矩陣的特征值和特征向量有什么性質(zhì)？
性質(zhì)：
(1)設(shè)有N階矩陣A，那么矩陣A的跡（用tr（A）表示）就等于A的特征值的總和，也即矩陣A的主對(duì)角線元素的總和。
1.跡是所有主對(duì)角元素的和
2.跡是所有特征值的和
3.某些時(shí)候也利用tr(AB)=tr(BA)來(lái)求跡
4.tr（mA+mB）=m*tr(A)+n*tr（B）
(2)奇異值分解（Singular value decomposition ）
奇異值分解非常有用，對(duì)于矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對(duì)角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*VU和V中分別是A的奇異向量，而B(niǎo)是A的奇異值。AA'的特征向量組成U，特征值組成B'B，A'A的特征向量組成V，特征值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特征值問(wèn)題緊密聯(lián)系。如果A是復(fù)矩陣，B中的奇異值仍然是實(shí)數(shù)。SVD提供了一些關(guān)于A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目（B的階數(shù)）和A的階數(shù)相同，一旦階數(shù)確定，那么U的前k列構(gòu)成了A的列向量空間的正交基。
(3)在數(shù)值分析中，由于數(shù)值計(jì)算誤差，測(cè)量誤差，噪聲以及病態(tài)矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數(shù)目。將一個(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單或者性質(zhì)比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計(jì)算。由于矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對(duì)角形的問(wèn)題中占有特殊位置， 因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質(zhì)，但是并不是總能正確地表示矩陣的“大小”。矩陣的奇異值和按奇異值分解是矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用中十分重要的內(nèi)容，已成為多變量反饋控制系統(tǒng)最重要最基本的分析工具之一，奇異值實(shí)際上是復(fù)數(shù)標(biāo)量絕對(duì)值概念的推廣， 表示了反饋控制系統(tǒng)的輸出/輸入增益，能反映控制系統(tǒng)的特性。
矩陣的特征值和特征向量有什么聯(lián)系嗎
λ2, ..., λn，則特征值乘積為：λ1 × λ2 × ... × λn 特征值的和是一個(gè)矩陣的特征值相加的結(jié)果。對(duì)于一個(gè) n×n 的方陣 A，其特征值記作λ1, λ2, ..., λn，則特征值的和為：λ1 + λ2 + ... + λn 這兩個(gè)性質(zhì)對(duì)于矩陣的特征值分析和特征值的計(jì)算具有重要意義。
特征向量是什么,與特征值是一樣嗎?
特征值與特征向量之間關(guān)系：1、屬于不同特征值的特征向量一定線性無(wú)關(guān)。2、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值。3、設(shè)x是矩陣a的屬于特征值1的特征向量，且a~b，即存在滿秩矩陣p使b=p(-1)ap，則y=p(-1)x是矩陣b的屬于特征值1的特征向量。4、n階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要...
什么是矩陣的特征值和特征向量?
多個(gè)矩陣相乘得到的方陣的跡，和將這些矩陣中的最后一個(gè)挪到最前面之后相乘的跡是相同的。將一個(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單或者性質(zhì)比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計(jì)算。由于矩陣的特征值和特征向量在化矩陣為對(duì)角形的問(wèn)題中占有特殊位置， 因此矩陣的特征值分解。盡管矩陣的特征值具有非常好的性質(zhì)，但是并不...
對(duì)稱矩陣的性質(zhì)
對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：特征值和特征向量、正交矩陣、行列式。1、特征值和特征向量：對(duì)稱矩陣有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，那就是它的特征值都是實(shí)數(shù)。這是因?yàn)樵诙x對(duì)稱矩陣的時(shí)候，我們要求它滿足AT=A，其中T表示轉(zhuǎn)置。如果對(duì)稱矩陣的特征值是復(fù)數(shù)，那么(AT-A)!=0，這與AT=A矛盾。所以對(duì)稱矩陣的特征值只能是...
什么是特征向量和特征值?
特征向量:數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。 圖1給出了一幅圖像的例子。一個(gè)變換通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空間是相同特征值的特征向量的集合。第一性質(zhì) 線性變換的特征向量是...
什么是特征值和特征向量?
特征值的重要性：特征值的重要性在于它能夠告訴矩陣的變換性質(zhì)。比如，如果一個(gè)矩陣的特征值都是正數(shù)，那么它表示的變換將會(huì)把所有向量都拉伸；如果特征值都是零，那么表示的變換將會(huì)把所有向量都?jí)嚎s到一個(gè)點(diǎn)。而如果特征值有正有負(fù)，那么表示的變換將會(huì)有拉伸和壓縮的效果。特征值的作用：特征值還...
矩陣特征值的性質(zhì)
矩陣特征值具有如下性質(zhì)：1、矩陣的特征值是與矩陣的特征向量相對(duì)應(yīng)的。2、矩陣的每個(gè)特征值都是它的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)之和。3、矩陣的特征值與它的轉(zhuǎn)置矩陣的特征值相同。矩陣特征值的性質(zhì)不僅僅用于理論分析，也有著實(shí)際應(yīng)用，比如在機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、量子力學(xué)等領(lǐng)域。
什么是矩陣特征值和特征向量?
