矩陣相似一定要對(duì)角化嗎？
只要求相似于對(duì)角陣，則不必對(duì)P正交化，但這時(shí)是P^-1AP為對(duì)角陣。
正交化后，P^T=P^-1，所以正交化的目的就是為了得出P^TAP=P^-1AP為對(duì)角陣。
只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，或說若一個(gè)方陣除了主對(duì)角線上的元素外，其余元素都等于零，則稱之為對(duì)角陣。
對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的n階對(duì)角（矩）陣稱為單位（矩）陣，記作：
主對(duì)角線以下元素都為零的方陣，稱為上三角陣，即
主對(duì)角線上方元素都為零的方陣，稱為下三角陣。
可見，對(duì)角陣既是上三角陣，又是下三角陣。
擴(kuò)展資料：
矩陣的對(duì)角線有許多性質(zhì)，如做轉(zhuǎn)置運(yùn)算時(shí)對(duì)角線元素不變、相似變換時(shí)對(duì)角線的和(稱為矩陣的跡)不變等。
在研究矩陣時(shí)，很多時(shí)候需要將矩陣的對(duì)角線上的元素提取出來形成一個(gè)列向量，而有時(shí)又需要用一個(gè)向量構(gòu)造一個(gè)對(duì)角陣。
通常把對(duì)角陣分為正對(duì)角陣和反對(duì)角陣。
正對(duì)角陣，例如：
反對(duì)角陣，例如：
矩陣相似的定義是什么?
證明兩個(gè)矩陣相似的充要條件：1、兩者的秩相等 2、兩者的行列式值相等 3、兩者的跡數(shù)相等 4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同 5、兩者擁有同樣的特征多項(xiàng)式 6、兩者擁有同樣的初等因子 若A與對(duì)角矩陣相似，則稱A為可對(duì)角化矩陣，若n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則稱A為單...
如果矩陣相似,那么一定可以相似對(duì)角化嗎?
矩陣相似的充要條件是特征矩陣等價(jià)行列式因子相同不變，因子相同初等因子相同，且特征矩陣的秩相同轉(zhuǎn)置矩陣相似。資料擴(kuò)展：在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。代數(shù)，是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、...
兩個(gè)矩陣相似的充要條件是什么?
若兩個(gè)矩陣都可對(duì)角化，且特征值相同，則兩個(gè)矩陣相。似兩個(gè)矩陣相似那么這兩個(gè)矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，這是一個(gè)必要條件，并不充分（就是說還不夠全面）。全面的說應(yīng)該是還要有相同的特征值，或者和在一起說兩個(gè)矩陣有相同的初等因子。
相似對(duì)角化的條件
N階方陣可對(duì)角化的充要條件是N階方陣中有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量。如果這個(gè)N階方陣有N個(gè)不同的特征值，那么矩陣中一定有一個(gè)相似的矩陣。如果N階方陣中有重復(fù)特征值，則每個(gè)特征值的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重復(fù)次數(shù)。如果n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值，那么A一定與對(duì)角矩陣相似。N...
如果兩個(gè)矩陣都不相似對(duì)角化,那怎么判定這兩個(gè)矩陣相似呢
然而，這并不意味著它們絕對(duì)不相似，因?yàn)檫€可能存在其他形式的可逆變換使一個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為另一個(gè)。若兩個(gè)矩陣都不相似對(duì)角化，我們不能直接斷定它們不相似。因?yàn)橄嗨脐P(guān)系的判定不僅依賴于對(duì)角化，還需考慮矩陣間的線性關(guān)系。具體來說，兩個(gè)矩陣相似意味著它們具有相同的特征值和特征向量結(jié)構(gòu)，即使不能直接...
判斷兩個(gè)矩陣相似的充要條件是相似同一個(gè)對(duì)角陣嗎
你這個(gè)條件只對(duì)可對(duì)角化的矩陣才成立 正確的充要條件是相似于同一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型
為什么矩陣a和b相似,但是a和b不一定相似于同一個(gè)對(duì)角陣
然而，A和B必定具有相同的特征值，這是相似矩陣的一個(gè)基本性質(zhì)。即便它們不能同時(shí)對(duì)角化為同一個(gè)對(duì)角陣，但它們的特征值集合是相同的，即它們的特征多項(xiàng)式的根是相同的。總結(jié)來說，矩陣A與B相似意味著它們擁有相同的特征值，但特征值的具體排列順序取決于對(duì)應(yīng)的特征向量。因此，A與B不一定能夠同時(shí)對(duì)角...
怎樣判斷一個(gè)方陣相似對(duì)角可以相似對(duì)角化?
(1)充要條件：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量;(2)充要條件的另一種形式：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k (3)充分條件：如果An的n個(gè)特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對(duì)角化;(4)充分條件：如果An是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么An一定可以相似...
不能對(duì)角化的矩陣還能相似嗎
不能。因?yàn)橄嗨婆卸ㄊ遣豢蓪?duì)角化矩陣判定特征值相同的矩陣相似。其中一個(gè)矩陣可以對(duì)角化，另外一個(gè)不能對(duì)角化，利用相似的傳遞性，能判定這兩個(gè)矩陣不相似。但是對(duì)于不可對(duì)角化的兩個(gè)矩陣，要想判定相似，做對(duì)也只是運(yùn)氣。
怎么判斷這幾個(gè)矩陣和它相似??矩陣相似有充要條件嗎?必采納!
