波函數(shù)的本征值與本征函數(shù)有什么區(qū)別嗎？
證明是這樣的，這個函數(shù)在x>0部分滿足薛定諤方程，也滿足x=0處及x->無窮處的邊界條件，既滿足微分方程所有定解條件，所以他就是所求的本征態(tài)。
相應(yīng)的能量也相同，但只有奇數(shù)能級，所以存在n=2k+1的關(guān)系（k為原本諧振子的能級）
在量子力學(xué)中，波函數(shù)和本征函數(shù)以及它們對應(yīng)的本征值是核心概念，它們之間的區(qū)別在于所代表的物理意義和數(shù)學(xué)角色：
1. 波函數(shù)（Wave Function）:
• 波函數(shù)，通常用希臘字母ψ(psi)表示，是用來描述量子系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)函數(shù)。它包含了關(guān)于系統(tǒng)所有可能信息的完整描述，即系統(tǒng)的量子態(tài)。波函數(shù)的絕對值的平方|ψ|^2在一定體積內(nèi)的積分給出了找到粒子在該體積內(nèi)的概率密度。
• 波函數(shù)可以是任意滿足薛定諤方程的復(fù)值函數(shù)，它并不是必須是某個特定算符的本征函數(shù)。
• 本征函數(shù)（Eigenfunction）:
• 本征函數(shù)是指當(dāng)某個算符（例如能量算符、動量算符等，這些算符對應(yīng)于物理可觀測量）作用于該函數(shù)時，結(jié)果僅僅是該函數(shù)乘以一個常數(shù)（稱為本征值）的函數(shù)。這意味著本征函數(shù)是算符的特定解，體現(xiàn)了系統(tǒng)的某些特定屬性。
• 本征函數(shù)構(gòu)成了描述量子系統(tǒng)可能狀態(tài)的一組基礎(chǔ)，并且在量子力學(xué)中，系統(tǒng)處于某一確定的本征態(tài)時，對應(yīng)物理量的測量值必定是該本征態(tài)的本征值。
• 本征值（Eigenvalue）:
• 本征值是與本征函數(shù)配對的標(biāo)量值，它直接關(guān)聯(lián)著物理量的可能測量結(jié)果。當(dāng)系統(tǒng)處于與某個本征函數(shù)對應(yīng)的態(tài)時，對該物理量進(jìn)行測量，得到的結(jié)果就是該本征值。
• 換句話說，本征值是算符作用于本征函數(shù)后產(chǎn)生的標(biāo)量乘數(shù)，代表了該物理量的離散取值。
總結(jié)來說，波函數(shù)是一個更廣泛的概念，用來描述量子系統(tǒng)的整體狀態(tài)，而本征函數(shù)和本征值是針對特定算符而言的，描述了系統(tǒng)在特定可觀測物理量下的定態(tài)特征。當(dāng)波函數(shù)恰好是某個算符的本征函數(shù)時，它表示系統(tǒng)處于該算符所代表的物理量的一個確定的本征態(tài)，此時波函數(shù)前面的系數(shù)即為該物理量的本征值。
線性厄米算符的本征值與本征函數(shù)有哪些性質(zhì)?
本征值是實數(shù)，屬于不同本征值的的不同本征函數(shù)正交
微分方程的本征值和本征函數(shù)什么?
是高階常系數(shù)線性微分方程的特征值與特征函數(shù)，叫法不同而已。
什么叫算符?什么叫本征函數(shù),本征值、本征方程
算符，又稱算子，作用于物理系統(tǒng)的物理態(tài) (physical state)，使得物理系統(tǒng)從一個物理態(tài)變換為另外一個物理態(tài)在數(shù)學(xué)中，函數(shù)空間上定義的線性算子 A 的本征函數(shù)就是對該空間中任意一個非零函數(shù) f 進(jìn)行變換仍然是函數(shù) f 或者其矢量倍數(shù)的函數(shù)
10.角動量的本征值和本征函數(shù)
然后是各算符的矩陣元，這一塊牽扯很多，說實話，我也沒看懂，只有特定的態(tài)之間的躍遷是允許的，即矩陣元不為零。但為什么呢？因為是對角形式，其實就是實數(shù)，所以是任意交換的，提到積分外面，所以矩陣元就變成了不同本征值對應(yīng)的本征函數(shù)的內(nèi)積了，結(jié)果就是0。于是算符 就只能實現(xiàn)本征值的提升 ...
厄米算符的本征值和本征函數(shù)
厄米算符的本征值與本征函數(shù)是量子力學(xué)研究的核心概念。在理解這些概念之前，我們首先需要明確什么是算符，以及它如何與波函數(shù)發(fā)生作用。算符，本質(zhì)上是對函數(shù)進(jìn)行操作的數(shù)學(xué)工具。例如，“我要平方它（x）”這一操作可以被視為一個算符，它將x映射到x的平方。算符對波函數(shù)進(jìn)行操作后，產(chǎn)生一個新的波...
