設(shè)(G，*)是偶數(shù)階群，證明在G中必存在非幺元a，使得a*a=e。
對(duì)于G中元素g，如果g*g≠e，即g≠g-1，那么g和其逆元g-1應(yīng)成對(duì)地在G中出現(xiàn)，所以在G中滿足條件g≠g-1的元素有偶數(shù)個(gè)；由于G是偶數(shù)階群，所以G中有偶數(shù)個(gè)元素，由此可知，G中以自身為逆元的元素(即a=a-1)也有偶數(shù)個(gè)。易知，幺元e是以自身為逆元的元素，所以除幺元外，G中至少有一個(gè)元素a是以自身為逆元，即G中存在元素a，a≠e且a*a=e。
離散數(shù)學(xué):設(shè)<G,*>是一個(gè)偶數(shù)階的群,H是G的子群,|H|=|G|\/2,證明H是G...
這個(gè)是顯然啊…因?yàn)閇G：H]=2，所以對(duì)任意的a不屬于H，有G=H并aH=H并Ha，所以aH=Ha
【證明】在偶數(shù)階群G中,方程g^2=1總有偶數(shù)個(gè)解。
證明如下：當(dāng)g的階大于2時(shí)，g^-1也不是二階元，因此階大于2的元素總是成對(duì)出現(xiàn)，從而有偶數(shù)個(gè)。但是G的階是偶數(shù)，所以階小于等于2的元素也有偶數(shù)個(gè)，這些元素恰是方程g^2=1的解。
怎么證明:任意偶數(shù)階群必含有階為2的元素
群階為偶數(shù)（設(shè)為2n）,則群中必有一元素a，a的2n階為e, a 的1階，2階，一直到2n階必在群中，a的n階即為階為2的元素。
有限群可解群
主群列則是在群G中由有限多個(gè)正規(guī)子群形成的降鏈，Gi是Gi-1的極大正規(guī)子群。對(duì)于任意兩個(gè)主群列，它們也是等價(jià)的。若爾當(dāng)-赫爾德-施賴埃爾定理指出，有限群總存在合成群列或主群列，并且任意兩個(gè)群列是等價(jià)的。伯恩賽德定理指出，階等于pα·qb的群，其中p、q是不同的素?cái)?shù)，α、b是非負(fù)整數(shù)，總...
伯恩賽德的經(jīng)歷
1892年起研究群論，是群表示論的主要?jiǎng)?chuàng)始人之一，并應(yīng)用群表示論證明了(p^a)*(q^b)階群是可解群（p、q為素?cái)?shù)）。1899年獲倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)德·摩根獎(jiǎng)。他所著的《群論》（1897）是有限群論的第一部系統(tǒng)著作，深刻影響其后的群論體系。1900年左右，伯恩賽德提出了一個(gè)著名的猜想：一個(gè)奇數(shù)階群G必存在...
近世代數(shù) 有限群的階
證明：設(shè)群G中的元素x 是階數(shù)大于2的元素 ，由于階數(shù)大于2，因此，它的逆不是自身，并且，它的逆的階數(shù)也大于2。因此階數(shù)大于2的元素成對(duì)出現(xiàn)，必為偶數(shù)個(gè)。
什么是法伊特﹣湯普森定理
對(duì)伯爾尼賽德推測的著手證明開始于鈴木通夫，他研究著CA群──會(huì)使得每個(gè)非當(dāng)然元素之中心化子（Centralizer）都是可換（Abelian）的群。在一個(gè)前瞻性的論文中，他證明出了所有奇階的CA群都會(huì)是可解的。（他隨后將所有的簡單CA群做了分類，且更一般性地將其中存在任一個(gè)有著正規(guī)2-西羅子群之對(duì)合中心...
證明任何群的自同構(gòu)群都不能是奇數(shù)階循環(huán)群?
②交換群G的階大于2時(shí)，自同構(gòu)群Aut(G)含有階為2的元素。分兩種情況，(1)當(dāng)群G含有階大于2的元素時(shí)，映射：g到g的逆是非恒等自同構(gòu)，且這個(gè)自同構(gòu)是二階的。(2)當(dāng)群中所有非單位元的階都是2時(shí)，(1)中提到的自同構(gòu)是恒等自同構(gòu)，即每個(gè)元素映射到自身，不能再用這個(gè)自同構(gòu)，因?yàn)榻粨Q群G每個(gè)...
在偶數(shù)階群g中,方程x的平方=e有偶數(shù)個(gè)解
要證明階為2的元素有奇數(shù)個(gè)，只要證明階大于2的元素有偶數(shù)個(gè)即可。證明：設(shè)a的階為k＞2，則a的逆元的階也是k，且a≠a逆。若a=a逆，則a^2=e，與a的階k＞2矛盾。所以階大于2的元素一定是成對(duì)出現(xiàn)，有偶數(shù)個(gè)。階為1的元素只有一個(gè)，是單位元e。G的元素個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以階為2的元素一定有...
群的元素與群的階有關(guān)系嗎?
有關(guān)系的。1、在有限群中，存在這樣一個(gè)定理：每一個(gè)元的階都有限。2、在一個(gè)有限群里，階數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)。3、無限群G中，除去單位元外，每個(gè)元素的階均無限。4、無限群G中，每個(gè)元素的階都有限。5、G為無限群，G中除單位元外，既有無限階的元，又有有限階的元?。6...
相關(guān)評(píng)說：
正藍(lán)旗合成： ______ 考慮有限群在自身上的共軛作用, 則每個(gè)共軛類是一個(gè)軌道. 每個(gè)軌道的長度都是群的階數(shù)的因子, 這對(duì)有限群的群作用都成立. 如果對(duì)群作用不熟, 也可以這樣考慮: 設(shè)群為G, 取定一個(gè)元素x∈G. 則G中滿足g^(-1)xg = x的元素g構(gòu)成了G的一個(gè)子群H(稱為x的中心化子). 若y = a^(-1)xa, 可以驗(yàn)證y = g^(-1)xg當(dāng)且僅當(dāng)g∈H的右陪集Ha. x所在的共軛類的元素一一對(duì)應(yīng)于H的右陪集, 元素個(gè)數(shù) = |G|/|H|, 是|G|的因子.
正藍(lán)旗合成： ______[答案] 任取a,b屬于G. 那么a^2=e,b^2=e,且ab屬于G. 那么(ab)^2=e 故abab=e=a^2b^2 故ba=ab 故G可交換.
正藍(lán)旗合成： ______[答案] A應(yīng)該是非空子集 此時(shí),若a屬于A, 則 由已知 aa^-1 = 1 屬于 A 且 1a^-1 = a^-1 屬于 A 若 a,b 屬于 A 則由上知 b^-1屬于 A 所以 a(b^-1)^-1 = ab 屬于 A 故 A 是G的子群
正藍(lán)旗合成： ______[答案] 只要證明H={e,a,b,ab=ba}為一個(gè)4階子群 顯然ab≠a,ab≠b,否則與a和b為2階元矛盾. 因?yàn)閍^2=b^2=2,所以a^-1=a,b^-1=b 所以(ab)^-1=b^-1*a^-1=ba=ab 證畢.
正藍(lán)旗合成： ______[答案] (1) 任取G的一個(gè)不為單位元的元素a,考查由a生成的子群. 這是一個(gè)循環(huán)群,且為G的子群. 由Lagrange定理,這個(gè)群的階數(shù)整除P,而顯然不是平凡群(因?yàn)閍不是單位元),而P為素?cái)?shù),故的階數(shù)只能為P. 那么其實(shí)就是整個(gè)群G.從而G為循環(huán)群. (...
