界。希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題。 ” 同時(shí)又指出：“某類(lèi)問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆€(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。” 他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠(yuǎn)。同時(shí)他分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會(huì)議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個(gè)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。編號(hào) 問(wèn)題推動(dòng)發(fā)展的領(lǐng)域解決的情況 1 連續(xù)統(tǒng)假設(shè) 公理化 *** 論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第一個(gè)問(wèn)題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。 2 算術(shù)公理的相容性數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德?tīng)柕摹安煌陚涠ɡ怼敝赋隽擞谩霸獢?shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決。 3 兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎(chǔ) 這問(wèn)題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。 4 直線作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題幾何基礎(chǔ) 這一問(wèn)題提得過(guò)于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問(wèn)題上取得很大進(jìn)展，但問(wèn)題并未完全解決。 5 不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念拓?fù)淙赫?經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解決，答案是肯定的。 6 物理公理的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)物理在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說(shuō)，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。 7 某些數(shù)的無(wú)理性與超越性超越數(shù)論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分。 8 素?cái)?shù)問(wèn)題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問(wèn)題中的Goldbach問(wèn)題至今也未解決。中國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。 9 任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類(lèi)域論已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決. 10 Diophantius方程可解性的判別不定分析 1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。 11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果。 12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復(fù)乘法理論尚未解決。 13 不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實(shí)函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決。 14 證明某類(lèi)完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。 15 Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ) 代數(shù)幾何學(xué) 由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。 16 代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)?曲線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果。 17 正定形式的平方表示式域（實(shí)域）論已由Artin 于1926年解決。 18 由全等多面體構(gòu)造空間結(jié)晶體群理論部分解決。 19 正則變分問(wèn)題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個(gè)問(wèn)題在某種意義上已獲解決。 20 一般邊值問(wèn)題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正在蓬勃發(fā)展。 21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。 22 解析關(guān)系的單值化 Riemann 曲面體一個(gè)變數(shù)的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。 23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展變分法 Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。百年前的數(shù)學(xué)家大會(huì)與希爾伯特的問(wèn)題熊衛(wèi)民 21世紀(jì)第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)馬上就要在北京召開(kāi)了，它將給本世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)些什么？能像20世紀(jì)的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)那樣左右數(shù)學(xué)發(fā)展的方向嗎？一個(gè)世紀(jì)前的那次數(shù)學(xué)家大會(huì)之所以永載史冊(cè)，完全是因?yàn)橐粋€(gè)人，因?yàn)樗囊粋€(gè)報(bào)告——希爾伯特（David Hilbert）和他的《數(shù)學(xué)問(wèn)題》。 1900年，希爾伯特在巴黎召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了他著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。在隨后的半個(gè)世紀(jì)中，許多世界一流的數(shù)學(xué)頭腦都圍著它們轉(zhuǎn)。其情形正如另一位非常著名的數(shù)學(xué)家外爾（H. Weyl）所說(shuō)：“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠紛紛跟著他躍進(jìn)了那條河。 ”這也難怪，他所提出的問(wèn)題都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試，而且解決其中任意一個(gè)，或者在任意一個(gè)問(wèn)題上有重大突破，立即就能名滿天下——我國(guó)的陳景潤(rùn)就因?yàn)樵诮鉀Q希爾伯特第8個(gè)問(wèn)題（即素?cái)?shù)問(wèn)題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大貢獻(xiàn)而為世人所側(cè)目。人們?cè)诳偨Y(jié)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是二十世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的發(fā)展時(shí)，通常都以希爾伯特所提的問(wèn)題為航標(biāo)。其實(shí)這些問(wèn)題絕大部分業(yè)已存在，并不是希爾伯特首先提出來(lái)的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡(jiǎn)單的方式重新提出了這些問(wèn)題，并指出了其中許多問(wèn)題的解決方向。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學(xué)史家、中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、《希爾伯特——數(shù)學(xué)王國(guó)中的亞歷山大》一書(shū)的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認(rèn)為，這是因?yàn)橄柌厥菙?shù)學(xué)王國(guó)中的亞歷山大！數(shù)學(xué)家可分為兩類(lèi)，一類(lèi)擅長(zhǎng)解決數(shù)學(xué)中的難題，另一類(lèi)擅長(zhǎng)對(duì)現(xiàn)有狀況做出理論總結(jié)，兩大類(lèi)中又均可細(xì)分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長(zhǎng)，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地，在多個(gè)差異很大的數(shù)學(xué)分支中都留下了他那顯赫的名字，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的大背景了如指掌，對(duì)所提及的許多問(wèn)題都有深入的研究，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“王”。為什么希爾伯特要在大會(huì)上總結(jié)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，而不像常人一樣宣講自己的某項(xiàng)成果？袁向東告訴記者，這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊(Henri Poincaré)有關(guān)，龐加萊在1897年舉行的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報(bào)告。他們兩人是當(dāng)時(shí)國(guó)際數(shù)學(xué)界中的雙子星座，均為領(lǐng)袖級(jí)人物，當(dāng)然也存在一定的競(jìng)爭(zhēng)心理——既然龐加萊講述的是自己對(duì)物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護(hù)。龐加萊是法國(guó)人，希爾伯特是德國(guó)人，法、德兩國(guó)有世仇，所以他們之間的競(jìng)爭(zhēng)還帶上了一種國(guó)與國(guó)競(jìng)爭(zhēng)的味道。雖然他們兩人非常尊重對(duì)方，這一點(diǎn)在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學(xué)生和老師常常這樣看。希爾伯特的老師克萊茵（Felix Klein）就是一個(gè)民族感非常強(qiáng)的人，他非常強(qiáng)調(diào)德意志數(shù)學(xué)的發(fā)展，想讓國(guó)際數(shù)學(xué)界變成橢圓——以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學(xué)的中心，使數(shù)學(xué)世界變成有兩個(gè)圓心的橢圓。在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)——1900年時(shí)，希爾伯特就已經(jīng)和法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來(lái)到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數(shù)學(xué)家。事實(shí)上，他們?cè)诘聡?guó)號(hào)稱(chēng)“無(wú)敵三教授”。從一個(gè)例子可以想見(jiàn)他們的魅力。某天，在談及拓?fù)鋵W(xué)著名定理——四色定理時(shí)，閔可夫斯基突然靈機(jī)一動(dòng)，于是對(duì)滿堂的學(xué)生說(shuō)：“這條定理還沒(méi)有得到證明，因?yàn)榈侥壳盀橹惯€只有一些三流數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行過(guò)研究。現(xiàn)在由我來(lái)證明它。 ”然后他拿起粉筆當(dāng)場(chǎng)證明這條定理。這堂課結(jié)束后，他還沒(méi)有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個(gè)陰雨的早晨，他一走上講臺(tái)天空就出現(xiàn)了一道霹靂。 “老天也被我的傲慢激怒了，”他說(shuō)，“我的證明也是不完全的。 ”（該定理直到1994年才用計(jì)算機(jī)證明出來(lái)。） 1912年，龐加萊逝世。世界數(shù)學(xué)的中心進(jìn)一步向哥廷根偏移，數(shù)學(xué)界似乎又變成了一個(gè)圓——不過(guò)圓心換成了哥廷根。此時(shí)，哥廷根學(xué)派的名聲如日中天，在數(shù)學(xué)青年中流行的口號(hào)是“打起你的鋪蓋，到哥廷根去！” 一個(gè)世紀(jì)過(guò)去了，希爾伯特所列的那23個(gè)問(wèn)題約有一半問(wèn)題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。但希爾伯特本人沒(méi)有解決其中的任意一個(gè)。有人問(wèn)他，為什么他不去解決自己所提的問(wèn)題，譬如說(shuō)費(fèi)馬大定理？費(fèi)馬是在一頁(yè)書(shū)的空白處寫(xiě)下該定理的，他同時(shí)宣稱(chēng)自己已經(jīng)想出了一個(gè)美妙的證法，但可惜的是空白區(qū)不夠大，寫(xiě)不下了。希爾伯特的回答同樣幽默：“我不想殺掉這只會(huì)下金蛋的母雞”——德國(guó)一企業(yè)家建了一個(gè)基金會(huì)獎(jiǎng)勵(lì)第一個(gè)解決費(fèi)馬大定律者，希爾伯特時(shí)任該基金會(huì)的主席，每年利用該項(xiàng)基金的利息請(qǐng)優(yōu)秀學(xué)者去哥廷根講學(xué)，所以對(duì)他而言，費(fèi)馬大定律者是只會(huì)下金蛋的母雞。（費(fèi)馬大定律直到1997年才被解決。）在列出23個(gè)問(wèn)題之前，希爾伯特已經(jīng)是國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的領(lǐng)軍人物，已經(jīng)在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域取得多項(xiàng)重要成果。他的其它貢獻(xiàn)，譬如他的公理化主張、 *** 構(gòu)想、《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)等等，都對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。 1 21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題 21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題最近美國(guó)麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對(duì)七個(gè)“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個(gè)懸賞一百萬(wàn)美元。以下是這七個(gè)難題的簡(jiǎn)單介紹。 “千僖難題”之一：P（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。 “千僖難題”之二：霍奇(Hodge)猜想二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。基本想法是問(wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形 *** 的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。 “千僖難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。 “千僖難題”之四：黎曼(Riemann)假設(shè) 有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。 “千僖難題”之五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。 “千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。 “千僖難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。

