初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分總結(jié)
正比例函數(shù)的概念
一般地，兩個變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)。
正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即一次函數(shù) y=kx+b 中，若b＝0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：y=kx（k為比例系數(shù)）
當(dāng)K＞0時（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大．
當(dāng)K＜0時（二四象限），k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增大時，y的值則逐漸減小．
[編輯本段]正比例函數(shù)的性質(zhì)
1.定義域：R（實數(shù)集）
2.值域：R（實數(shù)集）
3.奇偶性：奇函數(shù)
4.單調(diào)性：當(dāng)k>0時，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞增）；當(dāng)k<0時，圖象位于第二、四象限，y隨x的增大而減小（單調(diào)遞減）。
5.周期性：不是周期函數(shù)。
6.對稱軸：直線，無對稱軸。
[編輯本段]正比例函數(shù)解析式的求法
設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為 y=kx（k≠0），將已知點的坐標(biāo)帶入上式得到k，即可求出正比例函數(shù)的解析式。
另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點坐標(biāo)，則將兩個已知的函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，求出其x，y值即可。
[編輯本段]正比例函數(shù)的圖像
正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標(biāo)原點（0，0）和定點（x，kx）兩點的一條直線，它的斜率是k，橫、縱截距都為0。
[編輯本段]正比例函數(shù)圖像的作法
1.在x允許的范圍內(nèi)取一個值，根據(jù)解析式求出y值
2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點
3.做過第二步描出的點和原點的直線
[編輯本段]正比例函數(shù)的應(yīng)用
正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的。
比如斜率問題就取決于K值，當(dāng)K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大，反之亦然
還有，y=kx 是 y=k/x 的圖像的對稱軸。
①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示：
②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對于比值為正數(shù)的,即y=kx(k>0),此時的y與x,同時擴(kuò)大，同時縮小，比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù)． 所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成正比例關(guān)系． 注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時應(yīng)注意這兩種相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關(guān)系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關(guān)系。
[編輯本段]反比例函數(shù)的定義
一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝k／x (k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。
因為y=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=kx-¹。
[編輯本段]反比例函數(shù)表達(dá)式
y＝k／x 其中X是自變量，Y是X的函數(shù)
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^-1
y=k\x(k為常數(shù)(k≠0），x不等于0）
[編輯本段]反比例函數(shù)的自變量的取值范圍
① k ≠ 0; ②一般情況下 , 自變量 x 的取值范圍是 x ≠ 0 的一切實數(shù) ; ③函數(shù) y 的取值范圍也是一切非零實數(shù) .
[編輯本段]反比例函數(shù)圖象
反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線,
曲線越來越接近X和Y軸但不會相交（K≠0）。
[編輯本段]反比例函數(shù)性質(zhì)
1.當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖象分別位于第二、四象限。
2.當(dāng)k>0時.在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大。
k>0時，函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。
定義域為x≠0；值域為y≠0。
3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。
4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|
5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點。
6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關(guān)于原點對稱。
7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。
[編輯本段]反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例
【例1】反比例函數(shù) 的圖象上有一點P（m, n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t2-3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函數(shù)的解析式．
分析：
要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關(guān)于k的方程．
解：∵ m, n是關(guān)于t的方程t2-3t+k=0的兩根
∴ m+n=3，mn=k,
又 PO=根號13，
∴ m2+n2=13，
∴（m+n）2-2mn=13，
∴ 9-2k=13．
∴ k=-2
當(dāng) k=-2時，△=9+8＞0，
∴ k=-2符合條件，
【例2】直線 與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：
（1）直線與雙曲線的解析式；
（2）點A、A1的坐標(biāo).
分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段，
設(shè)A點坐標(biāo)為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|，
根據(jù)矩形的面積公式知|m·n|=6.
【例3】如圖，在 的圖象上有A、C兩點，分別向x軸引垂線，垂足分別為B、D，連結(jié)OC，OA，設(shè)OC與AB交于E，記△AOE的面積為S1，四邊形BDCE的面積為S2，試比較S1與S2的大小．
[編輯本段]數(shù)學(xué)術(shù)語
【讀音】yī cì hán shù
【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在一個變化過程中，有兩個變量X和Y，并且對于x每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說X是自變量，y是x的函數(shù)。表示為y＝Kx＋b（其中b為任意常數(shù),k不等于0），當(dāng)b＝0時稱y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。可表示為y=kx
[編輯本段]基本定義
變量：變化的量
常量：不變的量
自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：
y=kx+b （k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù)）
當(dāng)x取一個值時，y有且只有一個值與x對應(yīng)。如果有2個及以上個值與x對應(yīng)時，就不是一次函數(shù)。
x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù)。
特別的，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx （k為常量，但K≠0）正比例函數(shù)圖像經(jīng)過原點。
定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實際相符合。
[編輯本段]相關(guān)性質(zhì)
函數(shù)性質(zhì)
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）
2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的,坐標(biāo)為(0,b).
