數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及如何化解數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)是哪三次

數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及如何化解什么是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)

一、希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號(hào)2）永遠(yuǎn)無(wú)法用最簡(jiǎn)整數(shù)比（不可公度比）來(lái)表示，從而發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)無(wú)理數(shù)，推翻了畢達(dá)哥拉斯的著名理論。相傳當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯派的人正在海上，但就因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)而把希伯斯拋入大海。

解決：

1、伯內(nèi)特解釋了芝諾的“二分法”：即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，在你走完全程之前必須先走過(guò)給定距離的一半，為此又必須走過(guò)一半的一半，等等，直至無(wú)窮。

亞里士多德批評(píng)芝諾在這里犯了錯(cuò)誤：“他主張一個(gè)事物不可能在有限的時(shí)間里通過(guò)無(wú)限的事物，或者分別地和無(wú)限的事物相接觸，須知長(zhǎng)度和時(shí)間被說(shuō)成是“無(wú)限的”有兩種涵義。

一般地說(shuō)，一切連續(xù)事物被說(shuō)成是“無(wú)限的”都有兩種涵義：或分起來(lái)的無(wú)限，或延伸上的無(wú)限。因此，一方面，事物在有限的時(shí)間里不能和數(shù)量上無(wú)限的事物相接觸。

另一方面，卻能和分起來(lái)無(wú)限的事物相接觸，因?yàn)闀r(shí)間本身分起來(lái)也是無(wú)限的。因此，通過(guò)一個(gè)無(wú)限的事物是在無(wú)限的時(shí)間里而不是在有限的時(shí)間里進(jìn)行的，和無(wú)限的事物接觸是在無(wú)限數(shù)的而不是在有限數(shù)的范圍上進(jìn)行的。

2、亞里士多德指出這個(gè)論證和前面的二分法是一回事，這個(gè)論證得到的結(jié)論是：跑得慢的人不可能被趕上。

因此，對(duì)這個(gè)論證的解決方法也必然是同一個(gè)方法，認(rèn)為在運(yùn)動(dòng)中領(lǐng)先的東西不能被追上這個(gè)想法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵谒I(lǐng)先的時(shí)間內(nèi)是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過(guò)所規(guī)定的有限的距離的話(huà)，那么它也是可以被趕上的。

3、亞里士多德認(rèn)為芝諾的這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，因?yàn)闀r(shí)間不是由不可分的‘現(xiàn)在’組成的，正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。亞里士多德認(rèn)為，這個(gè)結(jié)論是因?yàn)榘褧r(shí)間當(dāng)作是由‘現(xiàn)在’組成的而引起的，如果不肯定這個(gè)前提，這個(gè)結(jié)論是不會(huì)出現(xiàn)的。

4、亞里士多德認(rèn)為，這里錯(cuò)誤在于他把一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)另一運(yùn)動(dòng)物體所花的時(shí)間，看做等同于以相同速度經(jīng)過(guò)相同大小的靜止物體所花的時(shí)間，事實(shí)上這兩者是不相等的。

二、微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑，險(xiǎn)些要把整個(gè)微積分理論推翻。

解決：經(jīng)過(guò)柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無(wú)窮小量，微積分理論得以發(fā)展和完善，從而使數(shù)學(xué)大廈變得更加輝煌美麗！

三、羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點(diǎn)的話(huà)來(lái)說(shuō)，小明有一天說(shuō)：“我正在撒謊！”問(wèn)小明到底撒謊還是說(shuō)實(shí)話(huà)。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識(shí)，它很簡(jiǎn)單，卻可以輕松摧毀集合理論！

解決

1、排除悖論，危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)。”

1908年，策梅羅在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱(chēng)為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。

2、公理化集合系統(tǒng)，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿(mǎn)地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。

擴(kuò)展資料：

在類(lèi)的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，我們只能從其客觀含義上給予解釋?zhuān)@樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。

我們可以把類(lèi)理解成為是由若干元素組成的一個(gè)整體。一個(gè)類(lèi)是否是另一個(gè)類(lèi)的元素是完全確定的，這就是類(lèi)元素的確定性。類(lèi)A如果不是類(lèi)B的元素，則稱(chēng)A不屬于B。

參考資料：百度百科-第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考資料：百度百科-第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考資料：百度百科-第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考資料：百度百科-數(shù)學(xué)三大危機(jī)

