為什么有限群一定同構(gòu)于一般線性群的子群 數(shù)學(xué)中“群”的概念和應(yīng)用
"有限群作為矩陣群(Finite groups as matrix groups)"
中有,你可以參考一下.
思路就是先將 n 階有限群嵌入置換群 S_n ( wiki 上的 G 是這個置換群), 這是 Cayley 的古典定理( 利用 left translation). 然后,令 V 是(任意給定的) 域 K 上的 n 維向量空間, 那么 n 元有限集合 上的每個置換(i.e.雙射) 可以唯一地決定 n 維空間 V 的一個自同構(gòu).(通過在選定的基 ( e_i) 上的作用.這里實際上應(yīng)用了自由對象的泛性(universal property).)
如何證明一般線性群的中心是一切純量矩陣作成的子群
設(shè)實數(shù)域上的行列式為1的n階方陣全體構(gòu)成的集合為H，n階可逆矩陣全體關(guān)于矩陣乘法所成群為，則對任意A，B∈H，|AB|=|A||B|=1，|A^-1|=|A|^-1=1，即AB∈H，A^-1∈H。所以H是一個子群，對于任意A∈G，B∈G，如果AB∈H，即|AB|=|A||B|=1，則|BA|=|B||A|=1，因此BA∈H...
大學(xué)學(xué)習(xí)線性代數(shù)有什么意義
作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個領(lǐng)域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。向量空間是在域上...
伽羅瓦是誰
這個理論的大意是:每個方程對應(yīng)于一個域,即含有方程全部根的域,稱為這方程的伽羅華域,這個域?qū)?yīng)一個群,即這個方程根的置換群,稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應(yīng)關(guān)系;當(dāng)且僅當(dāng)一個方程的伽羅華群是可解群時,這方程是根式可解的。1829年,伽羅華在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時,把關(guān)于...
代數(shù)Artin(九): 線性群
流形是具有齊性的子集，是連續(xù)變換下的幾何對象。單參數(shù)群是從實數(shù)加群到矩陣群的可微同態(tài)。最后，文章還提到了射影群，它是矩陣群的商群，由矩陣群的正規(guī)子群構(gòu)成，包含矩陣群的特征值與幾何性質(zhì)。本文深入介紹了線性群的概念與應(yīng)用，為研究矩陣群、群論及其在數(shù)學(xué)與物理中的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。
有限群的局部性---對群結(jié)構(gòu)的影響目錄
第8章和9章則涉及完全條件置換子群和特定類型的子群，如s-擬正規(guī)子群和條件置換子群，它們在群結(jié)構(gòu)中具有重要角色。第10章探討了有限群的π-閉-Sylow塔群類，強調(diào)了局部性對群類結(jié)構(gòu)的影響以及與s-擬正規(guī)性的關(guān)聯(lián)。最后的專題研究涵蓋了Fitting類的模性、矩陣群的自同構(gòu)、李代數(shù)上的非線性映射的保可...
仿射變換的一般形式
可逆仿射變換組成仿射群，其中包含具n階的一般線性群為子群，且自身亦為一n+1階的一般線性群之子群。 當(dāng)A為常數(shù)乘以正交矩陣時，此子集合構(gòu)成一子群，稱之為相似變換。舉例而言，假如仿射變換于一平面上且假如A之行列式為1或-1，那么該變換即為等面積變換。此類變換組成一稱為等仿射群的子集。一同時...
群的結(jié)構(gòu)與對稱性:有限群分類的詳細探討
§2.1 群 - 基本概念，包括群的定義和封閉性質(zhì)。§2.2 置換群 - 以排列元素的方式研究群的特定類型。§2.3 群的重排定理、正規(guī)子群和商群 - 揭示群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和子群關(guān)系。§2.4 群的置換表示理論初步 - 群與線性代數(shù)的結(jié)合應(yīng)用。§2.5 有限群的Sylow定理 - 有限群的重要理論工具。§2.6 ...
有限單群分類定理散在群
其他被稱為“賤民”的六個群包括J1、J3、J4、O'N、Ru和Ly，它們在散在群研究中也占有一定地位。盡管已經(jīng)計算出了大部分散在群在有限體上的矩陣表示，但對于散在群的統(tǒng)一敘述，至今仍是一個挑戰(zhàn)。值得注意的是，原田-諾頓群、赫爾得群、希格曼-西姆斯群、麥克勞林群、歐南群、路多里斯群、鈴木群...
