抽象代數(shù)——群（1）——基本概念
若群 G 滿足交換律，即對所有 a, b ∈ G，有 a * b = b * a，則稱 G 為交換群或阿貝爾群。
注1：廣義結(jié)合律表示對有限多個(gè)元素 a_1, a_2, ..., a_n 的乘積，不論如何加括號，結(jié)果都相同。
注2：確實(shí)存在不滿足結(jié)合律的情況，留待讀者思考或后續(xù)補(bǔ)充。
定理1（群的基本性質(zhì)）：在群 G 中，幺元是唯一的；任一元素的逆元是唯一的；群中具有消去律，即若 ab = ac，則 b = c（左消去律），若 ba = ca，則 b = c（右消去律）。
定理2：群 G 中任一非幺元元素都能唯一分解為不相交輪換的乘積。
定義2：群 G 中元素的數(shù)量稱為 G 的階，記作 |G|。若 |G| < ∞，則稱 G 為有限群；否則，稱 G 為無限群。
定義3：設(shè) S 為非空集合，S 到自身的雙射全體對于映射的乘法構(gòu)成的群稱為 S 的全變換群，記作 Aut(S)。
定義4：設(shè) S 為含 n 個(gè)元素的集合，S 的全變換群稱為 S 的 n 級對稱群，記作 S_n。
定義5：設(shè) H 是群 G 的非空子集，若 H 在 G 的運(yùn)算下構(gòu)成群，則稱 H 是 G 的子群，記作 H。
例如，(Z, +) 是群，其中 Z 是整數(shù)集合，+ 是加法運(yùn)算。
定理4：設(shè) G 是群，H 是 G 的子集，若 H 非空，且滿足：H 中存在幺元，對所有 a, b ∈ H，有 ab ∈ H（封閉性），對所有 a ∈ H，有 a^(-1) ∈ H（含逆元），則 H 是 G 的子群。
定義6：設(shè) G 是群，M 是 G 的子集，稱所有包含 M 的子群的交為由 M 生成的子群，記作 。
定義7：設(shè) G 是群，G 由有限多個(gè)元素生成，則稱 G 是有限生成群。
對于群 G 中任意元素 a，其階為滿足 a^n = e 的最小正整數(shù) n，若無此 n，則階為無窮。
引入陪集的概念，設(shè) G 是群，H 是 G 的子集，用 H 可以給出 G 上的等價(jià)關(guān)系，其中等價(jià)類為 H 的左（右）陪集。
定理5（拉格朗日定理）：設(shè) G 是有限群，H 是 G 的子群，則 |H| |G|。
推論2：有限群 G 的任一元素 a 的階 |a| 整除 |G|。
引入正規(guī)子群的概念，設(shè) G 是群，H 是 G 的子集，若對任意 a ∈ G，有 aH = Ha，則稱 H 是 G 的正規(guī)子群。
定理6：設(shè) G 是群，H 是 G 的子集，若對于所有 a, b ∈ G，有 abH = aHb，則稱 H 是 G 的正規(guī)子群。
定理7：設(shè) G 是群，H 是 G 的正規(guī)子集，H 的陪集在乘法下構(gòu)成群，稱為 G 關(guān)于 H 的商群，記作 G/H。
抽象代數(shù)——群(1)——基本概念
定理1（群的基本性質(zhì)）：在群 G 中，幺元是唯一的；任一元素的逆元是唯一的；群中具有消去律，即若 ab = ac，則 b = c（左消去律），若 ba = ca，則 b = c（右消去律）。定理2：群 G 中任一非幺元元素都能唯一分解為不相交輪換的乘積。定義2：群 G 中元素的數(shù)量稱為 G 的階，記...
抽象代數(shù)介紹 (群I)
在抽象代數(shù)領(lǐng)域，研究的核心對象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括但不限于群、環(huán)、域、模、向量空間、格和域代數(shù)。群作為其中的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，其定義為一個(gè)包含集合和滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算的系統(tǒng)。群的概念建立在更基礎(chǔ)的“半群”之上，半群指的是一個(gè)具有結(jié)合律二元運(yùn)算的集合。當(dāng)半群中包含單位元素時(shí)，我們稱之為“幺...
