三角形有幾個(gè)心？是什么線的焦點(diǎn)？有什么特性？比如說 內(nèi)心:角平分線的交點(diǎn)-到三邊距離相等…… 求 三角形的角平分線的交點(diǎn)叫什么，垂直平方線的交點(diǎn)叫什么？
一、 三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。
三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）
重心的性質(zhì)：
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1。
2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。
3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質(zhì)：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。
4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。
垂心的性質(zhì)：
1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG∶GH=1∶2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））
3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F ，求證：CF⊥AB
證明：
連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形內(nèi)心定理
三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。
內(nèi)心的性質(zhì)：
1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。
2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、P為ΔABC所在平面上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質(zhì)：
1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。
2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點(diǎn)M就是△ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。
有關(guān)三角形五心的詩歌 三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）
三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心， 五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧， 交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，
重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉； 長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三個(gè)內(nèi)角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)．
此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓． 內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，
直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形， 四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.
內(nèi) 心
三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線， 三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；
點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓， 此圓圓心稱“內(nèi)心”，如此定義理當(dāng)然．
1、內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓圓心，三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)，到三邊的距離相等地。
2、重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=交點(diǎn)到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍
3、垂心：三角形的三條高的交點(diǎn)，
4、外心：三角形的外接圓圓心，交點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離相等
5、旁心：三角形的兩個(gè)外角平分線各另外一個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，到三角形各邊中點(diǎn)距離相等。
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三角形的“三個(gè)心”是什么,又有什么性質(zhì)的???
1.分別是重心，內(nèi)心，外心。2.內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。外心是三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。重心是三條中線的交點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。
三角形的中線,高,角平分線的焦點(diǎn)分別叫什么心?高中數(shù)學(xué)還說過那些心...
角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心，內(nèi)心是三角新內(nèi)切圓圓心，內(nèi)心到三角形三邊距離相等三條邊的中垂線的交點(diǎn)叫外心，外心是三角形外接圓圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等兩個(gè)外角平分線與第三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫三角形的旁心，旁心有三個(gè)，旁心到三邊距離相等 ...
三角形五心定律是指什么?
內(nèi)心：三條角平分線焦點(diǎn)。到三邊距離相等，為三角形內(nèi)切圓圓心 外心：三邊中垂線交點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，為三角形外接圓圓心 重心：三條中線交點(diǎn)，為三角形幾何重心，交點(diǎn)把每條中線分成1:2兩部分 垂心：三條高線交點(diǎn) 中心：等邊三角形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，即等邊三角形繞此點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度、120度與原圖形...
在空間幾何內(nèi)什么叫重心,垂心,外心,內(nèi)心?
在幾何學(xué)的舞臺(tái)上，三角形的五心如同五位明星，各自擁有獨(dú)特的魅力和位置。內(nèi)心，是三角形內(nèi)部的焦點(diǎn)，由三條角平分線交匯而成，象征著三角形的“內(nèi)心世界”。外心，位于三角形的外部，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)。它代表著三角形的“外緣”，是外接圓的中心，與內(nèi)心形成鮮明對(duì)比。重心，是三角形的“重心”...
請(qǐng)問三角形的各個(gè)“心”之間有何關(guān)系嗎?內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心...
內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)：外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)：垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)或三條高線所在直線的交點(diǎn)：旁心是三角形外角角平分線的交點(diǎn)：它們之間沒有關(guān)系，若要找關(guān)系，只有當(dāng)三角形是等邊三角形時(shí)，內(nèi)心、外心、重心、垂心這四心重合。...
請(qǐng)問三角形的“幾個(gè)心”分別是什么?
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三角形有哪幾個(gè)心?重心、內(nèi)心、垂心等
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三角形的中心是什么線的焦點(diǎn)?
1.垂心三角形三條邊上的高相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的垂心.2.重心三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的重心.3. 三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心4. 三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心，重心 三邊上中...
三角形的五心分別是什么?
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高平市開式： ______[答案] 重心是中線交點(diǎn),內(nèi)心是角平分線交點(diǎn)(或內(nèi)切圓的圓心), 外心是中垂線交點(diǎn)(或外接圓的圓心),垂心是高線交點(diǎn), 這稱三角形的四心.
高平市開式： ______ 1.垂心三角形三條邊上的高相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的垂心.2.重心三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的重心.3. 三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心,稱外心4. 三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心,稱內(nèi)心,重心 三邊上中線的交點(diǎn) 垂心 三條高的交點(diǎn) 內(nèi)心 內(nèi)接圓圓心 三個(gè)角角平分線交點(diǎn) 外心 外接圓圓心 三條邊的垂直平分線交點(diǎn) 還有一個(gè)心叫傍心:外角平分線的交點(diǎn)(有3個(gè)),(或傍切圓的圓心) 只有正三角形才有中心,這時(shí)重心,內(nèi)心.外心,垂心,四心合一. 追問: 那正三角形的中心在那,是它的重心嗎 回答: 正三角形所有心重和
高平市開式： ______[答案] 內(nèi)心:三條角平分線交點(diǎn) 外心:三條變得中垂線交點(diǎn) 重心:三條中線交點(diǎn) 旁心:兩條外角平分線焦點(diǎn),有三個(gè)旁心啊 垂心:三條垂線焦點(diǎn)
高平市開式： ______[答案] 中心,是重心,外心,內(nèi)心,垂心的交點(diǎn),只有正三角形有 重心是中線的交點(diǎn).外心是角平分線的交點(diǎn),是外切圓的圓心.內(nèi)心是到各邊相等的線段的交點(diǎn),是內(nèi)接圓的圓心.垂心是高的交點(diǎn)
高平市開式： ______[答案] 五心重心:三角形三條中線的交點(diǎn)外心:三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)(也是三角形外接園的圓心)內(nèi)心:三角形內(nèi)心為三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(也是三角形內(nèi)切圓的圓心)垂心:三角形三邊上的三條高線的交點(diǎn)旁心:...
高平市開式： ______[答案] 內(nèi)心:三角形三條角分線交點(diǎn) 外心:三角形三條垂直平分線交點(diǎn) 垂心:三角形三條高線交點(diǎn) 旁心:三角形其中兩條外角平分線與另一個(gè)角的內(nèi)角平分線交點(diǎn) 重心:三角形三條中線交點(diǎn) 正三角形四心合一(除旁心)
高平市開式： ______ .三角形共有六心 內(nèi)心:三條角平分線的交點(diǎn),也是三角形內(nèi)切圓的圓心. 性質(zhì):到三邊距離相等. 外心:三條中垂線的交點(diǎn),也是三角形外接圓的圓心. 性質(zhì):到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等. 重心:三條中線的交點(diǎn). 性質(zhì):三條中線的三等分點(diǎn),到...
高平市開式： ______ 內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn),它到三邊的距離相等. 外心是三條邊垂直平分線的交點(diǎn),它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. 重心是三條中線的交點(diǎn),它到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍. 垂心是三條高的交點(diǎn),它能構(gòu)成很多直角三角形相似. 旁心是一個(gè)內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn),它到三邊的距離相等.
高平市開式： ______[答案] 1 外心 外接圓圓心,為三邊中垂線交點(diǎn) ,到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 2 內(nèi)心 內(nèi)切圓圓心,為三角角分線交點(diǎn),到三邊的距離相等 3 重心 三條中線的交點(diǎn) 4 垂心 三條高線的交點(diǎn) 5 旁心 一個(gè)三角形內(nèi)角平分線與其不相鄰的兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn),它到三邊...