鄭寶東研究方向
我的專業(yè)研究方向聚焦于典型群及其實際應(yīng)用。典型群，也稱為矩陣群，主要包括一般線性群GLn(F)以及它的子群，例如特殊線性群SLn(F)，辛群Spn(F)，正交群On(F)，以及酉群Un(F)等。這些群的理論研究涵蓋了廣泛的議題。生成問題是我們研究的核心之一，即理解這些群是如何通過基本元素組合形成的。結(jié)構(gòu)...
§2.1 群的基本概念
最后，我們通過運算表來研究低階群及其性質(zhì)。低階群的運算表顯示了群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，例如，所有三階群都是相互同構(gòu)的。我們注意到運算表關(guān)于主對角線對稱，這意味著群是交換群。在任何行（列）中，每個元素恰好出現(xiàn)一次，這一性質(zhì)可以推廣到一般情況：有限群的運算表中的每一行（列）都是該群元素的一個...
相關(guān)評說：
陽江市滾子： ______ Lagrange定理:群G的子群H的階一定整除G的階,且等于群G對子群H的指數(shù). 由此定理,從而推出,
陽江市滾子： ______ ^^^任取一個元素a, 考慮 a, a^2, a^(2^2), ..., a^(2^n),... 因為是有限半群, 一定存在 m>n>= 0 使得 a^(2^n)=a^(2^m) ==》 a^(2^n + 2^m - 2*2^n)=a^(2^m + 2^m - 2*2^n) a^(2^m -2^n) = a^(2((2^m -2^n))=(a^(2^m -2^n))^2 所以 a^(2^m -2^n) 是 冪等元
陽江市滾子： ______ 近世代數(shù)也俗稱抽象代數(shù),“指數(shù)”的概念是在群中出現(xiàn)的. 對于群G(有限群或者無限群都是可以的)以及其子群H,顯然群G的階(此時需要G為一個有限群)是可以被子群H的階整除的,此時我們稱[G:H]為H在G下的指數(shù)(#G/#H,其中#G為群G的階). 另外對于非有限群G,我們?nèi)杂兄笖?shù)的概念,只要#G/#H是一個有限數(shù)即可,此時我們?nèi)匀挥肹G:H]來表示. 對于指數(shù)的理解,我們可以通過H在群G中的陪集來理解,指數(shù)的多少與陪集個數(shù)是相同的.另外指數(shù)對于我們理解正規(guī)子群也是有一定意義的.
陽江市滾子： ______ 用反證法, 假設(shè)R是無限環(huán), 但存在并只有有限個零因子. 設(shè)a是R中一個零因子, 則有a ≠ 0, 并存在b ≠ 0使ab = 0. 考慮映射φ: R → R, φ(x) = xa, 可知φ是R作為加法群到自身的同態(tài). 易見, ker(φ)中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群. 而R是無限群, 由同態(tài)基本定理, im(φ)同構(gòu)于R/ker(φ)是無限集. 即當(dāng)x取遍R中的元素, xa有無限種不同的取值. 但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子. 于是R中有無限個零因子, 矛盾. 因此題目所述的環(huán)只能為有限環(huán).
陽江市滾子： ______ 設(shè)是群,如果它的一個子代數(shù)也構(gòu)成了一個群,則稱是的一個子群.
陽江市滾子： ______ 人們常說公欲善其事,必先利其器.小學(xué)英語教師的器又是指什么呢?成為一個稱職... 幫助解決為什么這么教的問題.另外,與其他學(xué)科的教師一樣,中小學(xué)英語教師在教...
陽江市滾子： ______ 兩個同構(gòu)的群只能說明其存在一個雙射f使得G與G′同構(gòu),但是這里的f不一定是一個群同構(gòu)(區(qū)別于映射的同構(gòu)),群同構(gòu)指的是f為一個雙射并且滿足f(ab)=f(a)f(b)的同態(tài).因此在這里我們并不能通過群同構(gòu)定理來構(gòu)造G→G′/H′的滿同態(tài)來證明其kernel為H,因此自然就不能證明其商群的同構(gòu)性質(zhì)了. 關(guān)于反例的問題是不能通過有限群來作為反例的(這是因為這時候的商群也為一個有限群,元素對應(yīng)滿足一 一映射的),可以利用商群為無限群的反例來說明.
陽江市滾子： ______ 不是的, 例如6階循環(huán)群就有兩個6階元.