群論(1): 群, 同構(gòu)定理, 循環(huán)群
群同態(tài)、像和核：群之間的映射[公式]稱為群同態(tài)，其像[公式]和核[公式]是重要的概念。左陪集和商群：對于子群[公式]，左陪集[公式]的定義及其性質(zhì)，以及商群的構(gòu)造和Lagrange定理，闡述了群的劃分和關(guān)系。直積的定義和例子：通過一般線性群[公式]的正規(guī)子群[公式]和[公式]的關(guān)系，展示了直積的概念。
抽象代數(shù)重點(diǎn)解析——群(三)
[公式] 中的一個(gè)元素稱為一個(gè) [公式] 元置換，[公式] 的一個(gè)子群稱為一個(gè) [公式] 元置換群。變換群與置換群，全變換群與對稱群，這兩對概念雖遞進(jìn)，但區(qū)別明顯。定理1.6.1（Cayley定理）揭示，任何群都與一個(gè)變換群同構(gòu)，其證明思路如下：設(shè)[公式] 是群，[公式] ，定義映射[公式] ，[公...
代數(shù)的基本概念
1、基礎(chǔ)代數(shù)。基礎(chǔ)代數(shù)是代數(shù)學(xué)分支中最基礎(chǔ)的一個(gè)分支，它研究數(shù)字、變量和運(yùn)算符之間的關(guān)系和規(guī)律，是代數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念和方法之一。基礎(chǔ)代數(shù)主要包括四個(gè)部分。2、運(yùn)算和優(yōu)先級。基礎(chǔ)代數(shù)中最重要的兩個(gè)運(yùn)算是加法和乘法。優(yōu)先級是指在一個(gè)算式中，先執(zhí)行哪個(gè)運(yùn)算的規(guī)則。一般情況下，乘除...
數(shù)學(xué)問題中群的概念
在數(shù)學(xué)中，群是一種具有特定性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它包含了一個(gè)二元運(yùn)算，該運(yùn)算滿足封閉性、結(jié)合律、存在單位元和存在逆元。其中，阿貝爾群、同態(tài)和共軛類等都是群的重要類型。例如，置換群和一般線性群就是數(shù)學(xué)中常見的群。此外，群與集合也有著緊密的聯(lián)系。集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，是集合論的研究...
關(guān)系代數(shù)(1):基本概念和關(guān)系運(yùn)算
關(guān)系代數(shù)：探索基本概念與核心運(yùn)算 關(guān)系代數(shù)是數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)中處理數(shù)據(jù)的基本工具，它的運(yùn)算對象是關(guān)系，即表格形式的數(shù)據(jù)集合。讓我們一起深入了解這門強(qiáng)大的理論，通過三種核心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——Set、Bag和List，以及一系列關(guān)鍵運(yùn)算符來展開討論。基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與操作Set: 無序且不允許重復(fù)，像一個(gè)集合，代表了...
群的結(jié)構(gòu)與對稱性:有限群分類的詳細(xì)探討
§2.1 群 - 基本概念，包括群的定義和封閉性質(zhì)。§2.2 置換群 - 以排列元素的方式研究群的特定類型。§2.3 群的重排定理、正規(guī)子群和商群 - 揭示群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和子群關(guān)系。§2.4 群的置換表示理論初步 - 群與線性代數(shù)的結(jié)合應(yīng)用。§2.5 有限群的Sylow定理 - 有限群的重要理論工具。§2.6 ...
抽象代數(shù)| 同態(tài)與同構(gòu),群同態(tài)基本定理,第一、二群同態(tài)基本定理
群同態(tài)基本定理：定理1（群同態(tài)基本定理） 設(shè)[公式]是群[公式]到群[公式]的滿同態(tài)映射，則 [公式]proof：記[公式],則有[公式] ，令 [公式]則[公式]是[公式]到[公式] 的映射，接下來證明[公式] 是良定的，且[公式]是雙射。接下來證明[公式]是同態(tài)映射 [公式],由[公式]是同態(tài)，有[公式]...
數(shù)學(xué)群論的概念是什么?
數(shù)學(xué)群論是研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)分支，它主要關(guān)注于群（Group）這一基本概念及其性質(zhì)。群是一種具有特定運(yùn)算的集合，這個(gè)運(yùn)算滿足四個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律、存在單位元和存在逆元。群的概念在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如在幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、數(shù)論等領(lǐng)域都有群的身影。群論的起源可以追溯到19世紀(jì)，當(dāng)時(shí)...
