高等數(shù)學(xué)零點證明題 高數(shù) 利用零點定理的證明題
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準(zhǔn)則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。
對于那些經(jīng)常使用如上方法的同學(xué)來說，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學(xué)來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。
用到羅爾定理，構(gòu)造F（x）=anx^(n+1)/(n+1)+…+a1x^2/2+a0x，F(xiàn)(1)=F(0)=0，由羅爾定理得，（0,1）內(nèi)存在一點使得F（x）導(dǎo)數(shù)為0，即所求方程成立。
這個題目太簡單了。取f(x)=anx^(n+1)/(n+1)+......+a1x^2/2+a0x，則其在x=0和x=1點的值等于零。因此其導(dǎo)數(shù)在(0，1)內(nèi)有一個零點，這就是問題的結(jié)論。
關(guān)于函數(shù)的零點問題應(yīng)該怎么做?
x1>supE,這與supE為E的上界矛盾；(ii)若f(ξ)<0,則ξ∈(a,b].仍由函數(shù)連續(xù)的局部保號性知 存在δ>0,對任意x∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在δ>0,對任意x∈E:x<ξ-δ,這又與supE為E的最小上界矛盾。綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。我們還可以利用閉區(qū)間套定理來證明零點定理。
零點定理證明題問題
定積分的性質(zhì)，當(dāng)a=b時，F(xiàn)(0)=∫x→0 （e^t4）-∫2→x （e^-t4）=0-∫2→0 （e^-t4）=-∫2→0 （e^-t4）F(2)=∫x→0 （e^t4）-∫2→x （e^-t4）=∫2→0 （e^t4）- 0=∫2→0 （e^t4）
中值定理求零點的證明題
考察函數(shù) F(x)＝f(x) \/ e^(αx)，設(shè) x＝m，x＝n 是 f(x) 的相異零點，那么 F(m)＝F(n)＝0，由羅爾中值定理，存在 ξ∈(m，n) 使 F'(ξ)＝0，即 f'(ξ)e^(-αξ) - αf(ξ)e^(-αξ)＝0，所以 f'(ξ) - αf(ξ) ＝ 0，因此結(jié)論成立。
高等數(shù)學(xué)零點證明題
第一步：結(jié)合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易...
如何證明函數(shù)有零點
一、關(guān)于連續(xù)函數(shù)的零點的相關(guān)定理：定理1 ：（介值定理）設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 ，若 為介于 、 之間的任何數(shù)（ 或 ），則在 內(nèi)至少存在一點 。定理2 :（零點定理）若函數(shù) 在閉區(qū)間 連續(xù)，且 ，則一定存在。證明，漢語詞匯，拼音是zhèng míng，釋義是指根據(jù)確實的材料判明人或事物的...
高等數(shù)學(xué)證明題
令f(x)=(x+a)^2*(x-b)+x^2，顯然f(x)在R上連續(xù) 因為f(-a)=a^2>0，f(0)=-ba^2<0，f(b)=b^2>0 所以根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點定理，存在k∈(-a,0)，m∈(0,b)，使得f(k)=f(m)=0 又因為，當(dāng)x->-∞時，f(x)->-∞，所以存在n∈(-∞,-a)，使得f(n)=0 即方程f(x)...
如何利用零點定理證明,方程存在根
需要注意的是，零點定理只能保證至少存在一個根，但并不能告訴我們根的具體位置或數(shù)量。例如，我們不能直接從這個定理得知方程x^3 - x - 1=0在[1,2]區(qū)間內(nèi)是否有多個根。如果想要更精確地找到根的位置，可能還需要采用其他方法，如二分法、牛頓迭代法等。此外，零點定理的應(yīng)用不僅限于證明方程存在根...
求解一道高等數(shù)學(xué)題, 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可微,且f(0...
這是中值定理中常見的證明題目。第一問，可以將結(jié)論看做函數(shù)的零點問題，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用連續(xù)函數(shù)零點定理證明。第二問，待證結(jié)論中有f(x)及f'(x)，能夠?qū)?dǎo)數(shù)與原函數(shù)聯(lián)系起來的是中值定理，如何構(gòu)造輔助高數(shù)是個難題。第一問為我們提供了思路。(具體證明過程如圖所示)
高等數(shù)學(xué)問題?
第一題解答如下:設(shè)y=e^x-3x，則 y′=e^x-3，令y＇=0，即x=1n3，則當(dāng)x∈(0，1)上時，y′<0，即y為單調(diào)減函數(shù)，又:f(0)=e^0-3*0=1>0；f(1)=e^1-3*1=e-3<0，所以f(ⅹ)在區(qū)間(0，1)上有且只有1個零點(根)，其圖片解答如下圖所示:...