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
形、取、象、交、減。
4.當(dāng)b=0時(即 y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).
5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時，兩直線垂直；當(dāng)k，b都相同時，兩條直線重合。
圖像性質(zhì)
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表
（2）描點；[一般取兩個點,根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理]；
（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點。
3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。
4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：
當(dāng)k＞0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時：
當(dāng) k>0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限。
當(dāng) k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限。
當(dāng) k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限。
當(dāng) k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限。
當(dāng)b＞0時，直線必通過第一、二象限；
當(dāng)b＜0時，直線必通過第三、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k＞0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當(dāng)k＜0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1）
[編輯本段]表達(dá)式
解析式類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達(dá)局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
④參數(shù)較多，計算過于煩瑣；
⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)
[編輯本段]常用公式
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩個一次函數(shù)式圖像交點坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
兩個一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標(biāo)
6.求任意2點所連線段的中點坐標(biāo)：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
x y
+ + 在第一象限
+ - 在第四象限
- + 在第二象限
- - 在第三象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
10.
y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位
y=k（x+n）+b就是向左平移n個單位
口訣：右減左加（對于y=kx+b來說，只改變k）
y=kx+b+n就是向上平移n個單位
y=kx+b-n就是向下平移n個單位
口訣：上加下減（對于y=kx+b來說，只改變b）
[編輯本段]相關(guān)應(yīng)用
生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
3.當(dāng)彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函數(shù)，即y=kx+b（k為任意正數(shù)）
數(shù)學(xué)問題
一、確定字母系數(shù)的取值范圍
例1 已知正比例函數(shù) ，則當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。
解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
三、判斷函數(shù)圖象的位置
例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A .
典型例題
例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實際的思路來處理.
解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
則13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22
例2 某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較省？
此題要考慮X的范圍
解:設(shè)總費(fèi)用為Y元，刻錄X張
電腦公司：Y1=8X
學(xué)校 ：Y2=4X+120
當(dāng)X=30時，Y1=Y2
當(dāng)X>30時，Y1>Y2
當(dāng)X<30時，Y1<Y2
【考點指要】
一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
例3 如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式。
解：
（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
（2）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4
【考點指要】
此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))， 則稱y為x的二次函
數(shù)。頂點坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
2：頂點式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k (兩個式子實質(zhì)一樣,
但初中課本上都是第一個式子)
3：交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±根號下(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式）
求根的方法還有十字相乘法和配方法
[編輯本段]二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明X=什么
3與X軸交點坐標(biāo)，與Y軸交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)。
[編輯本段]拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時
（即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的
斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上
虛數(shù)i，整個式子除以2a）
當(dāng)a>0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①當(dāng)x=1時 y=a+b+c
②當(dāng)x=-1時 y=a-b+c
③當(dāng)x=2時 y=4a+2b+c
④當(dāng)x=-2時 y=4a-2b+c
8.定義域：R
值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函數(shù)
周期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交于一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時，對應(yīng)極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a>0 且X≥(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≤（X1+X2）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