數(shù)學(xué)問(wèn)題提問(wèn)的有效方法：1.提問(wèn)要講究層次性.對(duì)于有一定難度的問(wèn)題，教師可以設(shè)計(jì)一些鋪墊性的子問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律，并解決問(wèn)題.講究問(wèn)題的層次性，兼顧不同層次的學(xué)生，設(shè)計(jì)出可供不同層次的學(xué)生回答的問(wèn)題。2.問(wèn)題的趣味性要強(qiáng).興趣是人做一切事情的原動(dòng)力.因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中所設(shè)置的問(wèn)題應(yīng)能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣學(xué)生才會(huì)有學(xué)習(xí)的動(dòng)力.教師應(yīng)從教材本身以及學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，設(shè)置相應(yīng)的問(wèn)題，引人入勝、步步深入地提出富有趣味性、啟發(fā)性的問(wèn)題，用科學(xué)的、藝術(shù)的、生動(dòng)的語(yǔ)言促使學(xué)生積極思維。3.提問(wèn)要適度，要科學(xué)掌握時(shí)間.教師所提問(wèn)題難度要科學(xué)適度，科學(xué)掌握問(wèn)題的難易程度.哪些問(wèn)題對(duì)應(yīng)哪些學(xué)生，教師應(yīng)心中有數(shù).再者，要科學(xué)地掌握提問(wèn)的頻率和時(shí)間，有效的提問(wèn)要選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間.一般的，應(yīng)把有效提問(wèn)的時(shí)間控制在教學(xué)時(shí)間的四分之一左右。課堂提問(wèn)是一門(mén)藝術(shù)，它對(duì)激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生能力，提高學(xué)習(xí) 效率有重要作用。合理的課堂提問(wèn)，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要手段，是溝通師生相互了解的主要橋梁。掌握一定的提問(wèn)技巧與策略有，利于優(yōu)化課堂教學(xué)，較好地激發(fā)學(xué)生的思維，有效地發(fā)展學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力