高等數(shù)學(xué)函數(shù),極小值極大值證明題
同學(xué),你把(b)翻譯錯了,應(yīng)該是:證明f(x)恰好有兩個零點(順便說一下本題中zero應(yīng)翻譯為0點).(a)顯然f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù) f(-1)=(-1-1)e^2(-1)+1+1-1=1-2(1\/e^2)>1-2·(1\/4)>0 f(1\/2)=(-1\/2)e+1\/4-1\/2-1<0 f(2)=e^4+1>0 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點定理,...
相關(guān)評說：
迎江區(qū)剛性： ______ 這沒法證,閉區(qū)間基本上是用介值定理,但是推不出來你的結(jié)論,唯一的解釋是題錯了,a,b的正負(fù)沒有說明,無法推出結(jié)論的
迎江區(qū)剛性： ______[答案] 設(shè)f(x)的原函數(shù)為F(x),F(x)的原函數(shù)為P(x).由∫(0到1)f(x)dx=0知道F(1)-F(0)=0,即F(1)=F(0).由于原函數(shù)相差一個常數(shù)仍然是原函數(shù),故不妨取F(1)=F(0)=0.∫x f(x)dx分部積分后得到xF(x)-∫F(x)dx=xF(x)-P(x).代入定積...
迎江區(qū)剛性： ______ 設(shè)y1=x,y2=sin(x+1)題中方程的解即求左面這兩個函數(shù)圖象的交點. y1=x表示過原點的一,三象限的角平分線,而y2=sin(x+1)表示正弦曲線,當(dāng)x=-1,y2=0,當(dāng)x=2丌-1,y2=0,函數(shù)周期為2丌,最大值1,最小值-1,直線y1=x僅在(1,2丌-1)上與y2有一個公共點,當(dāng)x2丌-1,y1>1也不再與y2相交,故兩直線有且僅有一個公共點,即原方程在R上只有一個根.
迎江區(qū)剛性： ______ 題目寫錯了,應(yīng)該是2x3-3x2+2x-3=0. 設(shè)f(x)=2x3-3x2+2x-3 f(0)=-3 f(2)=16-12+4-3=5 因為f(0)f(2)小于0, 所以方程2x3-3x2+2x-3=0在區(qū)間[0,2]至少有一個根.
迎江區(qū)剛性： ______[答案] f(x)=x-sinx連續(xù) f(-π/2)=1-π/20 f(-π/2)·f(π/2)
迎江區(qū)剛性： ______ ①如果f(0)=0,則取ξ=0即可. ②如果f(1)=1,則取ξ=1即可. ③如果f(0)≠0,且f(1)≠1,故由0≤f(x)≤1可得,f(0)>0,f(1)令g(x)=f(x)-x,則g(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)>0,g(1)故由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可得,至少存在一點ξ∈[0,1],使得g(ξ)=0,即:f(ξ)=...
迎江區(qū)剛性： ______ 證明:1、任取x0屬于(a,b),由于|f(x)-f(x0)|≤L|x-x0| 故對任給ε>0,取δ=ε/L,當(dāng)|x-x0|<δ時,有:|f(x)-f(x0)|≤L|x-x0|<ε 故f(x)在x0連續(xù),f( x)在閉區(qū)間(a,b)連續(xù)2、3、由于f(a)*f(b)至少存在一點 ξ,使 f(ξ)=0
迎江區(qū)剛性： ______[答案] 1)令f(x)=asinx+b-x, 則方程的根即f(x)=0的根; 2)注意到根>0且不超過a+b, 啟發(fā)我們選定區(qū)間[0,a+b]; 3)對f(x)在閉區(qū)間[0,a+b]上用零點定理, 驗證滿足定理條件: 條件1,f(x)在閉區(qū)間[0,a+b]上連續(xù)是成立的, 條件2,因f(0)=b>0,f(a+b)=a...
迎江區(qū)剛性： ______[答案] 做f(x)在x=0處的泰勒展開 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x2,η∈(0,x) 所以當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞>0,而f(0)<0 由零值存在定理知,f(x)在[0,∞)上必有零點; 假設(shè)存在兩個零點0
迎江區(qū)剛性： ______[答案] 文章摘要:在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會遇到與函數(shù)零點有關(guān)的一些問題,比方說函數(shù)零點的存在性以及根的個數(shù)問題,一般地要回答這些問題是不容易的.本文主要探討了有:關(guān)函數(shù)存在性的幾種證明方法,有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)判定問題將另文考慮.