[編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點坐標(biāo)
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
對 稱 軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象；
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)²+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標(biāo)）
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點．當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（小）值時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
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一般地，兩個變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)。
正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)，但一次函數(shù)卻不一定是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式，即一次函數(shù) y=kx+b 中，若b＝0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的關(guān)系式表示為：y=kx（k為比例系數(shù)）
當(dāng)K＞0時（一三象限），K越大，圖像與y軸的距離越近。函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大．
當(dāng)K＜0時（二四象限），k越小，圖像與y軸的距離越近。自變量x的值增大時，y的值則逐漸減小．
[編輯本段]正比例函數(shù)的性質(zhì)
1.定義域：R（實數(shù)集）
2.值域：R（實數(shù)集）
3.奇偶性：奇函數(shù)
4.單調(diào)性：當(dāng)k>0時，圖象位于第一、三象限，y隨x的增大而增大（單調(diào)遞增）；當(dāng)k<0時，圖象位于第二、四象限，y隨x的增大而減小（單調(diào)遞減）。
5.周期性：不是周期函數(shù)。
6.對稱軸：直線，無對稱軸。
[編輯本段]正比例函數(shù)解析式的求法
設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為 y=kx（k≠0），將已知點的坐標(biāo)帶入上式得到k，即可求出正比例函數(shù)的解析式。
另外，若求正比例函數(shù)與其它函數(shù)的交點坐標(biāo)，則將兩個已知的函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，求出其x，y值即可。
[編輯本段]正比例函數(shù)的圖像
正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過坐標(biāo)原點（0，0）和定點（x，kx）兩點的一條直線，它的斜率是k，橫、縱截距都為0。
[編輯本段]正比例函數(shù)圖像的作法
1.在x允許的范圍內(nèi)取一個值，根據(jù)解析式求出y值
2.根據(jù)第一步求的x、y的值描出點
3.做過第二步描出的點和原點的直線
[編輯本段]正比例函數(shù)的應(yīng)用
正比例函數(shù)在線性規(guī)劃問題中體現(xiàn)的力量也是無窮的。
比如斜率問題就取決于K值，當(dāng)K越大，則該函數(shù)圖像與x軸的夾角越大，反之亦然
還有，y=kx 是 y=k/x 的圖像的對稱軸。
①正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關(guān)系可以用以下關(guān)系式表示：
②正比例關(guān)系兩種相關(guān)聯(lián)的量的變化規(guī)律：對于比值為正數(shù)的,即y=kx(k>0),此時的y與x,同時擴(kuò)大，同時縮小，比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
以上各種商都是一定的，那么被除數(shù)和除數(shù)． 所表示的兩種相關(guān)聯(lián)的量，成正比例關(guān)系． 注意：在判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例時應(yīng)注意這兩種相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關(guān)系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關(guān)系。
[編輯本段]反比例函數(shù)的定義
一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝k／x (k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。
因為y=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=kx-¹。
[編輯本段]反比例函數(shù)表達(dá)式
y＝k／x 其中X是自變量，Y是X的函數(shù)
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^-1
y=k\x(k為常數(shù)(k≠0），x不等于0）
[編輯本段]反比例函數(shù)的自變量的取值范圍
① k ≠ 0; ②一般情況下 , 自變量 x 的取值范圍是 x ≠ 0 的一切實數(shù) ; ③函數(shù) y 的取值范圍也是一切非零實數(shù) .
[編輯本段]反比例函數(shù)圖象
反比例函數(shù)的圖象屬于雙曲線,
曲線越來越接近X和Y軸但不會相交（K≠0）。
[編輯本段]反比例函數(shù)性質(zhì)
1.當(dāng)k>0時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k<0時，圖象分別位于第二、四象限。
2.當(dāng)k>0時.在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大。
k>0時，函數(shù)在x<0上為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。
定義域為x≠0；值域為y≠0。
3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。
4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1＝S2=|K|
5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點。
6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關(guān)于原點對稱。
7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則b²+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。
[編輯本段]反比例函數(shù)的應(yīng)用舉例
【例1】反比例函數(shù) 的圖象上有一點P（m, n）其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t2-3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函數(shù)的解析式．
分析：
要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關(guān)于k的方程．
解：∵ m, n是關(guān)于t的方程t2-3t+k=0的兩根
∴ m+n=3，mn=k,
又 PO=根號13，
∴ m2+n2=13，
∴（m+n）2-2mn=13，
∴ 9-2k=13．
∴ k=-2
當(dāng) k=-2時，△=9+8＞0，
∴ k=-2符合條件，
【例2】直線 與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：
（1）直線與雙曲線的解析式；
（2）點A、A1的坐標(biāo).
分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段，
設(shè)A點坐標(biāo)為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|，
根據(jù)矩形的面積公式知|m·n|=6.
