證明兩個凸集的并集是凸集
凸優(yōu)化重要知識點(diǎn)隨手記錄
線性方程組的解集被證明為仿射集，這個集合可以通過特解與齊次方程組解集的平移得到。任何仿射集都可以表示為線性方程組的解集，這一結(jié)論的推導(dǎo)相對簡單。凸組合是凸集與非凸集的分界線。這一概念直觀地揭示了凸集的特性。關(guān)于仿射包的定義，如果集合中有N個點(diǎn)，可以認(rèn)為所有N個點(diǎn)的仿射組合形成的集合C即...
如何理解farkas引理?
首先，注意到兩個事實：（事實一）：集合[公式]是錐（cone），當(dāng)任意選取[公式]和[公式]時，有[公式]。進(jìn)一步，[公式]是凸錐（convex cone），當(dāng)任意選取[公式]和[公式]時，有[公式]。不難驗證，[公式]不僅是錐，也是凸集。（事實二）：點(diǎn)和凸集的分離定理，指出閉凸集可以被超平面分開，即存在...
學(xué)習(xí)筆記(II)|泛函分析與最優(yōu)化——賦范線性空間
接下來，我們介紹有界變差函數(shù)的概念及其在賦范線性空間中的應(yīng)用。有界變差函數(shù)空間賦予范數(shù)，用于圖像去噪等實際問題。討論賦范線性空間的基本拓?fù)湫再|(zhì)，如定義內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集和閉集，并給出開集與閉集的對偶性、有限多個開集的交集和閉集的并集的性質(zhì)。引入收斂性、極限和連續(xù)性的概念，闡述賦范線性空間...
數(shù)學(xué)中,什么是凸集?
這是因為對于任意的x,y屬于A∩B，存在z屬于A和w屬于B使得x+w=y+z，由于A和B都是凸集，所以有(x+w-y)\/2和(y+z-x)\/2都屬于A和B，因此x+(w-y)\/2和y+(z-x)\/2也屬于A∩B，從而x+w-y和y+z-x也屬于A∩B。這就證明了A∩B是凸集。3.凸集的并集也是凸集：對于任意的凸集A和B...
凸性是什么?
這是因為對于任意的x,y屬于A∩B，存在z屬于A和w屬于B使得x+w=y+z，由于A和B都是凸集，所以有(x+w-y)\/2和(y+z-x)\/2都屬于A和B，因此x+(w-y)\/2和y+(z-x)\/2也屬于A∩B，從而x+w-y和y+z-x也屬于A∩B。這就證明了A∩B是凸集。3.凸集的并集也是凸集：對于任意的凸集A和B...
凸集是什么意思?
這是因為對于任意的x,y屬于A∩B，存在z屬于A和w屬于B使得x+w=y+z，由于A和B都是凸集，所以有(x+w-y)\/2和(y+z-x)\/2都屬于A和B，因此x+(w-y)\/2和y+(z-x)\/2也屬于A∩B，從而x+w-y和y+z-x也屬于A∩B。這就證明了A∩B是凸集。3.凸集的并集也是凸集：對于任意的凸集A和B...
什么叫凸集?凸集有那些性質(zhì)?
這是因為對于任意的x,y屬于A∩B，存在z屬于A和w屬于B使得x+w=y+z，由于A和B都是凸集，所以有(x+w-y)\/2和(y+z-x)\/2都屬于A和B，因此x+(w-y)\/2和y+(z-x)\/2也屬于A∩B，從而x+w-y和y+z-x也屬于A∩B。這就證明了A∩B是凸集。3.凸集的并集也是凸集：對于任意的凸集A和B...
如何證明兩個凸集的并不一定是凸集。請詳細(xì)一點(diǎn),謝謝。
單點(diǎn)構(gòu)成的集合是凸集。。由2個不同的單點(diǎn)構(gòu)成2個凸集。。但，由這2個單點(diǎn)的并，也就是2點(diǎn)構(gòu)成的集合不是凸集。。[因為，該集合沒包含以這2點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上的其他點(diǎn)]當(dāng)凸集A是凸集B的子集時，A與B的并 = B，也是凸集。。綜合以上兩例。。結(jié)論成立。
什么是凸集
對歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。在一維空間中，凸集是單點(diǎn)或一條不間斷的線（包括直線、射線、線段）；二、三維空間中的凸集就是直觀上凸的圖形。（例如：在二維中有扇面、圓、橢圓等，在三維中有圓環(huán)、實心球體等；多數(shù)情況下，兩個凸集的交集也是凸集）證明向量空間是否為凸集的方法為，假設(shè)X,...
凸集是什么凸集
2、 對歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。3、在一維空間中，凸集是單點(diǎn)或一條不間斷的線（包括直線、射線、線段）；二、三維空間中的凸集就是直觀上凸的圖形。4、（例如：在二維中有扇面、圓、橢圓等，在三維中有圓環(huán)、實心球體等；多數(shù)情況下，兩個凸集的交集也是凸集） 證明向量空間是否為凸集的...
丑的18165824672咨詢： 如何證明可數(shù)個可數(shù)集的并集是可數(shù)集可數(shù)集是什么 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 可數(shù)集(Countable set),是每個元素能與自然數(shù)集N的每個元素之間能建立一一對應(yīng)的集合.如果將可數(shù)集的每個元素標(biāo)上與它對應(yīng)的那個自然數(shù)記號,那么可數(shù)集的元素就可以按自然數(shù)的順序排成一個無窮序列a1,a2,a3,…an,….比如全體正偶數(shù)的集合是一個可數(shù)集,全體正奇數(shù)的集合也是可數(shù)集,它們與自然數(shù)集可以建立如下的一一對應(yīng).
