方程的一元二次方程
含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是個(gè)質(zhì)的轉(zhuǎn)變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要復(fù)雜得多。 一般解法有四種：
⒈公式法（直接開平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1·a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果:在運(yùn)用這種方法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程。當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，往往需要多次試驗(yàn)，務(wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號。
例1 把2x²-7x+3分解因式。
分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).
分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：
2=1×2=2×1；
分解常數(shù)項(xiàng)：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕螅瑑身?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)－7.
解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地，對于二次三項(xiàng)式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax²+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2之積，即
ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2 把6x²-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次項(xiàng)系數(shù)6及常數(shù)項(xiàng)-5，把它們分別排列，可有8種不同的排列方法，其中的一種
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正確的，因此原多項(xiàng)式可以用十字相乘法分解因式。
解6x²-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出：通過例1和例2可以看到，運(yùn)用十字相乘法把一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式因式分解，往往要經(jīng)過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對于二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法分解因式，這時(shí)只需考慮如何把常數(shù)項(xiàng)分解因數(shù)。例如把x²+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x²+2x-15=(x-3)(x+5) .
例3 把5x²+6xy-8y²分解因式。
分析：這個(gè)多項(xiàng)式可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，把-8y²看作常數(shù)項(xiàng)，在分解二次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)時(shí)，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過觀察，選取合適的一組，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的一次式。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)因式之積與另一個(gè)因數(shù)之差的形式，只有先進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，把變形后的多項(xiàng)式再因式分解。
問：兩上乘積的因式是什么特點(diǎn)，用什么方法進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算最簡便?
答：第二個(gè)因式中的前兩項(xiàng)如果提出公因式2，就變?yōu)?(x-y)，它是第一個(gè)因式的二倍，然后把(x-y)看作一個(gè)整體進(jìn)行乘法運(yùn)算，可把原多項(xiàng)式變形為關(guān)于(x-y)的二次三項(xiàng)式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解，這又是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方法。
例5 x²+2x-15
分析：常數(shù)項(xiàng)(-15)<0，可分解成異號兩數(shù)的積，可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。
=(x-3)(x+5)
總結(jié)：①x²+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解
這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時(shí)，那么
kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1．直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)²=n(n≥0) 的
方程，其解為 .
例1．解方程（1）(3x+1)²=7 （2）9x²-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)²，右邊=11>0，所以
此方程也可用直接開平方法解。
（1）解：(3x+1)²=7×
∴(3x+1)²=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
（2）解： 9x²-24x+16=11
∴(3x-4)²=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)
先將常數(shù)c移到方程右邊：ax²+bx=-c
將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x²+x=-
方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x²+x+( )²=- +( )²
方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+ )²=
當(dāng)b²-4ac≥0時(shí)，x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x²-4x=2
將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x²-x=
方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x²-x+( )²= +( )²
配方：(x-)²=
直接開平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b²-4ac的值，當(dāng)b²-4ac<0時(shí)，無解；方程當(dāng)b²-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式 就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x²-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓
兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0
(3) 6x²+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x²-2( + )x+4=0 （選學(xué)）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x²-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x²+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。
(3)解：6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號不要出錯(cuò))
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x²-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
二元二次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。
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