【例3】如圖，在 的圖象上有A、C兩點，分別向x軸引垂線，垂足分別為B、D，連結(jié)OC，OA，設(shè)OC與AB交于E，記△AOE的面積為S1，四邊形BDCE的面積為S2，試比較S1與S2的大小．
[編輯本段]數(shù)學(xué)術(shù)語
【讀音】yī cì hán shù
【解釋】函數(shù)的基本概念：一般地，在一個變化過程中，有兩個變量X和Y，并且對于x每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說X是自變量，y是x的函數(shù)。表示為y＝Kx＋b（其中b為任意常數(shù),k不等于0），當(dāng)b＝0時稱y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。可表示為y=kx
[編輯本段]基本定義
變量：變化的量
常量：不變的量
自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：
y=kx+b （k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù)）
當(dāng)x取一個值時，y有且只有一個值與x對應(yīng)。如果有2個及以上個值與x對應(yīng)時，就不是一次函數(shù)。
x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù)。
特別的，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx （k為常量，但K≠0）正比例函數(shù)圖像經(jīng)過原點。
定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義；要與實際相符合。
[編輯本段]相關(guān)性質(zhì)
函數(shù)性質(zhì)
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）
2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的,坐標(biāo)為(0,b).
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
形、取、象、交、減。
4.當(dāng)b=0時(即 y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).
5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交；當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時，兩直線垂直；當(dāng)k，b都相同時，兩條直線重合。
圖像性質(zhì)
1．作法與圖形：通過如下3個步驟
（1）列表
（2）描點；[一般取兩個點,根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理]；
（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）
2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點。
3．函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系。
4．k，b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：
當(dāng)k＞0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b時：
當(dāng) k>0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限。
當(dāng) k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限。
當(dāng) k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限。
當(dāng) k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限。
當(dāng)b＞0時，直線必通過第一、二象限；
當(dāng)b＜0時，直線必通過第三、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k＞0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當(dāng)k＜0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1）
[編輯本段]表達(dá)式
解析式類型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達(dá)局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達(dá)沒有斜率的直線（平行于x軸的直線）；
④參數(shù)較多，計算過于煩瑣；
⑤不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過圓點的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設(shè)一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)
[編輯本段]常用公式
1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根號下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）
5.求兩個一次函數(shù)式圖像交點坐標(biāo)：解兩函數(shù)式
兩個一次函數(shù) y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 兩式任一式 得到y(tǒng)=y0 則(x0,y0)即為 y1=k1x+b1 與 y2=k2x+b2 交點坐標(biāo)
6.求任意2點所連線段的中點坐標(biāo)：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母為0，則分子為0)
x y
+ + 在第一象限
+ - 在第四象限
- + 在第二象限
- - 在第三象限
8.若兩條直線y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如兩條直線y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
10.
y=k（x-n）+b就是向右平移n個單位
y=k（x+n）+b就是向左平移n個單位
口訣：右減左加（對于y=kx+b來說，只改變k）
y=kx+b+n就是向上平移n個單位
y=kx+b-n就是向下平移n個單位
口訣：上加下減（對于y=kx+b來說，只改變b）
[編輯本段]相關(guān)應(yīng)用
生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
3.當(dāng)彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函數(shù)，即y=kx+b（k為任意正數(shù)）
數(shù)學(xué)問題
一、確定字母系數(shù)的取值范圍
例1 已知正比例函數(shù) ，則當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。
解：根據(jù)正比例函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比較x值或y值的大小
例2. 已知點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函數(shù)y=3x+4的圖象上的兩個點，且y1>y2，則x1與x2的大小關(guān)系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.無法確定
解：根據(jù)題意，知k=3>0，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。
三、判斷函數(shù)圖象的位置
例3. 一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同號。因為y隨x的增大而減小，所以k<0。所以b<0。故一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限。故選A .
典型例題
例1. 一個彈簧，不掛物體時長12cm,掛上物體后會伸長，伸長的長度與所掛物體的質(zhì)量成正比例.如果掛上3kg物體后，彈簧總長是13.5cm，求彈簧總長是y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式.如果彈簧最大總長為23cm，求自變量x的取值范圍.
分析：此題由物理的定性問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的定量問題，同時也是實際問題，其核心是彈簧的總長是空載長度與負(fù)載后伸長的長度之和，而自變量的取值范圍則可由最大總長→最大伸長→最大質(zhì)量及實際的思路來處理.