解決：

1、伯內(nèi)特解釋了芝諾的“二分法”：即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，在你走完全程之前必須先走過(guò)給定距離的一半，為此又必須走過(guò)一半的一半，等等，直至無(wú)窮。亞里士多德批評(píng)芝諾在這里犯了錯(cuò)誤：“他主張一個(gè)事物不可能在有限的時(shí)間里通過(guò)無(wú)限的事物，或者分別地和無(wú)限的事物相接觸，須知長(zhǎng)度和時(shí)間被說(shuō)成是“無(wú)限的”有兩種涵義。

一般地說(shuō)，一切連續(xù)事物被說(shuō)成是“無(wú)限的”都有兩種涵義：或分起來(lái)的無(wú)限，或延伸上的無(wú)限。因此，一方面，事物在有限的時(shí)間里不能和數(shù)量上無(wú)限的事物相接觸；另一方面，卻能和分起來(lái)無(wú)限的事物相接觸，因?yàn)闀r(shí)間本身分起來(lái)也是無(wú)限的。因此，通過(guò)一個(gè)無(wú)限的事物是在無(wú)限的時(shí)間里而不是在有限的時(shí)間里進(jìn)行的，和無(wú)限的事物接觸是在無(wú)限數(shù)的而不是在有限數(shù)的范圍上進(jìn)行的。

2、亞里士多德指出這個(gè)論證和前面的二分法是一回事，這個(gè)論證得到的結(jié)論是：跑得慢的人不可能被趕上。因此，對(duì)這個(gè)論證的解決方法也必然是同一個(gè)方法，認(rèn)為在運(yùn)動(dòng)中領(lǐng)先的東西不能被追上這個(gè)想法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵谒I(lǐng)先的時(shí)間內(nèi)是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過(guò)所規(guī)定的有限的距離的話(huà)，那么它也是可以被趕上的。

二、微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑，險(xiǎn)些要把整個(gè)微積分理論推翻。

解決

擴(kuò)展資料：

在類(lèi)的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，我們只能從其客觀含義上給予解釋?zhuān)@樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。

數(shù)學(xué)中研究的任何一個(gè)客體對(duì)象都稱(chēng)為一個(gè)類(lèi)。類(lèi)的概念是沒(méi)有任何限制。類(lèi)與類(lèi)之間可能存在著一種稱(chēng)為屬于的關(guān)系，類(lèi)A屬于類(lèi)B，此時(shí)也稱(chēng)類(lèi)A是類(lèi)B的一個(gè)元素（簡(jiǎn)稱(chēng)為元）。我們可以把類(lèi)理解成為是由若干元素組成的一個(gè)整體。一個(gè)類(lèi)是否是另一個(gè)類(lèi)的元素是完全確定的，這就是類(lèi)元素的確定性。類(lèi)A如果不是類(lèi)B的元素，則稱(chēng)A不屬于B。

另一個(gè)不加定義的概念就是：類(lèi)總是具有一定的性質(zhì)，我們常以P（x）表示類(lèi)x具有性質(zhì)P。我們可以把性質(zhì)理解為“關(guān)于類(lèi)的一句表述”。我們還認(rèn)為邏輯學(xué)中的基本概念與基本知識(shí)是類(lèi)理論的基礎(chǔ)。

參考資料來(lái)源：百度百科數(shù)學(xué)三大危機(jī)

