怎樣運用三垂線定理

三垂線定理（一）

數(shù)學(xué)組：周海軍

一、教學(xué)目標(biāo)說明

（1）三垂線定理及其逆定理都是研究直線和直線的垂直關(guān)系的。它們在空間圖形的計算問題和證明問題中有著廣泛的應(yīng)用，所以這部分內(nèi)容中的知識必須達到理解、應(yīng)用的水平。

（2）利用計算機模擬運動，增強直觀性，激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力。

二、教學(xué)重點和難點

重點：三垂線定理及逆定理的教學(xué)，兩個定理的應(yīng)用

難點：三垂線定理及逆定理的應(yīng)用

三、教學(xué)方法

講練結(jié)合，運用計算機輔助教學(xué)

四、教學(xué)過程及說明

1、復(fù)習(xí)舊知，揭示課題

在立體圖形的性質(zhì)討論或計算中，常常要遇到判定兩條直線垂直的問題或求點到直線距離的問題。這些問題可通過線面垂直的討論或用平移轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)問題的方法來解決，但這樣做比較煩瑣，時否能找出直接判定空間兩直線垂直的方法呢？

例、在立方體ABCD-A1B1C1D1中，

（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；

（2）直線BD1和直線AC的位置關(guān)系如何？

（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？

解：連結(jié)BD交AC于點O，過O作BD1的平行線交DD1于點M，連結(jié)MA、MC

則∠MOA或其補角即為異面直線AC和BD1所成的角。不難得到MA=MC，而O為AC的中點，因此MO⊥AC，即∠MOA=90°，

∴異面直線BD1與AC所成的角為90°.

通過回憶斜線、射影、直線與直線的位置關(guān)系，揭示這節(jié)課所要學(xué)的內(nèi)容與原來所學(xué)的知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，也就是提醒學(xué)生這節(jié)課的目的是利用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識去總結(jié)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)定理，從而為定理的證明打下了基礎(chǔ)。

2、分析定理，得出逆定理

① 分析定理中的關(guān)鍵字詞，計算機閃爍相應(yīng)字詞及相應(yīng)的圖形，其目的是幫助學(xué)生更好地理解定理，加深印象。

② 在定理證明完畢，提問：若將已知條件“a⊥AO”與“a⊥PO”互換，結(jié)論成立嗎？電腦動態(tài)顯示“a⊥AO ” 與 “a⊥PO ” 語句的移動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強探索問題的能力。

③定理與逆定理的一致性，分析定理中的元素與用途。通過電腦動態(tài)顯示，進一步加深學(xué)生對兩個定理的理解。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線垂直。

已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α上的射影，直線a在平面α內(nèi)，a⊥AO

求證：a⊥PO.

證明：
AO⊥a

a⊥PO

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么也和這條斜線的射影垂直。

小結(jié)1：定理中涉及到的幾何元素是：

（1）一個平面；

（2）四條直線：①平面的垂線；②平面的斜線；③斜線在這個平面內(nèi)的射影；④平面內(nèi)的一條直線。

（3）三個垂直：①垂線與平面垂直；②平面內(nèi)的直線和斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直；③平面內(nèi)的直線和斜線垂直。

3、應(yīng)用定理

例1、在空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求證：BH⊥CD

證明：∵AH⊥平面BCD

∴AB在平面BCD內(nèi)的射影為BH

又∵AB⊥CD，且CD在平面BCD內(nèi)

由三垂線定理的逆定理知，BH⊥CD。

例1的目的在于要求學(xué)生掌握定理的用法，并小結(jié)利用定理證明線線垂直的一般步驟：一定二找三證。

例2、已知：在直角三角形ABC中，角A為直角，，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足為D；

求證：AD⊥PC

證明：∵PA ⊥平面ABC

∴PA⊥BA

又∵BA⊥AC

∴BA⊥平面PAC

∴AD是BD在平面PAC內(nèi)的射影

又∵BD⊥PC

∴AD⊥PC。

（三垂線定理的逆定理）

例3、在立方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)