必要條件：特征值相同；兩個(gè)矩陣的志相同；行列式相同；斜對(duì)角線元素累加相同。但是有時(shí)候利用以上條件都判斷不了，就需要用“AB兩個(gè)矩陣相似同一個(gè)對(duì)角矩陣去判斷了” 。有時(shí)候也不可以通過“相似同一個(gè)對(duì)角矩陣去判斷”，因?yàn)橛行?duì)角化不是充要條件，有些矩陣之間相似，但是他們不可以對(duì)角化。
相關(guān)評(píng)說：
元陽縣圓柱： ______ 當(dāng)然不一定了.倒過來看,有很多非對(duì)稱矩陣相似于對(duì)角陣,而對(duì)角陣是對(duì)稱的,這樣的矩陣都可以當(dāng)作反例. 若A與對(duì)角矩陣相似,則稱A為可對(duì)角化矩陣,若n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,則稱A為單純矩陣.相似矩陣具有相同的可逆...
元陽縣圓柱： ______ 不一定,要A能相似對(duì)角化,必須要找到使其對(duì)角化的矩陣,這個(gè)矩陣式由A的特征向量構(gòu)成的, Λ=p^-1Ap,而p必須可逆,即對(duì)于n階矩陣要有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量;書上給出的兩種可相似化得條件:1,有不相同的特征向量2,對(duì)稱矩陣.可逆和相似對(duì)角化沒有必然關(guān)系.
元陽縣圓柱： ______ 首先其次方程組AX=0 A:m*n 若rank(A)=m 則解空間的維數(shù)為n-m 這是最最常用的一個(gè)結(jié)論 關(guān)于當(dāng)(A-2E)的秩為1時(shí),就有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量 用上面的結(jié)論就好理解了 特征值2對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)就是方程 (A-2E)X=0的解空間維數(shù) 所以當(dāng)(A-2E)的秩為1時(shí) 就有3-1=2個(gè)線性無關(guān)的特征向量 就可以對(duì)角化 若(A-2E)的秩為2 那么就只有3-2=1個(gè)線性無關(guān)的特征向量 特征值的重?cái)?shù)<線性無關(guān)的個(gè)數(shù) 就不能對(duì)角化
元陽縣圓柱： ______[答案] 一般情況下只需矩陣的相似對(duì)角化 但對(duì)二次型 f = X^TAX,A是實(shí)對(duì)稱矩陣,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí),涉及矩陣A的對(duì)角化, 此時(shí)需要變換X=PY 是正交變換. 這樣的話,P^T=P^-1 所以 f = YP^TAPY = Y P^1AP Y
元陽縣圓柱： ______ 你好!對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化并不一定要用正交陣,但使用正交陣在某些場(chǎng)合比較便利,在二次型理論中也有其他方面的好處.單純的相似對(duì)角化,只要是n個(gè)線性無關(guān)的特征向量拼出來的矩陣都是符合要求的.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)幫你解答,請(qǐng)及時(shí)采納.謝謝!
元陽縣圓柱： ______[答案] 實(shí)對(duì)稱矩陣相似于由其特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣 所以,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值相同時(shí),它們相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣 由相似的傳遞性知它們相似. 一般矩陣不一定可對(duì)角化.這是區(qū)別
元陽縣圓柱： ______[答案] P^-1AP = 對(duì)角矩陣 正交對(duì)角化要求 P 是正交矩陣,即P可逆且 P^-1 = P^T 即是相似變換又是合同變換,用于二次型 可逆矩陣相似對(duì)角化 一般考慮的是方陣,并不要求方陣可逆,要求 P 可逆 可對(duì)角化就是A可相似對(duì)角化,即存在可逆矩陣P使得 P^-...
元陽縣圓柱： ______ 1.合同是針對(duì)對(duì)稱矩陣來說的,也就是在二次型里面才有,兩個(gè)矩陣的正慣性指數(shù)相等就合同2.矩陣等價(jià):與等價(jià)矩陣能夠經(jīng)過初等變換變成矩陣; 3.相似: 存在可逆...
元陽縣圓柱： ______ 對(duì)稱矩陣的一定和對(duì)角陣相似,但對(duì)稱矩陣的相似矩陣不一定對(duì)稱. 下面簡要證明之. 若n階非對(duì)稱矩陣A可逆,A有n個(gè)相異的特征值,那么A一定可以相似對(duì)角化對(duì)角陣B, 即非對(duì)稱矩陣A可以相似對(duì)稱矩陣B. 此時(shí)A相似B,也就是B相似A,那么對(duì)稱矩陣B相似非對(duì)稱矩陣A. newmanhero 2015年5月8日20:55:11 希望對(duì)你有所幫助,望采納.
元陽縣圓柱： ______[答案] 不是的.二階矩陣{1,1;0,0},這個(gè)矩陣特征值是1和0,因此秩是1.但是他不與對(duì)角陣相似(根據(jù)矩陣上三角化理論,他只與上三角矩陣也就是他本身相似). 矩陣要與對(duì)角陣相似,首先要滿足矩陣是對(duì)稱矩陣.如果你那個(gè)加上對(duì)稱矩陣的條件,就對(duì)了.秩...