參考資料來(lái)源：百度百科第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考資料來(lái)源：百度百科第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考資料來(lái)源：百度百科第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，該學(xué)派人數(shù)固定，知識(shí)保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖。當(dāng)時(shí)人們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限，對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念更是一無(wú)所知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù)，原來(lái)是指整數(shù)，他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù)，而僅看作兩個(gè)整數(shù)之比，他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理）通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解。使當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
最后，這場(chǎng)危機(jī)通過(guò)在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。兩個(gè)幾何線(xiàn)段，如果存在一個(gè)第三線(xiàn)段能同時(shí)量盡它們，就稱(chēng)這兩個(gè)線(xiàn)段是可通約的，否則稱(chēng)為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線(xiàn)，就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線(xiàn)段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。
我認(rèn)為第一次危機(jī)的產(chǎn)生最大的意義導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)地產(chǎn)生，比如說(shuō)我們現(xiàn)在說(shuō)的，都無(wú)法用來(lái)表示，那么我們必須引入新的數(shù)來(lái)刻畫(huà)這個(gè)問(wèn)題，這樣無(wú)理數(shù)便產(chǎn)生了，正是有這種思想，當(dāng)我們將負(fù)數(shù)開(kāi)方時(shí)，人們引入了虛數(shù)i（虛數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)致復(fù)變函數(shù)等學(xué)科的產(chǎn)生，并在現(xiàn)代工程技術(shù)上得到廣泛應(yīng)用），這使我不得不佩服人類(lèi)的智慧。但我個(gè)人認(rèn)為第一次危機(jī)的真正解決在1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義，因?yàn)閿?shù)學(xué)是很強(qiáng)調(diào)其嚴(yán)格的邏輯與推證性的。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問(wèn)題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，微積分的雛形早在古希臘時(shí)期就形成了，阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無(wú)限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開(kāi)辟了新的天地——微積分。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零；第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾．焦點(diǎn)是：無(wú)窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？
直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。柯西認(rèn)為把無(wú)窮小量作為確定的量，即使是零，都說(shuō)不過(guò)去，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念，另外Weistrass創(chuàng)立了極限理論，加上實(shí)數(shù)理論，集合論的建立，從而把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來(lái)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。
而我自己的理解是一個(gè)無(wú)窮小量，是不是零要看它是運(yùn)動(dòng)的還是靜止的，如果是靜止的，我們當(dāng)然認(rèn)為它可以看為零；如果是運(yùn)動(dòng)的，比如說(shuō)1/n，我們說(shuō) ，但n個(gè)1/n相乘就為1，這就不是無(wú)窮小量了，當(dāng)我們遇到等情況時(shí)，我們可以用洛比達(dá)法則反復(fù)求導(dǎo)來(lái)考查極限，也可以用Taylor展式展開(kāi)后，一階一階的比，我們總會(huì)在有限階比出大小。
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，號(hào)稱(chēng)天衣無(wú)縫，絕對(duì)正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾。
我從很早以前就讀過(guò)“理發(fā)師悖論”，就是一位理發(fā)師給不給自己理發(fā)的人理發(fā)。那么理發(fā)師該不該給自己理發(fā)呢？還有大家熟悉的“說(shuō)謊者悖論”，其大體內(nèi)容是：一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有克里特人說(shuō)的每一句話(huà)都是謊話(huà)。”試問(wèn)這句話(huà)是真還是假?從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，這就是羅素悖論的一個(gè)具體例子。
羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認(rèn)為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實(shí)雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有R R。一個(gè)集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因?yàn)榧纫猂有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來(lái)，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應(yīng)該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類(lèi)事物包含所有的同類(lèi)事物，必會(huì)引出最大的這類(lèi)事物。歸根結(jié)底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實(shí)質(zhì)上，羅素悖論就是一個(gè)以否定形式陳述的最大集合悖論。
從此，數(shù)學(xué)家們就開(kāi)始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過(guò)德國(guó)的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂ZF公理系統(tǒng)），這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來(lái)。

　　第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
　　歷史背景
　　畢達(dá)哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家，他曾有一句名言「凡物皆數(shù)」，意思是萬(wàn)物的本原是數(shù)，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬(wàn)物。不過(guò)要注意的是，在那個(gè)年代，他們相信一切數(shù)字皆可以表達(dá)為整數(shù)或整數(shù)之比——分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)單而言，他們所認(rèn)識(shí)的只是「有理數(shù)」。
　　有趣的有理數(shù)
　　當(dāng)時(shí)的人只有「有理數(shù)」的觀念是絕不奇怪的。對(duì)于整數(shù)，在數(shù)在線(xiàn)我們可以知道是一點(diǎn)點(diǎn)分散的，而且點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是一，那就是說(shuō)，整數(shù)不能完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，但有理數(shù)則不同了，我們發(fā)現(xiàn)任何兩個(gè)有理數(shù)之間，必定有另一個(gè)有理數(shù)存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數(shù)」可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個(gè)想法是錯(cuò)的，因?yàn)椤?br />　　勾股定理（畢氏鐵拳）
　　偉大的時(shí)刻來(lái)臨了，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)時(shí)眾所周知的勾股定理（其實(shí)中國(guó)于公元前一千一百年已有此定理），從這個(gè)定理中，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了一件不可思議的事，就是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，竟然是一個(gè)無(wú)法寫(xiě)成為有理數(shù)的數(shù)。亦即是說(shuō)有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界來(lái)說(shuō)，是一個(gè)極大的震撼，也是歷史上的「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」。
　　新的一頁(yè)
　　原來(lái)「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」是「無(wú)理數(shù)」的發(fā)現(xiàn)，不過(guò)它還說(shuō)出了「有理數(shù)」的不完備性，亦即有理數(shù)不可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，在有理數(shù)之間還有「罅隙」，無(wú)疑這些都是可被證明的事實(shí)，是不能否定的。面對(duì)著事實(shí)，數(shù)學(xué)家展開(kāi)廣闊的胸襟，把「無(wú)理數(shù)」引入數(shù)學(xué)的大家庭，令數(shù)學(xué)更豐富更完備，加添了無(wú)理數(shù)，數(shù)線(xiàn)終于被填滿(mǎn)了。
　　三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)展及解決辦法
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　　第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　歷史背景
　　畢達(dá)哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家，他曾有一句名言「凡物皆數(shù)」，意思是萬(wàn)物的本原是數(shù)，數(shù)的規(guī)律統(tǒng)治萬(wàn)物。不過(guò)要注意的是，在那個(gè)年代，他們相信一切數(shù)字皆可以表達(dá)為整數(shù)或整數(shù)之比——分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)單而言，他們所認(rèn)識(shí)的只是「有理數(shù)」。