（1）立方體的各個面上的對角線與立方體的對角線A1C互相垂直的共有幾條？

說明：可以得到線面垂直；

（2）設(shè)O是BD的中點，E、F分別是A1B1和的B1C1中點，求證：D1O⊥EF；

略解：法1：可以證明D1O在平面A1C1上的射影是B1D1

而B1D1⊥直線EF，由三垂線定理知EF⊥D1O

法2：可以證明EF⊥平面B1BDD1。

（3）若P點為BD上的任一點，則A1C和D1P不垂直。

說明：通過典型的練習(xí)，使學(xué)生從不同的圖形、不同的角度去考察三垂線定理，突出對象的本質(zhì)要素——平面的垂線，從而正確理解三垂線定理，熟練掌握三垂線定理的各種變式及應(yīng)用的關(guān)鍵，這對強化遷移，進一步培養(yǎng)學(xué)行的空間想象能力及邏輯思維能力是十分有利的。

4、練習(xí):判斷正誤，并說明理由：

（1）如果一條直線和斜線在平面上的射影垂直，那么這條直線和斜線垂直；

（2）如果平面內(nèi)的一條直線和斜線在此平面上的射影不垂

如何解釋“三垂線定理”?
1.首先，我們需要確定平面上的兩個相鄰邊。這兩個邊可以是任意的，但是它們必須在同一個平面上。2.然后，我們需要確定這兩個邊之間的一個角。這個角可以是任意的，但是它的頂點必須在這兩個邊上。3.接下來，我們需要找到這個角的平分線。這可以通過以下方法實現(xiàn)：首先，我們可以在平面上任意選擇一個...

立體幾何怎么樣找出二面角與公垂線,
(2) 三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；(3) 垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。

正四面體是什么樣的和三垂線定則
在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。參考資料：http:\/\/baike.baidu.com\/view\/560620.htm；http:\/\/baike.baidu.com\/view\/8...

高一快結(jié)束了,我高一幾乎沒聽講過,尤其是英語和數(shù)學(xué)。
(三垂線定理法:A∈α作或證AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,連AO,則AO⊥棱l,∴∠AOB為所求。) 三類角的求法: ①找出或作出有關(guān)的角。 ②證明其符合定義,并指出所求作的角。 ③計算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。[練習(xí)] (1)如圖,OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影,OC為α內(nèi)過O點任一直線。(2)如圖,...

兩條直線什么樣算垂直
4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)...

...線面,面面相互平行或垂直的所有定理,不確定的不要答,我要完全跟書...
最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 esp.直線和平面垂直直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和...

如何提高學(xué)習(xí)質(zhì)量?
②應(yīng)用兩上定理證題的步驟是什么? (注:①三垂線定線及其逆定理是平面的一條斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定定理和性質(zhì)定理。在研究空間圖形時,常常利用它們把某些空間圖形的計算問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的計算問題。此外,有些證明題中,也常常用到它,因此,要求學(xué)生牢固掌握。②定理的證明體現(xiàn)了“同步線面垂直證線線垂直...

兩個面的夾角和二面角意思一樣嗎?
三垂線定理或其逆定理）作平面角；再者，通過作棱的垂面，利用與棱垂直的直線來作平面角；最后，利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。完成這些步驟后，需要進行證明以確保該角為平面角，然后通過歸納到三角形求解角度。通過這些方法，我們能夠系統(tǒng)地理解和計算二面角，這對于解決相關(guān)幾何問題至關(guān)重要。

兩平面的夾角和二面角的區(qū)別
兩平面的夾角和二面角的區(qū)別：范圍是不一樣的。兩個平面的夾角，指的是兩個平面所組成的四個二面角中，銳角或直角的那一對。所以兩個平面的夾角的范圍是（0°，90°]，但是二面角是指兩個半平面的夾角，范圍是[0°，180°）范圍是不一樣的。就和平面幾何中，直線的夾角與射線的夾角不同一樣。

高三知識點總結(jié)的方法
①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h,與斜線段長度作比,得sin 。注:理科還可用向量法,轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。⑶二面角的求法:①定義法:在二面角的棱上取一點(特殊點),作出平面角,再求解;②三垂線法:由一個半面內(nèi)一點作(或找)到另一個半平面的垂線,用三垂線定理或...

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怎樣運用三垂線定理

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