一個角，如何利用尺規(guī)平均分成三分呢？？
雖然小,但還告訴你吧
古希臘三個著名問題之一的三等分角，現(xiàn)在美國就連許多沒學過數(shù)學的人也都知道．美國的數(shù)學雜志社和以教書為職業(yè)的數(shù)學會員，每年總要收到許多“角的三等分者”的來信；并且，在報紙上常見到：某人已經(jīng)最終地“解決了”這個不可捉摸的問題．這個問題確實是三個著名的問題中最容易理解的一個，因為二等分角是那么容易，這就自然會使人們想到三等分角為什么不同樣的容易呢？
用歐幾里得工具，將一線段任意等分是件簡單的事；也許古希臘人在求解類似的任意等分角的問題時，提出了三等分角問題；也許(更有可能)這問題是在作正九邊形時產(chǎn)生的，在那里，要三等分一個60°角．
在研究三等分角問題時，看來希臘人首先把它們歸結(jié)成所謂斜向(verging problem)問題．任何銳角ABC(參看圖31)可被取作矩形BCAD的對角線BA和邊BC的夾角．考慮過B點的一條線，它交CA于E，交DA之延長線于F，且使得EF=2(BA)．令G為EF之中點，則
EG=GF=GA=BA，
從中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC．因此，這個問題被歸結(jié)為在DA的延長線和AC之間，作一給定長度2(BA)的線段EF，使得EF斜向B點．
如果與歐幾里得的假定相反，允許在我們的直尺上標出一線段E’F’=2(BA)，然后調(diào)整直尺的位置，使得它過B點，并且，E’在AC上，F(xiàn)’在DA的延長線上；則∠ABC被三等分．對直尺的這種不按規(guī)定的使用，也可以看作是：插入原則(the insertion principle)的一種應用．這一原則的其它應用，參看問題研究4．6．
為了解三等分角歸結(jié)成的斜向問題，有許多高次平面曲線已被發(fā)現(xiàn)．這些高次平面曲線中最古老的一個是尼科梅德斯(約公元前240年)發(fā)現(xiàn)的蚌線．設c為一條直線，而O為c外任何一點，P為c上任何一點，在PO的延長線上截PQ等于給定的固定長度k．于是，當P沿著c移動時，Q的軌跡是c對于極點O和常數(shù)k的蚌線(conchoid)(實際上，只是該蚌線的一支)．設計個畫蚌線的工具并不難①，用這樣一個工具，就可以很容易地三等分角．這樣，令∠AOB為任何給定的銳角，作直線MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如圖32所示)．然后，對極點O和常數(shù)2(OL)，作MN的蚌線．在L點作OA的平行線，交蚌線于C．則OC三等分∠AOB．
借助于二次曲線可以三等分一個一般的角，早期希臘人還不知道這一方法．對于這種方法的最早證明是帕普斯(Pappus，約公元300年)．利用二次曲線三等分角的兩種方法在問題研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代數(shù)的)曲線，它們不僅能夠?qū)σ粋€給定的角三等分，而且能任意等分．在這這樣的曲線中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，約公元前425年)發(fā)明的割圓曲線(quadratrix)和阿基米得螺線(spiral of Archimeds)．這兩種曲線也能解圓的求積問題．關于割圓曲線在三等分角和化圓為方問題上的應用，見問題研究4．10．
多年來，為了解三等分角問題，已經(jīng)設計出許多機械裝置、聯(lián)動機械和復合圓規(guī)．①參看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一個有趣的工具叫做戰(zhàn)斧，不知道是誰發(fā)明的，但是在1835年的一本書中講述了這種工具．要制做一個戰(zhàn)斧，先從被點S和T三等分的線段RU開始，以SU為直徑作一半圓，再作SV垂直于RU，如圖33所示．用戰(zhàn)斧三等分∠ABC時，將這一工具放在該角上，使R落在BA上，SV通過B點，半圓與BC相切于D．于是證明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分給定的角．可以用直尺和圓規(guī)在描圖紙上繪出戰(zhàn)斧，然后調(diào)整到給定的角上．在這種條件下，我們可以說用直角和圓規(guī)三等分一個角(用兩個戰(zhàn)斧，則可以五等分一個角)．
歐幾里得工具雖然不能精確地三等分任意角，但是用這些工具的作圖方法，能作出相當好的近似的三等分．一個卓越的例子是著名的蝕刻師、畫家A．丟勒(Albrecht Durer)于1525年給出的作圖方法．取給定的∠AOB為一個圓的圓心角(參看圖34)，設C為弦AB的靠近B點的三等分點．在C點作AB的垂線交圓于D．以B為圓心，以BD為半徑，作弧交AB于E．設令F為EC的靠近E點的三等分點，再以B為圓心，以BF為半徑，作弧交圓于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分線．我們能夠證明：三等分中的誤差隨著∠AOB的增大而增大；但是，對于60°的角大約只差1〃，對于90°角大約只差18〃．
或
三等分角
古希臘三大幾何問題之一。
三等分任意角的題也許比另外兩個幾何問題出現(xiàn)更早，早到歷史上找不出有關的記載來。但無疑地它的出現(xiàn)是很自然的，就是我們自己在現(xiàn)在也可以想得到的。紀元前五、六百年間希臘的數(shù)學家們就已經(jīng)想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的：以已知角的頂點為圓心，用適當?shù)陌霃阶骰〗唤莾傻膬蛇叺脙蓚€交點，再分別以這兩點為圓心，用一個適當?shù)拈L作半徑畫弧，這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這么容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎么樣呢？這樣，這一個問題就這么非常自然地出現(xiàn)了。
現(xiàn)已證明，在尺規(guī)作圖的前提下，此題無解。
三等分角的歷史：