　　有趣的有理數(shù)
　　當(dāng)時(shí)的人只有「有理數(shù)」的觀念是絕不奇怪的。對(duì)于整數(shù)，在數(shù)在線(xiàn)我們可以知道是一點(diǎn)點(diǎn)分散的，而且點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是一，那就是說(shuō)，整數(shù)不能完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，但有理數(shù)則不同了，我們發(fā)現(xiàn)任何兩個(gè)有理數(shù)之間，必定有另一個(gè)有理數(shù)存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數(shù)」可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個(gè)想法是錯(cuò)的，因?yàn)椤?br />
　　勾股定理（畢氏鐵拳）
　　偉大的時(shí)刻來(lái)臨了，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)時(shí)眾所周知的勾股定理（其實(shí)中國(guó)于公元前一千一百年已有此定理），從這個(gè)定理中，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了一件不可思議的事，就是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，竟然是一個(gè)無(wú)法寫(xiě)成為有理數(shù)的數(shù)。亦即是說(shuō)有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界來(lái)說(shuō)，是一個(gè)極大的震撼，也是歷史上的「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」。

　　新的一頁(yè)
　　原來(lái)「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」是「無(wú)理數(shù)」的發(fā)現(xiàn)，不過(guò)它還說(shuō)出了「有理數(shù)」的不完備性，亦即有理數(shù)不可以完全填滿(mǎn)整條數(shù)線(xiàn)，在有理數(shù)之間還有「罅隙」，無(wú)疑這些都是可被證明的事實(shí)，是不能否定的。面對(duì)著事實(shí)，數(shù)學(xué)家展開(kāi)廣闊的胸襟，把「無(wú)理數(shù)」引入數(shù)學(xué)的大家庭，令數(shù)學(xué)更豐富更完備，加添了無(wú)理數(shù)，數(shù)線(xiàn)終于被填滿(mǎn)了。