2.最小多項(xiàng)式是特征多項(xiàng)式的因子：最小多項(xiàng)式是特征多項(xiàng)式的因子。也就是說(shuō)，如果我們將特征多項(xiàng)式p(λ)分解成一系列線性因子的乘積，那么每個(gè)線性因子也是最小多項(xiàng)式的因子。綜上所述，在研究線性變換或矩陣的特征值和特征向量時(shí)，我們可以使用特征多項(xiàng)式來(lái)計(jì)算特征值，而使用最小多項(xiàng)式來(lái)確定線性變換或矩...
矩陣有什么重要的性質(zhì)嗎?重根又是什么?
矩陣的每個(gè)特征值都是不同的，而實(shí)對(duì)稱矩陣是一定可以對(duì)角化的，n階實(shí)對(duì)稱矩陣有n個(gè)特征值和特征向量，特征值可能有重根。主要性質(zhì)：1.實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的。2.實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)。3.n階實(shí)對(duì)稱矩陣A必可相似對(duì)角化，且相似對(duì)角陣上的元素即為矩陣本身特征值。
矩陣特征值和特征向量的數(shù)學(xué)意義是什么?
去噪、特征提取等任務(wù)。通過(guò)對(duì)信號(hào)或圖像進(jìn)行特征值分解，我們可以得到一組按重要性排序的特征向量，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維和壓縮。總之，矩陣特征值和特征向量在數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域都有重要的意義。它們幫助我們了解線性變換的性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算，描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，并在信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
淮陰區(qū)有害： ______ 1、設(shè)x是矩陣A的特征向量,先計(jì)算Ax;2、發(fā)現(xiàn)得出的向量是x的某個(gè)倍數(shù);3、計(jì)算出倍數(shù),這個(gè)倍數(shù)就是要求的特征高核值.求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:計(jì)算的特征多項(xiàng)式;第二步:求出特征方戚中掘程的全部根,...
淮陰區(qū)有害： ______ 設(shè) A 是n階方陣,如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x,使得 Ax=mx 成立,則稱 m 是A的一個(gè)特征值維列向量x稱為矩陣A的屬于(對(duì)應(yīng)于)特征值m的特征向量或本征向量,簡(jiǎn)稱A的特征向量或A的本征向量. Hessian矩陣的特征值就是形容其在該點(diǎn)附近特征向量方向的凹凸性,特征值越大,凸性越強(qiáng).你可以把函數(shù)想想成一個(gè)小山坡,陡的那面是特征值大的方向,平緩的是特征值小的方向.而凸性和優(yōu)化方法的收斂速度有關(guān),比如梯度下降.如果正定Hessian矩陣的特征值都差不多,那么梯度下降的收斂速度越快,反之如果其特征值相差很大,那么收斂速度越慢.
淮陰區(qū)有害： ______ 一般的矩陣沒(méi)有這個(gè)性質(zhì) 只是屬于不同的特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的 (而不是正交的)
淮陰區(qū)有害： ______ 從直觀上講:把矩陣其實(shí)看作一個(gè)線性變換的話,特征向量就是經(jīng)過(guò)這個(gè)線性變換后你得到的向量與原來(lái)的向量共線的那些向量所組成的幾何.而特征向量對(duì)應(yīng)的特征值就是代表把特征向量經(jīng)過(guò)伸長(zhǎng)改變的倍數(shù).
淮陰區(qū)有害： ______ 設(shè)置方程: 將A分別作用在u和v上,也就是計(jì)算Au和Av: 畫(huà)個(gè)圖就是: Av=2v,A對(duì)v的作用,僅僅是將v延長(zhǎng)了,這個(gè)系數(shù)2就叫特征值;而被矩陣A延長(zhǎng)的向量(2,1),就是特征向量.下面給出數(shù)學(xué)定義.A為nxn矩陣,x為非零向量.若...
淮陰區(qū)有害： ______ 如何理解矩陣,特征值和特征向量?答:線性空間中,當(dāng)你選定一組基之后,不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象,而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)(變換),從而得出矩陣是線性空間里的變換的描述.而使某個(gè)對(duì)...
淮陰區(qū)有害： ______ 只說(shuō)定義吧 [意義,太重要.用途,太多.幾句話說(shuō)不清,不說(shuō)了!] n階方陣A,行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣,λ是變量.這是λ的n次多項(xiàng)式,首 項(xiàng)系數(shù)是1] 叫做A的特征多項(xiàng)式,[f(λ)=|λE-A|].f(λ)=0的根(n 個(gè)),都叫A的特征值. 如果λ0是A的一個(gè)特征值,|λ0E-A|=0,(λ0E-A)為降秩矩陣,線性方程組 (λ0E-A)X=0 [X=(x1,x2,……xn)′是未知的n維列向量] 必有非零解, 每個(gè)非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個(gè)特征向量. [特征方法是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一,也是其他很多數(shù)學(xué)分支的重要內(nèi)容,可 要認(rèn)真對(duì)待了!]
淮陰區(qū)有害： ______ 特征向量的幾何意義 特征向量確實(shí)有很明確的幾何意義,矩陣(既然討論特征向量的問(wèn)題,當(dāng)然是方陣,這里不討論廣義特征向量的概念,就是一般的特征向量)乘以一個(gè)向量的結(jié)果仍 是同維數(shù)的一個(gè)向量,因此,矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換,...
淮陰區(qū)有害： ______ 特征值與特征向量之間關(guān)系: 1、屬于不同特征值的特征向量一定線性無(wú)關(guān). 2、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,因而有相同的特征值. 3、設(shè)x是矩陣a的屬于特征值1的特征向量,且a~b,即存在滿秩矩陣p使b=p(-1)ap,則y=p(-1)x是矩陣b的屬...