如何理解本征值?1
這是定義2，它展示了本征值與線性方程組的緊密聯(lián)系。函數(shù)空間中的本征值定義略有不同，當(dāng)我們考慮如微分算子\\( -\\frac{d^2}{dx^2} \\)這樣的線性算子作用于函數(shù)f(x)時，如果\\( Af(x) = \\lambda f(x) \\)，λ就是本征值，函數(shù)f(x)則是本征函數(shù)。這種定義擴(kuò)展了我們對本征值的理解，...
本征函數(shù)是什么
等于某一常數(shù)a乘以$,即A'$=a$ (1)。那么，對$所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，物理量A具有確定的數(shù)值a，a稱為物理量算符A'的本征值，$稱為A'的本征態(tài)或本征波函數(shù)。(1)式稱為A'的本征方程。滿足算符本征方程的某些特定函數(shù)。簡單講:本征函數(shù)是指某一函數(shù)經(jīng)微分后等于原函數(shù)的倍數(shù) ...
本征函數(shù)和本征方程有什么區(qū)別
如果算符作用于函數(shù)等于一個常數(shù)g乘以該函數(shù)，則該方程稱為本征方程。其中該函數(shù)稱為算符的本征函數(shù)，g是算符的對應(yīng)于本征函數(shù)的本征值。量子力學(xué)中的許多問題都是求解體系的力學(xué)量算符的本征方程以找出其本征值和本征函數(shù)，從而確定體系力學(xué)量的各種可能的取值；另一方面，本征值常常是分立且不連續(xù)的（...
什么是本征函數(shù)?
f(x)為sin(x)，則有Tsin(x) = -sin(x)，本征值c=-1。在量子力學(xué)中，薛定諤方程描述了波函數(shù)隨時間演化，其形式為Hψ = Eψ，其中H為哈密頓算符，ψ為波函數(shù)，E為能量本征值。在特定問題下，如一維薛定諤方程，薛定諤方程可簡化為本征函數(shù)的表達(dá)，從而揭示粒子在特定能級的運動特性。
如何理解本征值,本征值與本征態(tài)(該如何理解物理學(xué)中的重整化方法)
一個算符作用于一個函數(shù)，使得該函數(shù)相當(dāng)于一個常數(shù)乘以自身，即為本征值與特征值的定義。矩陣乘以矩陣相當(dāng)于常數(shù)乘以矩陣，亦是特征值的定義。特別地，當(dāng)矩陣無法進(jìn)行逆變換時，廣義特征值問題的解法有所不同。對于特征向量，不同特征值對應(yīng)的特征向量不會相等，但同一特征值對應(yīng)的特征向量可以不唯一。...
相關(guān)評說：
臨翔區(qū)桿組： ______[答案] 本征態(tài)、本征函數(shù)的定義:如果一個物理量A(用算符?表示)在微觀狀態(tài)(用波函數(shù))中有確定的值,則稱這個微觀狀態(tài)為物理量A的本征態(tài),或者說波函數(shù)為物理量A的本征函數(shù). 舉個數(shù)學(xué)離子,函數(shù)發(fā)f(x)=e^5x,求導(dǎo)之后,f(x)'=5e^5x,那本征...
臨翔區(qū)桿組： ______ 誰說不可以的啊.一個本征值對應(yīng)多個本征函數(shù)的情況稱為簡并.只不過教科書總是從最簡單的情況講起而已.在學(xué)量子力學(xué)之前就會接觸的例子是電子殼層,在無外場時同一殼層中所有電子能級簡并,同一亞殼層的所有電子總角動量簡并.量子力學(xué)中第一個接觸的例子可能是三維各向同性諧振子的能級簡并.
臨翔區(qū)桿組： ______[答案] 首先,本征方程之類的概念在數(shù)學(xué)物理方程或偏微分方程課程中屬于基本概念,如果沒學(xué)過建議找本教科書自己摸索一下.1 本征值對應(yīng)著可能的測量結(jié)果.假如一個力學(xué)量算符本征值只有1和2,那么對它的測量只會有1,2兩個...
臨翔區(qū)桿組： ______ 你的問題我沒太看明白.“兩個解”應(yīng)該是線性無關(guān)的. 如果沒有其他要求(加上歸一化條件),不能唯一確定就不需要確定,那么這個本征值的本征函數(shù)就是“簡并”的,最后正交歸一化得到本證函數(shù)組. 假設(shè)你之前的計算分析沒問題,當(dāng)真你所說,即a任意,b方=c方,那么(1,1,1)、(1,1,-1)、(2,1,1)都滿足本征函數(shù),并且這三個本征函數(shù)線性無關(guān),所以正交歸一化的本證函數(shù)組顯然為(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1). 則這個算符只能有E1一個本征值,其本征函數(shù)組是三維矢量完備組.