丑的18165824672咨詢： 證明:兩可列集的并集仍是可列集 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 設(shè)可列集A={an}, B={bn}, 則按如下對應(yīng)關(guān)系可知A與B的并集仍然是可列集: an<->2n-1 bn<->2n 這里假設(shè)A與B沒有公共元素.
丑的18165824672咨詢： 證明開集的并集是開集 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 開集就是所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).并集的所有點(diǎn)同樣還是內(nèi)點(diǎn).所以并集還是開集.
丑的18165824672咨詢： 泛函分析中,書上證明任意多個開集的并集是開集的疑問 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 不需要任意,你只需證明G中任意一點(diǎn)x0,存在一個開集(或者簡單一點(diǎn),存在一個開球)包含于G,那么G就是開集,存在就可以了,不需要任意!
丑的18165824672咨詢： 兩集合交集的余集等于它們余集的并集 證明 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 事實上這叫做De-Morgan律 對一個集合G設(shè)G^c表示它的余集,于是我們只需要證明對任意兩個集合A、B,(A∩B)^c=A^c∪B^c即可.首先任取g屬于(A∩B)^c,則g不屬于A∩B因此g∈A^c或B^c(否則g∈A且g∈B,即g∈A∩B,矛盾),故(A∩B)^c?A^c∪B^c 另一方面任取h∈A^c∪B^c,則不妨設(shè)h∈B^c,注意到B^c?(A∩B)^c(因為A∩B?B),所以h∈(A∩B)^c,因此(A∩B)^c?A^c∪B^c 綜上,(A∩B)^c=A^c∪B^c
丑的18165824672咨詢： 向量空間Rn的任意兩個子空間的并集()是Rn的子空間 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 不一定是! 向量空間v內(nèi)兩個子空間的并集仍是v的子空間,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個子空間一個是另一個的子集 很顯然,若V1包含于V2,則兩者之并就是V2,是V的子空間.反之,用反證法證明.若兩個子空間V1并V2=W是V的子空間,但V1不是V2的子集,V2也不是V1的子集,因此存在a位于V1但不位于V2,b位于V2但不位于V1,于是a,b都是子空間W的元素,由子空間的性質(zhì)應(yīng)有a+b位于W,即a+b或者位于V1,或者位于V2.然而,若a+b位于V1,于是b=(a+b)-a,a+b和a都是子空間V1的元素,于是b也位于V1,矛盾.同理可知a+b不能位于V2.綜上知道V1,V2中必有一個是另一個的子集.
丑的18165824672咨詢： 凸集S的閉包是凸集 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______ 用定義驗證. 設(shè)a, b ∈ S的閉包, 對0 < t < 1, 證明c = (1-t)a+tb ∈ S的閉包. 對c的任意鄰域U, 存在a的鄰域V與b的鄰域W使得(1-t)V+tW ? U (*). 由a ∈ S的閉包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W. 可驗證z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ? ...
丑的18165824672咨詢： 1.兩個凸函數(shù)的乘積是凸函數(shù)嗎?如果是的話,證明這一點(diǎn),如果不是,給一個反例2.證明,兩個凸函數(shù)的總和是凸的3.設(shè)函數(shù)f(x)是凸函數(shù) in R^ n.is f(x+ b)... -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______[答案] 根據(jù)定義來做這個題 首先定義是對于任意的x,y以及a屬于(0,1), 有af(x)+(1-a)f(y)>=f(ax+(1-a)y),則該函數(shù)下凸. 題目2 假設(shè)h(x)=f(x)+g(x),則ah(x)+(1-a)h(y)=af(x)+(1-a)f(y)+ag(x)+(1-a)g(y) >=f(ax+(1-a)y)+g(ax+(1-a)y)=h(ax+(1-a)y),所以得證. 其他的...
丑的18165824672咨詢： 證明 凸集C中有限點(diǎn)的凸組合屬于凸集C -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______[答案] 設(shè)a1,a2,...,an 屬于凸集C,p1,p2,...,pn 為非負(fù)數(shù)且 p1+p2+...+pn=1需證明 p1a1+p2a2+...+pnan 屬于凸集C.用歸納法:當(dāng)n=1時 a1屬于凸集C ==> 1* a1=a1屬于凸集C.顯然成立.設(shè)結(jié)論對n-1個點(diǎn)成立.于是對于 n個點(diǎn),設(shè) p=...
丑的18165824672咨詢： 如何證明兩個集合的補(bǔ)集的交(并)集與他們的并(交)集的補(bǔ)集相等為什么要這么證明,這種證明的方法是什么 -
康馬縣面尺寸回復(fù)：
______[答案] 證:先證兩個集合的補(bǔ)集的交集與他們的并集的補(bǔ)集相等 設(shè)任意x屬于(A∪B)的補(bǔ)集 等價于x不屬于A∪B 等價于x不屬于A且x不屬于B 等價于x屬于A的補(bǔ)集且x屬于B的補(bǔ)集 等價于x屬于(A的補(bǔ)集)∩(B的補(bǔ)集) 所以(A∪B)的補(bǔ)集=(A的補(bǔ)集...