公元前4世紀，托勒密一世定都亞歷山大城。他憑借優(yōu)越的地理環(huán)境，發(fā)展海上貿(mào)易和手工藝，獎勵學術。他建造了規(guī)模宏大的“藝神之宮”，作為學術研究和教學中心；他又建造了著名的亞歷山大圖書館，藏書75萬卷。托勒密一世深深懂得發(fā)展科學文化的重要意義，他邀請著名學者到亞歷山大城，當時許多著名的希臘數(shù)學家都來到了這個城市。
亞歷山大城郊有一座圓形的別墅，里面住著一位公主。圓形別墅中間有一條河，公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍墻各開了一個門，河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然后公主再派人從南門取回居室。
一天，公主問侍從：“從北門到我的臥室，和從北門到橋，哪一段路更遠？”侍從不知道，趕緊去測量，結(jié)果是兩段路一樣遠的。
過了幾年，公主的妹妹小公主張大了，國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣，有河，有橋，有南北門。國王滿口答應，小公主的別墅很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現(xiàn)了一個問題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢？
設，北門的位置為Q，南門的位置為P，臥室（圓心）為O，橋為K，
要確定北門的和橋的位置，關鍵是做出∠OPQ，設PO和河流的夾角是α
由 QK=QO，
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO，
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中，
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α這個角三等分，就能夠確定出橋和北門的位置了。解決問題的關鍵是如何三等分一個角。
工匠們試圖用尺規(guī)作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長的時間也沒有解決。于是他們?nèi)フ埥贪⒒椎隆?br /> 阿基米德用在直尺上做固定標記的方法，解決了三等分一角的問題，從而確定了北門的位置。正當大家稱贊阿基米德了不起時，阿基米德卻說：“這個確定北門位置的方法固然可行，但只是權(quán)宜之計，它是有破綻的。”阿基米德所謂的破綻就是在尺上做了標記，等于是做了刻度，這在尺規(guī)做圖法則中是不允許的。
這個故事提出了一個數(shù)學問題：如何尺規(guī)三等分任意已知角，這個問題連阿基米德都沒有解答出來。
利用角平分線
不可能的，幾百年來很多數(shù)學家都不能完成的，尺規(guī)三等分任意角，在中等數(shù)學中可以學到尺規(guī)三等份特殊角，如60度90度。
尺規(guī)作圖把一個角分成三等份有方法
在不作出蚌線的情況下求RS與蚌線的交點一般也是不可能的.三分角問題是尺規(guī)作圖不能問題是有證明的, 用到抽象代數(shù)的域擴張理論.大意是尺規(guī)作圖只能在已有的數(shù)上開平方, 因而域擴張次數(shù)一定是2的方冪.但是三等分角相當于解3次方程, 通常會造成一個3次擴張.舉例來說60°角就不能三等分, 因為cos...
如何把1條線段(角)平分成3等份呢?(只限尺規(guī)作圖)```任意的
為了方便敘述 我就直接過直線外C點做AB的平行線了（與上題無關）首先做AB的垂線EF（最方便的,中垂線,最基本的,我就不說了）然后過C點做EF的垂線 以C點為圓心做圓,圓弧交EF于GH 做GH的中垂線,這條中垂線就是我們要的平行線了 二、三等分角是尺規(guī)作圖法不能解決的三大問題之一 ...
怎樣把一個角用尺規(guī)作圖法平均分成三等分 !
不要把精力放在這些問題上，因為這早已被證明是不可能的。現(xiàn)在有些分的方法，都不是純幾何（尺規(guī)作圖）的方法。你如果學有余力的話，可以找點數(shù)學的小冊子來看看。如果應付學習尚困難的話，就不要費這個勁了。
如何將一個角三等分?
、化圓為方（畫一個與已知圓面積相等的正方形）是無法用尺規(guī)作圖法完成的。后來，人們嚴格證明了這些不能用尺規(guī)作圖法作出。不過，利用現(xiàn)代工具，三等分任意角是很簡單的。另外，尺規(guī)作圖法雖然不可以三等分任意角，但可以三等分任意線段。（我打得好辛苦啊，一點資料都沒看啊）...
如何將一個角三等分
告訴你一個用尺規(guī)作圖的方法：取角度的兩條邊OA,OB等長，連接兩端點A,B。以線段AB為直徑畫半圓,角度3等分就等價為將半圓3等分。分別以A,B為圓心，AB的一半為半徑畫圓，交半圓AB于兩點M,N，即AB的3等分點，連接OM,ON即將角度AOB三等分。
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磬折形尺如何三等分一個角 三等分一個角是引起許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)的古老的三大不可能作圖題之一。雖然僅僅用圓規(guī)和直尺不能把一個角三等分，但是可用被希臘人稱做磬折形尺的工具達到這目的。磬折形尺可用來作出和確定直角。古希臘人用它來三等分一個角的方法如下：第1步：用磬折形尺作一直線，平行于角的...
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參考下圖得到60°角，再平分60°角可得30°角，即為90°角的三等分角，當然不必畫這么多線，僅僅提供一種思路。
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尺規(guī)作圖,把一個角三等分,怎么做?
F點并連接OF，則OE，OF就是直角AOB的三等分 工具\/原料 尺 圓規(guī) 1、先做一個直角AOB 2、以O為圓心R為半徑做圓 3、圓與角的兩邊分別交于CD兩點 4、再以C為圓心以剛才R為半徑畫弧，弧與第二步的圓交于E點 5、連接OE 6、同上得到F點并連接OF，則OE，OF就是直角AOB的三等分 ...
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