　　不過(guò)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)又將要來(lái)臨了！

　　第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
　　「飛矢不動(dòng)」的吊詭
　　古代的希臘是研究哲學(xué)的人聚集的地方，在云云的哲學(xué)學(xué)派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運(yùn)動(dòng)只是幻覺(jué)。」至于這個(gè)主張的理念，不是我們的討論范圍，不過(guò)，這個(gè)學(xué)派的學(xué)者之一——芝諾，為了論證運(yùn)動(dòng)是幻象，提出了「飛矢不動(dòng)」的「理論」：箭在每一瞬間都要占據(jù)一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動(dòng)呢？
　　數(shù)學(xué)——打破吊詭的武器
　　當(dāng)然我們完全明白「飛矢不動(dòng)」是一個(gè)歪論，但數(shù)學(xué)是一個(gè)講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家們要從問(wèn)題的核心「動(dòng)」作為開(kāi)始，要證明「飛矢必動(dòng)」。所謂動(dòng)是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時(shí)間的比，換句話(huà)說(shuō)，要證明箭在每一瞬間都是動(dòng)即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個(gè)難題，因?yàn)槿绾握页雒恳凰查g的速率呢？
　　無(wú)堅(jiān)不摧——微積分
　　要解決每一瞬間的速率（以下稱(chēng)瞬時(shí)速度）的問(wèn)題，偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家——牛頓（1643–1727），發(fā)現(xiàn)了一件無(wú)堅(jiān)不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計(jì)算出物體的瞬時(shí)速度。這個(gè)發(fā)現(xiàn)震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界，而且除了瞬時(shí)速度，微積分更在不同方面有廣泛的應(yīng)用，并得到了瞬速的發(fā)展。不過(guò)，好境不常．．．
　　既不是零又不是非零？
　　因?yàn)槲⒎e分必須要考慮所謂「無(wú)窮小量」的問(wèn)題，所謂「無(wú)窮小量」是指一個(gè)「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個(gè)量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話(huà)說(shuō)，「無(wú)窮小量」是一個(gè)既不是零又不是非零的量，那么，「無(wú)窮小量」是零嗎？如果解不到這個(gè)問(wèn)題，所謂無(wú)堅(jiān)不摧的微積分，便無(wú)立足之地，一切由微積分所得出來(lái)的完美的數(shù)學(xué)和物理學(xué)上的結(jié)果也付諸流水，所以數(shù)學(xué)史上稱(chēng)之為「第二次數(shù)學(xué)危機(jī)」。
　　化危為機(jī)
　　數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)家必不逃避問(wèn)題，面對(duì)困難，接受挑戰(zhàn)，是數(shù)學(xué)家的不朽格言。另一位偉大的數(shù)學(xué)家柯西（1789–1857），重新建立微積分學(xué)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析是透過(guò)一套嚴(yán)格的「數(shù)學(xué)語(yǔ)言——ε–語(yǔ)言」來(lái)說(shuō)明甚么是變量、無(wú)窮小和極限等的概念和定義，解決了甚么是既不是零又不是非零的問(wèn)題，而這次的危機(jī)亦安然渡過(guò)，并為數(shù)學(xué)的大家庭增添了一位成員「數(shù)學(xué)分析」，也提醒了數(shù)學(xué)家們要繼續(xù)要求嚴(yán)格，不可松懈。

　　第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
　　一個(gè)有趣的故事
　　在村有一位手藝高超的理發(fā)師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那么，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個(gè)不給自己刮臉的人，他應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由于他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉了。他應(yīng)該如何呢？
　　數(shù)學(xué)和哲學(xué)界的巨匠——羅素
　　以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素（1872–1970）是英國(guó)著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，曾獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)金。他想把算術(shù)系統(tǒng)全歸結(jié)于邏輯，所以他與懷海德合作寫(xiě)的一本巨著《數(shù)學(xué)原理》。
　　理發(fā)師的威力
　　羅素的悖論確是給當(dāng)時(shí)正為了微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)被建立而歡欣鼓舞的數(shù)學(xué)家們潑了一盆冷水，但這個(gè)理發(fā)師的力量有多大，竟然可以推倒數(shù)學(xué)大廈呢？在較高等的數(shù)學(xué)里，我們會(huì)把整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)納入「集合論」之中，換句話(huà)說(shuō)，集合論便是數(shù)學(xué)大廈的基石，所以當(dāng)集合論中出現(xiàn)矛盾時(shí)，建基于此之上的數(shù)學(xué)大廈也會(huì)站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個(gè)基石作出致命的一擊，這個(gè)「自己既要屬于自己又同時(shí)不屬于自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的矛盾，只要矛盾一日存在，數(shù)學(xué)大廈也不可穩(wěn)固，更會(huì)在倒塌的危機(jī)，這個(gè)也是數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)。
　　解鈴還須系鈴人？
　　羅素雖然提出了問(wèn)題，成為危機(jī)的制造者，但同時(shí)也是危機(jī)的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個(gè)矛盾，使得「自己既要屬于自己又同時(shí)不屬于自己」不可能出現(xiàn)。不過(guò)，這個(gè)層次理論十分復(fù)雜，所以數(shù)學(xué)家要把這個(gè)方法加以簡(jiǎn)化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及后再由弗蘭克和斯柯倫的補(bǔ)充修改，仍成現(xiàn)在在數(shù)學(xué)上較為流行公理系統(tǒng)——「ZFS公理系統(tǒng)」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數(shù)學(xué)從回到嚴(yán)緊和無(wú)矛盾的領(lǐng)域，而且更促使一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支——「數(shù)學(xué)基礎(chǔ)」有著迅速的發(fā)展。

數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及如何化解
2、公理化 *** 系統(tǒng)，成功排除了 *** 論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿(mǎn)地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如...