1.一個(gè)圓柱的體積是27立方厘米，和它等底等高的圓錐的體積是9立方厘米
2.16.2立方分米
3.30立方分米
4.103.62立方厘米

數(shù)學(xué)問(wèn)題就是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)的運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決的問(wèn)題

小學(xué)生常見(jiàn)學(xué)習(xí)問(wèn)題
北京快樂(lè)尚學(xué)教育科技有限公司,由教育行業(yè)從業(yè)多年的何樹(shù)友老師及知名營(yíng)銷(xiāo)策劃?rùn)C(jī)構(gòu)顏安老師共同發(fā)起成立; 公司致力于解決青少年學(xué)生不愛(ài)學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)不好的問(wèn)題; 向TA提問(wèn) 關(guān)注展開(kāi)全部向你推薦這個(gè)學(xué)習(xí)方法《快樂(lè)目標(biāo)學(xué)習(xí)法》歸納了考入清華、北大五百名的學(xué)習(xí)方法,無(wú)外乎具備以下法寶。都有一個(gè)錯(cuò)題本都有一個(gè)口...

中學(xué)生常見(jiàn)學(xué)習(xí)問(wèn)題有哪些?如何解決?
一、解題方向不清楚學(xué)生特點(diǎn)：對(duì)于解題的方向不明確。解決方案：學(xué)懂學(xué)透夯實(shí)基礎(chǔ)，多做題目觸類(lèi)旁通。此類(lèi)學(xué)生的自身找癥結(jié)可以從以下情況：對(duì)于簡(jiǎn)單的題掉以輕心，漏題丟分；對(duì)于中檔題，分析不清楚，莫能兩可，可能錯(cuò)，可能對(duì)；對(duì)于復(fù)雜題，自身知識(shí)結(jié)構(gòu)和技術(shù)不到位，缺乏分析能力。二、粗心大意學(xué)生...

大學(xué)生的學(xué)習(xí)問(wèn)題有那些呢?
1.學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性不強(qiáng)，一般都是老師推一下，動(dòng)一下，僅僅做到了聽(tīng)課和寫(xiě)作業(yè)，甚至有的人平常上課都不聽(tīng)，課堂態(tài)度極其不端正，作業(yè)也不寫(xiě)，一定要到了考試才火燒眉毛的時(shí)候才開(kāi)始著急，臨時(shí)抱佛腳。2.學(xué)習(xí)沒(méi)有目的性，盲目學(xué)習(xí)，不知道自己學(xué)習(xí)的目的是什么，要達(dá)到一個(gè)什么樣的目標(biāo)，而是"為了...