解：由題意設(shè)所求函數(shù)為y=kx+12
則13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函數(shù)解析式為y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤22
例2 某學(xué)校需刻錄一些電腦光盤，若到電腦公司刻錄，每張需8元，若學(xué)校自刻，除租用刻錄機(jī)120元外，每張還需成本4元，問這些光盤是到電腦公司刻錄，還是學(xué)校自己刻費(fèi)用較省？
此題要考慮X的范圍
解:設(shè)總費(fèi)用為Y元，刻錄X張
電腦公司：Y1=8X
學(xué)校 ：Y2=4X+120
當(dāng)X=30時，Y1=Y2
當(dāng)X>30時，Y1>Y2
當(dāng)X<30時，Y1<Y2
【考點指要】
一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)在中考說明中是C級知識點，特別是根據(jù)問題中的條件求函數(shù)解析式和用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式在中考說明中是D級知識點.它常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有8分左右.解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
例3 如果一次函數(shù)y=kx+b中x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的的解析式。
解：
（1）若k＞0，則可以列方程組 -2k+b=-11
6k+b=9
解得k=2.5 b=-6 ，則此時的函數(shù)關(guān)系式為y=2.5x—6
（2）若k＜0，則可以列方程組 -2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-2.5 b=4，則此時的函數(shù)解析式為y=-2.5x+4
【考點指要】
此題主要考察了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，若k＞0，則y隨x的增大而增大；若k＜0，則y隨x的增大而減小。
定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式：1：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))， 則稱y為x的二次函
數(shù)。頂點坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
2：頂點式：y=a(x-h）^2+k或y=a(x+m)^2+k (兩個式子實質(zhì)一樣,
但初中課本上都是第一個式子)
3：交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±根號下(b^2-4ac)]/2a (即一元二次方程求根公式）
求根的方法還有十字相乘法和配方法
[編輯本段]二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明X=什么
3與X軸交點坐標(biāo)，與Y軸交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)。
[編輯本段]拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時
（即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的
斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上
虛數(shù)i，整個式子除以2a）
當(dāng)a>0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①當(dāng)x=1時 y=a+b+c
②當(dāng)x=-1時 y=a-b+c
③當(dāng)x=2時 y=4a+2b+c
④當(dāng)x=-2時 y=4a-2b+c
8.定義域：R
值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函數(shù)
周期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交于一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+k[頂點式]
此時，對應(yīng)極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a>0 且X≥(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≤（X1+X2）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
[編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
頂點坐標(biāo)
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
對 稱 軸
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象；
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)²+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2;+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標(biāo)）
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點．當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（小）值時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)歸納
（5）b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限。二次函數(shù) 1、定義：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向）。2、二次函數(shù)的三種表達(dá)式 （1）一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)（2）頂點...
高一數(shù)學(xué)必修1函數(shù)概念知識總結(jié)
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對稱。冪函數(shù)y=x^a中的a是常數(shù)，x是變量，要求掌握a=1，a=0，a=-1，a=1\/2，a=-1\/2這五種情況。冪函數(shù)的性質(zhì)包括：所有冪函數(shù)在區(qū)間(0, +∞)都有定義，并且圖像都過點(1,1)；當(dāng)a>0時，冪函數(shù)的圖像都通過原點，并且在區(qū)間(0, +...
初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)
(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b\/k，0)。(3)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。(4)k，b與函數(shù)圖像所在象限的關(guān)系：當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。當(dāng)k>0，b>0時，直線通過一、二、三象限;當(dāng)k>0，b<0時，直線通過一、三、四象限;...
函數(shù)性質(zhì)知識點總結(jié)
1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值 2 利用圖象求函數(shù)的.最大(小)值 3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[...
初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納
反比例函數(shù)知識點總結(jié) (1)反比例函數(shù)：如果(k是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的反比例函數(shù)。(2)反比例函數(shù)的圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。(3)反比例函數(shù)的性質(zhì) ①當(dāng)k＞0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限內(nèi)，在各自的象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。②當(dāng)k＜0時，圖象的兩個分支分別在第...
初中函數(shù)入門知識點總結(jié)
函數(shù)的分類 （一）常函數(shù) x取定義域內(nèi)任意數(shù)時，都有y=C（C是常數(shù)），則函數(shù)y=C稱為常函數(shù)，其圖象是平行于x軸的直線或直線的一部分。（二）一次函數(shù) 1.一般形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），其中x是自變量，y是因變量。特別地，當(dāng)b=0時，y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的...
初中函數(shù)知識總結(jié)
初中數(shù)學(xué)函數(shù)總結(jié) 形如y=kx(k為常數(shù)，且k不等于0），y就叫做x的正比例函數(shù)。 圖象做法:1。帶定系數(shù) 2。描點 3。連線 圖象是一條直線，一定經(jīng)過坐標(biāo)軸的原點 性質(zhì):當(dāng)k>0時，圖象經(jīng)過一，三象限，y隨x的增大而增大 當(dāng)k<0時，圖象經(jīng)過二，四象限，y隨x的增大而減小形如 y＝k／x(k為常數(shù)...