簡(jiǎn)答歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的根源與解決
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是關(guān)于 *** 論,即著名的羅素悖論, *** 的定義受到了攻擊.最終通過(guò)不同的公理化系統(tǒng)解決,使數(shù)理邏輯等學(xué)科得到發(fā)展。歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī),給人們帶來(lái)了極大的麻煩,危機(jī)的產(chǎn)生使人們認(rèn)識(shí)到了現(xiàn)有理論的缺陷,科學(xué)中悖論的產(chǎn)生常常預(yù)示著人類(lèi)的認(rèn)識(shí)將進(jìn)入一個(gè)新階段,所以悖論是科學(xué)發(fā)展的...

數(shù)學(xué)三大危機(jī)是什么。
第二，微積分的合理性遭到嚴(yán)重質(zhì)疑，險(xiǎn)些要把整個(gè)微積分理論推翻。第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點(diǎn)的話(huà)來(lái)說(shuō)，小明有一天說(shuō)：“我正在撒謊！”問(wèn)小明到底撒謊還是說(shuō)實(shí)話(huà)。羅素悖論的可怕在于，它不像最大序數(shù)悖論或最大基數(shù)悖論那樣涉及集合高深知識(shí)，它很簡(jiǎn)單...

簡(jiǎn)述三次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容及解決情況.
數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī),是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來(lái)看,還沒(méi)有解決到令人滿(mǎn)意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。 18...

簡(jiǎn)述三次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容及解決情況?
由于定義不嚴(yán)格，無(wú)窮小量這些概念引起爭(zhēng)論，最終建立了實(shí)數(shù)理論，極限理論，使得數(shù)學(xué)分析有了嚴(yán)格基礎(chǔ)\\r\\n第三次數(shù)學(xué)危機(jī)關(guān)于集合論，即著名的羅素悖論，集合的定義收到了攻擊。最終通過(guò)不同的公理化系統(tǒng)解決，使數(shù)理邏輯等學(xué)科得到發(fā)展\\r\\n希望對(duì)你有幫助！

三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別是什么
1、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：畢達(dá)哥拉斯悖論畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了畢達(dá)哥拉斯定理，也就是我們所說(shuō)的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應(yīng)有如下關(guān)系，即a^2=b^2+c^2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。然而不久畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)學(xué)生希伯斯很快便發(fā)現(xiàn)了...

在數(shù)學(xué)史上有哪三次危機(jī)?(詳細(xì)一點(diǎn))
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)源于羅素悖論，具體表現(xiàn)為一個(gè)理發(fā)師為全村所有不愿給自己刮胡子的人刮胡子的問(wèn)題。如果這位理發(fā)師愿意刮胡子，那么根據(jù)承諾他不能給自己刮；如果他不愿刮，則必須履行承諾給自己刮。這一悖論引發(fā)了廣泛討論，最終數(shù)學(xué)家們達(dá)成共識(shí)，認(rèn)為此類(lèi)問(wèn)題無(wú)法解決，從而化解了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第四...

三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別是什么
數(shù)學(xué)歷史上的三次危機(jī)，分別是達(dá)哥拉斯悖論、貝克萊悖論和羅素悖論。1. 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)：畢達(dá)哥拉斯悖論畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的重要貢獻(xiàn)之一是證明了畢達(dá)哥拉斯定理，即勾股定理。該定理表述為直角三角形的三邊滿(mǎn)足 a2 = b2 + c2，其中a和b是直角邊，c是斜邊。然而，畢達(dá)哥...

【轉(zhuǎn)載】數(shù)學(xué)史的三次數(shù)學(xué)危機(jī)
數(shù)學(xué)的發(fā)展中蘊(yùn)含著矛盾與挑戰(zhàn)，這正是推動(dòng)數(shù)學(xué)進(jìn)步的力量源泉。數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)，揭示了數(shù)學(xué)在不同階段面臨的基礎(chǔ)性問(wèn)題，每一次危機(jī)的解決，不僅帶來(lái)了新內(nèi)容和新發(fā)展，還引發(fā)了革命性的變革，深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展路徑。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)始于古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)信“萬(wàn)物皆數(shù)”，整數(shù)的有限性...

歷史上有幾次數(shù)學(xué)危機(jī)?對(duì)這次數(shù)學(xué)危機(jī)采取什么態(tài)度?這種態(tài)度對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展...
因此，數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，都有其一定的文化背景。這三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別是：第一次：古希臘時(shí)代，由于不可公度的線(xiàn)段――無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與一些直覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)想抵觸而引發(fā)的；第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論后，對(duì)無(wú)窮小量的理解未及深透引起的；第三次：是當(dāng)羅素發(fā)現(xiàn)了集合論中的悖論，危及...

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數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)及如何化解什么是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的三次危機(jī)

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