羅素悖論的故事 用一句話概括數(shù)學經(jīng)典故事-----羅素悖論的故事
1900年前后,在數(shù)學的集合論中出現(xiàn)了三個著名悖論，理發(fā)師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。這些悖論特別是羅素悖論，在當時的數(shù)學界與邏輯界內引起了極大震動。觸發(fā)了數(shù)學的第三次危機。
悖論
讓我們先了解下什么是悖論。悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗相矛盾的數(shù)學結論，那些結論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學的基礎，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創(chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。 悖論有三種主要形式。1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。2．一種論斷看起來 好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
羅素悖論定義：
M：所有包含集合自身的集合；
N：所有不包含集合自身的集合；
問：N∈M還是∈N。
如果N ∈M ，說明N 具備M 的特征，根據(jù)M 的定義，N 包含集合自身，
但這和N 的定義矛盾；如果N ∈N ，說明N 具備包含自己的特征，這與N 的
定義矛盾；但M ＋N 遍歷所有集合域，所以N 也不是空集。
于是，悖論產生。
羅素悖論例子：
世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：
唐·吉訶德的仆人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這里來做什么？”如果回答對了，就允許他在島上游玩，而如果答錯了，就要把他絞死。對于每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這里來是要被絞死的。”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？如果應該讓他在島上游玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話。既然他說錯了，就應該被處絞刑。但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。小島的國王發(fā)現(xiàn)，他的法律無法執(zhí)行，因為不管怎么執(zhí)行，都使法律受到破壞。他思索再三，最后讓衛(wèi)兵把他放了，并且宣布這條法律作廢。這又是一條悖論。
由著名數(shù)學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：
在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價的。因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是村里不屬于自身的那些集合，并且村里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。
影響
十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基石。“一切數(shù)學成果可建立在集合論基礎上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……”
可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數(shù)學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關于集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn)，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎崩潰了。”
1874年，德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分數(shù)學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數(shù)學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現(xiàn)了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理發(fā)師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。于是，數(shù)學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學危機”。
羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）： 1、理查德悖論 2、培里悖論 3．格瑞林和納爾遜悖論。
解決
羅素悖論提出，危機產生后，數(shù)學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎的研究。而這方面的進一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個數(shù)學。如圍繞著數(shù)學基礎之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學史上著名的三大數(shù)學流派，而各派的工作又都促進了數(shù)學的大發(fā)展等等。
以上簡單介紹了數(shù)學史上由于悖論而導致的三次數(shù)學危機與度過，從中我們不難看到悖論在推動數(shù)學發(fā)展中的巨大作用。有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而悖論提出的正是讓數(shù)學家無法回避的問題。它對數(shù)學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數(shù)學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數(shù)學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數(shù)學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學危機促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學的產生。數(shù)學由此獲得了蓬勃發(fā)展，這或許就是數(shù)學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用。
理性不能回答關于其自身的問題，這個問題在康德時期就發(fā)現(xiàn)了。邏輯存在無法彌補的漏洞，卻是人了解世界的唯一途徑。到頭來你會發(fā)現(xiàn)，不是否定理性就是否定信仰。因為所謂唯心唯物之爭都是建立在這樣不完備的邏輯體系上的純粹理性科學。既然理性無法對其自身做出判斷，那么選擇立場就不能以理性為依據(jù)，從而變成一種實質上的迷信。當然如果你堅持要說自己的立場是合乎所謂的科學或實踐的，那么其實你既不屬于唯物也不屬于唯心，本質上只是一種泛經(jīng)驗主義或者泛邏輯主義罷了。當然，這里的邏輯主義當然不是羅素的那個，只是一個形象點的稱呼而已。
理發(fā)師的頭發(fā)該誰剪
名人成功事例
這是一個著名的悖論,稱為“羅素悖論”。這是由英國哲學家羅素提出來的,他把關于集合論的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。1874年,德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論,很快滲透到大部分數(shù)學分支,成為它們的基礎。到19世紀末,全部數(shù)學幾乎都建立在 集合論的基礎之上了。就在這時,集合論中接連出現(xiàn)了一些自相矛盾的...
什么是“羅素悖論”
又或者，簡單地說，定義一個集合，它的元素有這樣的性質：這個元素不屬于這個集合。這樣矛盾就構成了，x到底是不是集合中的元素呢，如果是，則不符合定義，如果不是，又應該劃入集合。這個悖論的產生就在于之前的集合論一直都搞錯了集合的定義，集合不是什么都能構造的。在《數(shù)理邏輯導論》里面他寫過，...
羅素悖論
如果a屬于M，那么依照M的定義，a應該不屬于M，這是個矛盾。如果a不屬于M，那么按照M的定義，a應該屬于M，又矛盾。左右都是矛盾！集合的定義有所有集合都屬于自身 以所有不屬于自身的集合是否屬于自身 這是對數(shù)學定理的責難，在一段時間內也引起了數(shù)學的巨大混亂 集合論悖論之發(fā)生，與其說是素樸集合論...
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關于羅素悖論的理解
羅素悖論：設性質P(x)表示“x不屬于x”，現(xiàn)假設由性質P確定了一個類A——也就是說“A={x|x?x}”。那么問題是：A屬于A是否成立？首先，若A屬于A，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知A不屬于A；其次，若A不屬于 A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，...
“我知道的越多才知道我不知道的也越多。”是誰說的?
芝諾。是古希臘的著名哲學家， 是埃利亞派的代表人物，巴門尼德的學生和繼承人。芝諾素有“悖論之父”之稱，他有四個數(shù)學悖論一直傳到今天。他曾經(jīng)講過一個“知識圓圈說”的故事。故事是 這樣的：一次，一位學生問芝諾：“老師，您的知識比我的知識多許多倍，您對問題的回答又十分正確，可是您為什么總...
著名的悖論有哪些
芝諾悖論:阿基里斯是古希臘神話里跑的最快的人,但如果他前面有一只烏龜(正從A點向前爬),他永遠也追不上這只烏龜.理由如下:他要追上烏龜必須要經(jīng)過烏龜出發(fā)的地方A,但當他追到這個地方的時候,烏龜又向前爬了一段距離,到了B點,他要追上烏龜又必須經(jīng)過B點,但當他追到B點的時候,烏龜又爬到了C點....
A∣A∉A舉例 我在網(wǎng)上沒有看過羅素悖論這個的現(xiàn)實的舉例,誰能告訴我...
矛盾。大概就是這樣，如果你還看不懂，就記住下面這個集合吧。A={a∣a?A} 這是羅素悖論最初的原型。雖然這是個空集。如今集合的性質從三條變成了六條（其中完備性與純粹性是相似的，不過考慮到虛數(shù)問題還是有點不同）羅素悖論規(guī)避，大團圓結局。話說那個蘋果我是怎么想出來的，人的思維真可怕。
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