高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)知識總結(jié)
函數(shù)(function)表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)f中對應(yīng)輸入值的輸出值x的標(biāo)準(zhǔn)符號為f(x)。包含某個函數(shù)所有的輸入值的集合被稱作這個函數(shù)的定義域,包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念,可以簡單定義函數(shù)為,定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。經(jīng)典定義: 在某變化過程中設(shè)有兩...
高一數(shù)學(xué)知識點-高一函數(shù)總結(jié)
一次函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種基本函數(shù)類型，通常表示為y = kx + b，其中x為自變量，y為因變量，k和b為常數(shù)。當(dāng)b=0時，一次函數(shù)成為正比例函數(shù)，即y = kx。一次函數(shù)的性質(zhì)包括但不限于：y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比。二次函數(shù) 二次函數(shù)是數(shù)學(xué)中另一種重要的函數(shù)類型，其一般形式為y = ax^...
初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納整理
初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié) I.定義與定義表達(dá)式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達(dá)式的右...
相關(guān)評說：
開化縣尺寸： ______ 1.常量和變量 在某變化過程中可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.在某變化過程中保持同一數(shù)值的量或數(shù),叫常量或常數(shù). 2.函數(shù) 設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x在某一范圍的每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量...
開化縣尺寸： ______ 1、勾股定理:直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方. 2、在Rt△ABC中,∠C為直角,則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B) 3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值. 4...
開化縣尺寸： ______ 我目前只學(xué)了一次函數(shù),見下 【基本目標(biāo)要求】 一、經(jīng)歷函數(shù)、一次函數(shù)等概念的抽象概括過程,體會函數(shù)的模型思想,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力. 二、初步理解函數(shù)的概念,了解函數(shù)的列表法、圖象法和解析法的表示方法. 三、經(jīng)歷利用一...
開化縣尺寸： ______ 一次函數(shù)(初中部分) 一般表達(dá)式:Y=KX+b 純數(shù)學(xué)中的取值范圍:一切實數(shù);Y的范圍:一切實數(shù) 圖像:一條直線 圖像特點:過點(0,b);K0時,Y隨X增大而增大 求表達(dá)式:找出圖像上任意兩點,列出二元一次方程組求K和b (高中知識) ...
開化縣尺寸： ______ 一. 變量與常量 1)在某一個變化過程中,取同一數(shù)值的量叫做常量.在某一個變化過程中,取不同的數(shù)值的量叫做變量. 2)在某一個變化過程中,有兩個變量:x和y,當(dāng)x取每一個值時,y對應(yīng)地取唯一的一個值,此時,y叫做x的函數(shù),也叫做...
開化縣尺寸： ______ 初中三角函數(shù)公式不多1.sin2A+cos2A=12.tanA=sinA/cosA3.sin(90°-A)=cosA cos(90°-A)=sinA tan(90°-A)*tanA=1 如果參加競賽,初中還要學(xué)正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理 a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA ...
開化縣尺寸： ______ 正比例函數(shù)y=bx 反比例函數(shù)y=k/x 一次函數(shù)y=bx=k 二次函數(shù)y=ax2+bx+c y=a(x-k)2=b y=a(x-x1)(x-x2)
開化縣尺寸： ______ 3. 一次函數(shù)的應(yīng)用
開化縣尺寸： ______ 初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 一、基本知識 一、數(shù)與代數(shù)A、數(shù)與式:1、有理數(shù)有理數(shù):①整數(shù)→正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)②分?jǐn)?shù)→正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù) 數(shù)軸:①畫一條水平直線,在直線上取一點表示0(原點),選取某一長度作為單位長度,規(guī)定直線上向右的方向...
開化縣尺寸： ______ 函數(shù)表示方法:解析法 列表法 圖像法 正比例函數(shù):y=kx(k為常數(shù),k≠0) 當(dāng)k>0時,圖像過一、二象限,y隨x的增大而增大 當(dāng)k<0時,圖像過二、四象限,y隨x的增大而減小 一次函數(shù):y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0) 當(dāng)b=0時,y=kx+b = y=kx ,所以正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊形式 反比例函數(shù):y=k/x(k是常數(shù),k≠0) 二次函數(shù):y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù)a≠0) 銳角三角函數(shù): 正弦定義:sinA=∠A的對邊/斜邊=a/c 余弦定義: cosA=∠A的鄰邊/斜邊=b/c 正切定義:tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊=a/b