大學(xué)生常見(jiàn)的學(xué)習(xí)問(wèn)題有哪些?
加強(qiáng)自己的學(xué)習(xí)能力，為以后的專(zhuān)業(yè)能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。3.不能?chē)?yán)格地要求自己學(xué)習(xí)。在剛剛步入大學(xué)里可能不會(huì)很認(rèn)真地學(xué)習(xí)，覺(jué)得自己可能還蠻優(yōu)秀的，抱著隨便學(xué)學(xué)的態(tài)度，抱著不掛科的態(tài)度。但我們不應(yīng)該以這種低要求的態(tài)度要求自己，應(yīng)該更嚴(yán)格地要求自己，去尋找更優(yōu)秀的自己。

數(shù)學(xué)問(wèn)題怎么提問(wèn)
數(shù)學(xué)問(wèn)題提問(wèn)的有效方法：1.提問(wèn)要講究層次性.對(duì)于有一定難度的問(wèn)題，教師可以設(shè)計(jì)一些鋪墊性的子問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律，并解決問(wèn)題.講究問(wèn)題的層次性，兼顧不同層次的學(xué)生，設(shè)計(jì)出可供不同層次的學(xué)生回答的問(wèn)題。2.問(wèn)題的趣味性要強(qiáng).興趣是人做一切事情的原動(dòng)力.因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中所設(shè)置...

學(xué)生出現(xiàn)厭學(xué)的原因有哪些
學(xué)生厭學(xué)的可能原因：生出現(xiàn)厭學(xué)的問(wèn)題原因有很多，主要是以下幾個(gè)方面：1、出現(xiàn)了學(xué)習(xí)困難，比如學(xué)習(xí)成績(jī)差，甚至有一些孩子智力發(fā)育不良，如果有輕度甚至是嚴(yán)重的智力發(fā)育障礙，很容易會(huì)出現(xiàn)厭學(xué)的問(wèn)題。尤其是孩子無(wú)法融入學(xué)習(xí)生活當(dāng)中，也無(wú)法跟別的孩子建立良好的關(guān)系，甚至因?yàn)橹橇Πl(fā)育差會(huì)被別的孩子嘲笑...

學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題?
2、產(chǎn)生的疑問(wèn)無(wú)法解決產(chǎn)生了疑問(wèn)，就需要去解答，但是自己沒(méi)有解決的能力，不知道自我思考解決，不知道采取哪種方式解答自己的疑惑；同時(shí)沒(méi)有老師或者學(xué)伴來(lái)幫助自己，疑惑越堆越多，那么還怎么學(xué)？三、學(xué)習(xí)資源獲取問(wèn)題 1、性?xún)r(jià)比高的學(xué)習(xí)資源有些教材晦澀難懂，其實(shí)是編者水平不夠，當(dāng)你看到一本好...

大學(xué)生常見(jiàn)的學(xué)習(xí)問(wèn)題?
不要把社會(huì)問(wèn)題弄成技術(shù)問(wèn)題，解決起來(lái)南轅北轍學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)怎么解決？他不知道學(xué)習(xí)有什么用當(dāng)然就不想學(xué)了唄不學(xué)就罰錢(qián)，不學(xué)就打光棍，不學(xué)就禁止找工作，不學(xué)就宰了。。。只要目標(biāo)明確，沒(méi)有不學(xué)的

大學(xué)生學(xué)習(xí)問(wèn)題有哪些?
學(xué)習(xí)能力沒(méi)有之前那么高了，學(xué)習(xí)成績(jī)和主動(dòng)性都沒(méi)有大學(xué)之前高了，懶，思想覺(jué)悟不高，也很少去運(yùn)動(dòng)，反正在上大學(xué)之前的那些問(wèn)題啊，在上大學(xué)后都出來(lái)了，積極性不高，又是社恐人，又喜歡整天在宿舍里面睡覺(jué)和玩手機(jī)，興趣愛(ài)好很少，有的話大多數(shù)都是在宿舍里面玩游戲，很少做作業(yè)，也不會(huì)去主動(dòng)性的...

大學(xué)生十大心理問(wèn)題
一、學(xué)業(yè)問(wèn)題 1.學(xué)習(xí)動(dòng)力不足。在大學(xué)生生活事件量表中,列在第一位的是學(xué)習(xí)壓力大。調(diào)查結(jié)果表明:有69.6%的新生和54%的老生感到“學(xué)習(xí)難度加大,非常困難”;一位大二學(xué)生也寫(xiě)道:“學(xué)習(xí)始終不能進(jìn)入狀態(tài),總感到是在巨大的考試壓力下被動(dòng)的學(xué),而靜下來(lái)想,為什么學(xué)時(shí),會(huì)感到很苦惱。”特別是一年級(jí)學(xué)生,認(rèn)為“學(xué)習(xí)...

www.tjgcgs88.cn-狠狠久久亚洲欧美专区不卡,久久精品国产99久久无毒不卡,噼里啪啦国语版在线观看,zσzσzσ女人极品另类

數(shù)學(xué)問(wèn)題

相關(guān)評(píng)說(shuō)：