相關(guān)評說：
武陟縣機(jī)床： ______[答案] n階循環(huán)群中的n表示這個(gè)循環(huán)群中有n個(gè)元素. φ(n) 是 Euler函數(shù),表示集合{1,2,3,.n}中與n互素的元素的個(gè)數(shù). 比如φ(3)=2,φ(4)=2. 當(dāng)p為素?cái)?shù)時(shí),φ(p)=p-1. n階循環(huán)群的自同構(gòu)是一個(gè)φ(n) 階群,不是n階群. 這個(gè)定理的證明基本上每本抽象代數(shù)書上都有的.
武陟縣機(jī)床： ______ 順序關(guān)系. 1、數(shù) 是一個(gè)用作計(jì)數(shù)、標(biāo)記或用作量度的抽象概念,是比較同質(zhì)或同屬性事物的等級的簡單符號 記錄形式(或稱度量).代表數(shù)的一系列符號,包括數(shù)字、運(yùn)算符號等統(tǒng)稱為記數(shù)系統(tǒng).在 日常生活中,數(shù)通常出現(xiàn)在在標(biāo)記(如公...
武陟縣機(jī)床： ______ 數(shù)學(xué)上,一個(gè)數(shù) 的倒數(shù)(英文:Reciprocal 或 Multiplicative inverse;拼音:dǎo shù;注音:ㄉㄠˇㄕㄨˋ)是指一個(gè)與 相乘的積為1的數(shù),記為 或.在抽象代數(shù)中,倒數(shù)所對應(yīng)的抽象化概念是乘法群的某個(gè)元素的“乘法逆”,也就...
武陟縣機(jī)床： ______[答案] 我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用,例如在物理中的應(yīng)用,群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ).本課程的目的是為了使學(xué)生對群論的基本理論有感性的認(rèn)識和理性的了解.本課程介紹群論的基本理論及某些應(yīng)用. 主要內(nèi)容有:首先...
武陟縣機(jī)床： ______ 1、錯(cuò).因?yàn)閮烧麛?shù)相除不一定還是整數(shù).2、錯(cuò).例如M是有理數(shù)集與單元素集{√2}的并,那么很容易發(fā)現(xiàn)M不符合域的定義.用非零元素跟√2加減乘除都行.3、對.(1)因?yàn)閿?shù)域P中包含一個(gè)非零元a,所以a+a=2a∈P,a-a=0∈P,2+2a=3a∈P,...
武陟縣機(jī)床： ______ 復(fù)試(筆試)試題覆蓋范圍如下: 實(shí)變函數(shù): R^n上的Lebesgue測度;可測函數(shù)的概念及其基本性質(zhì);可測函數(shù)的積分及其Lebesgue積分;積分的控制收斂定理、Levi引...
武陟縣機(jī)床： ______ 在數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)中,群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu).群在抽象代數(shù)中具有基本的重要地位:許多代數(shù)結(jié)構(gòu),包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運(yùn)算和公理而形成的.群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn),而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響.群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中,因?yàn)樵S多不同的物理結(jié)構(gòu),如晶體結(jié)構(gòu)和氫原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進(jìn)行建模.于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用.
武陟縣機(jī)床： ______[答案] 群本身具有封閉性,這是它定義的一部分.實(shí)際上群的性質(zhì)具有四個(gè).除了以上你列的三個(gè)以外,還有一個(gè)就是運(yùn)算的封閉性.子群同樣本身具有封閉性. 至于環(huán),參看環(huán)的定義,它是一個(gè)有兩個(gè)二元操作的集合,這兩個(gè)二元操作都必須符合封閉性,并且...
武陟縣機(jī)床： ______[答案] (Q*,x) 的情況你已說明,不和所有的同構(gòu). (Q去掉-1,￥)不構(gòu)成群.不考慮.結(jié)合律,單位元均無. (Q,+) 于(Z,+)肯定不同構(gòu),Z=,Q不能由有限個(gè)數(shù)生成. 類似的.(Q>0,x) ,也不于Z同構(gòu). Z與 同構(gòu),顯然.讓f(1)=π.所以 與(Q,+) ,(Q>0,x) 不同構(gòu)...
