請(qǐng)問(wèn)有人知道些有關(guān)數(shù)學(xué)歷史嗎？ 請(qǐng)問(wèn)有誰(shuí)知道數(shù)學(xué)的發(fā)展史嗎？
中國(guó)數(shù)學(xué)［Chinese Mathematics］
中國(guó)是世界文明古國(guó)之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。數(shù)學(xué)在中國(guó)的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。下面我們依歷史的發(fā)展，分段敘述。
1.先秦萌芽時(shí)期
黃河流域和長(zhǎng)江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產(chǎn)生了第一個(gè)奴隸制國(guó)家——夏朝。其后有商、殷兩代［約1500 B.C -1027 B.C］、及周朝［1027 B.C -221 B.C］。歷史上又稱公元前八世紀(jì)至秦王朝的建立［221 B.C］為春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期。
據(jù)《易．系辭》記載：「上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬(wàn)是專用的記數(shù)文字，共有13個(gè)獨(dú)立符號(hào)，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬(wàn)。
算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。
用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí)，采用十進(jìn)制值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間［法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬(wàn)、百相當(dāng)］，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。
籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國(guó)古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。
在幾何學(xué)方面《史記．夏本記》中說(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理［西方稱勾股定理］的特例。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊國(guó)人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包含了一些測(cè)量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識(shí)，例如角的概念。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長(zhǎng)也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如「至大無(wú)外謂之大一，至小無(wú)內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。
此外，講述陰陽(yáng)八卦，預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。
2.漢唐初創(chuàng)時(shí)期
這一時(shí)期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展，所經(jīng)歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。 秦漢是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期。為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。
西漢末年［公元前一世紀(jì)］編纂的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法，為后來(lái)重差術(shù)的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。
《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年［公元前一世紀(jì)］。全書采用問(wèn)題集的形式編寫，共收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等。在代數(shù)方面，《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對(duì)中國(guó)古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。 魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，對(duì)《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術(shù)》，不僅對(duì)原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，且在論述過(guò)程中多有創(chuàng)新，更撰寫《海島算經(jīng)》，應(yīng)用重差術(shù)解決有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題。劉徽其中一項(xiàng)重要的工作是創(chuàng)立割圓術(shù)，為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。
南北朝時(shí)期的社會(huì)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》就是這個(gè)時(shí)期的作品。《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問(wèn)題，導(dǎo)致求解一次同余組問(wèn)題；《張丘建算經(jīng)》的「百雞問(wèn)題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問(wèn)題。
祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時(shí)期最具代表性，他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們?cè)跀?shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就：(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖 日桓定理［冪勢(shì)既同，則積不容異］并得到球體積公式；(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。
隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是討論土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題。
唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長(zhǎng)足的發(fā)展。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》［包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》］，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對(duì)保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。
此外，隋唐時(shí)期由于歷法需要，創(chuàng)立出二次內(nèi)插法，為宋元時(shí)期的高次內(nèi)插法奠定了基礎(chǔ)。而唐朝后期的計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書，對(duì)于乘除算法力求簡(jiǎn)捷。
3.宋元全盛時(shí)期
唐朝亡后，五代十國(guó)仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù)，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國(guó)，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)［宋、元兩代］，籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮，碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》［11世紀(jì)中葉］，劉益的《議古根源》［12世紀(jì)中葉］，秦九韶的《數(shù)書九章》［1247］，李冶的《測(cè)圓海鏡》［1248］和《益古演段》［1259］，楊輝的《詳解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《楊輝算法》［1274-1275］，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》［1299］和《四元玉鑒》［1303］等等。 宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)，甚至是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有：
1. 高次方程數(shù)值解法；
2. 天元術(shù)與四元術(shù)，即高次方程的立法與解法，是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題；
3. 大衍求一術(shù)，即一次同余式組的解法，現(xiàn)在稱為中國(guó)剩余定理；
4. 招差術(shù)和垛積術(shù)，即高次內(nèi)插法和高階等差級(jí)數(shù)求和。 另外，其它成就包括勾股形解法新的發(fā)展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖［幻方］的研究、小數(shù)［十進(jìn)分?jǐn)?shù)］具體的應(yīng)用、珠算的出現(xiàn)等等。 這一時(shí)期民間數(shù)學(xué)教育也有一定的發(fā)展，以及中國(guó)和伊斯蘭國(guó)家之間的數(shù)學(xué)知識(shí)的交流也得到了發(fā)展。
4.西學(xué)輸入時(shí)期
這一時(shí)期從十四世紀(jì)中葉明王朝建立到二十世紀(jì)清代結(jié)束共500多年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面，當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問(wèn)題，不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。十六世紀(jì)末，西方初等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，使中國(guó)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后，近代高等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時(shí)期。直到十九世紀(jì)末，中國(guó)的近代數(shù)學(xué)研究才真正開(kāi)始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》［1592］問(wèn)世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。
隋及唐初，印度數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識(shí)曾傳入中國(guó)，但影響較細(xì)。到了十六世紀(jì)末，西方傳教士開(kāi)始到中國(guó)活動(dòng)，和中國(guó)學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷［1607］，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測(cè)量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國(guó)的勾股測(cè)望術(shù)。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前，三角學(xué)只有零星的知識(shí)，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測(cè)》［2卷，1631］、《割圓八線表》［6卷］和羅雅谷的《測(cè)量全義》［10卷，1631］。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》［137卷，1629-1633］中，介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識(shí)。
入清以后，會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」，對(duì)古代名著做了深入的研究，同時(shí)又能正確對(duì)待西方數(shù)學(xué)，使之在中國(guó)扎根，對(duì)清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛(ài)好科學(xué)研究，他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》［53卷，1723］，是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
干嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫(kù)全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作，為保存瀕于湮沒(méi)的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。
在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》［約1859］中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷［1795-1810］，開(kāi)數(shù)學(xué)史研究之先河。
1840年鴉戰(zhàn)爭(zhēng)后，閉關(guān)鎖國(guó)政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開(kāi)始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷［1857］，使中國(guó)有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷［1859］；《代微積拾級(jí)》18卷［1859］。李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說(shuō)》3卷，華蘅芳與英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷［1872］，《微積溯源》8卷［1874］，《決疑數(shù)學(xué)》10卷［1880］等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語(yǔ)，至今仍在應(yīng)用。 1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其它各國(guó)相仿。
5.近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期
這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間，常以1949年新中國(guó)成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。
中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。較早出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來(lái)［1915年轉(zhuǎn)留法］，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國(guó)后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國(guó)哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國(guó)數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國(guó)，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開(kāi)大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來(lái)分別在東南大學(xué)［今南京大學(xué)］和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來(lái)在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開(kāi)始招收研究生，陳省身、吳大任成為國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵［1927］、陳省身［1934］、華羅庚［1936］、許寶騄［1936］等人，他們都成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國(guó)數(shù)學(xué)家也有來(lái)華講學(xué)的，例如英國(guó)的羅素［1920］，美國(guó)的伯克霍夫［1934］、奧斯古德［1934］、維納［1935］，法國(guó)的阿達(dá)馬［1936］等人。1935年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開(kāi)，共有33名代表出席。1936年〈中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問(wèn)世，這些標(biāo)志著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。 解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國(guó)內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級(jí)數(shù)論，熊慶來(lái)的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開(kāi)創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外，李儼和錢寶琮開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究，他們?cè)诠潘闶妨系淖⑨屨砗涂甲C分析方面做了許多奠基性的工作，使我國(guó)的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。
1949年11月即成立中國(guó)科學(xué)院。1951年3月《中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊［1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》］，1951年10月《中國(guó)數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊［1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》］。1951年8月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)建國(guó)后第一次國(guó)代表大會(huì)，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問(wèn)題。
建國(guó)后的數(shù)學(xué)研究取得長(zhǎng)足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》［1953］、蘇步青的《射影曲線概論》［1954］、陳建功的《直角函數(shù)級(jí)數(shù)的和》［1954］和李儼的《中算史論叢》5集［1954-1955］等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬(wàn)余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時(shí)培養(yǎng)和成長(zhǎng)起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。
60年代后期，中國(guó)的數(shù)學(xué)研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對(duì)外交流中斷，后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版，并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》。1973年陳景潤(rùn)在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國(guó)數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過(guò)程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見(jiàn)。
1978年11月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)第三次代表大會(huì)，標(biāo)志著中國(guó)數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1985年中國(guó)開(kāi)始參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽。1981年陳景潤(rùn)等數(shù)學(xué)家獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)。1983年國(guó)家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位，其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國(guó)第一次派代表參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，加入國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)，吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來(lái)數(shù)學(xué)研究碩果累累，發(fā)表論文專著的數(shù)量成倍增長(zhǎng)，質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立50周年年會(huì)上，已確定中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力，爭(zhēng)取使中國(guó)在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國(guó)。
古代埃及數(shù)學(xué)（Ancient Egyptian Mathematics）
非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500～3000年間，這里曾建立了一個(gè)統(tǒng)一的帝國(guó)。
目前我們對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿梅斯（Ahmes）紙草書。阿梅斯紙草書的內(nèi)容相當(dāng)豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分?jǐn)?shù)的用法、試位法、求圓面積問(wèn)題的解和數(shù)學(xué)在許多實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
古埃及人使用象形文字，其數(shù)字以十進(jìn)制表示，但并非位值制，而分?jǐn)?shù)還有一套專門的記法。由埃及數(shù)系建立起來(lái)的算術(shù)具有加法特征，其乘、除法的計(jì)算也只是利用連續(xù)加倍的方法來(lái)完成。古埃及人將所有的分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)（分子為 1的分?jǐn)?shù)之和），在阿梅斯紙草書中，有很大一張分?jǐn)?shù)表，把2/(2n+1)狀分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如：2/5=1/3+1/15，2/7=1/4+1/28，…，2/97=1/56+1/679+
1/776，等等。
古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡(jiǎn)單的二次方程的問(wèn)題，還有一些關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識(shí)。
如果說(shuō)巴比倫人發(fā)展了卓越的算術(shù)和代數(shù)學(xué)，那么在另一方面，人們一般認(rèn)為埃及人在幾何學(xué)方面要?jiǎng)龠^(guò)巴比倫人。一種觀點(diǎn)認(rèn)為尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒(méi)河流兩岸的谷地。大水過(guò)后，法老要重新分配土地，長(zhǎng)期積累起來(lái)的土地測(cè)量知識(shí)逐漸發(fā)展為幾何學(xué)。
埃及人能夠計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積，計(jì)算出的圓周率為 3.16049；他們還知道如何計(jì)算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計(jì)算，他們給出的計(jì)算過(guò)程與現(xiàn)代的公式相符。
至于在建造金字塔和神殿過(guò)程中，大量運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的事實(shí)表明，埃及人已積累了許多實(shí)用知識(shí)，而有待于上升為系統(tǒng)的理論。
印度數(shù)學(xué)（Hindu mathematics）
印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其它古老民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生 的。但是，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展也有一個(gè)特殊的因素，便是它的數(shù)學(xué)和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上 佛教的交流和貿(mào)易的往來(lái)，印度數(shù)學(xué)和近東，特別是中國(guó)的數(shù)學(xué)便在互相融合，互相促進(jìn)中前進(jìn)。另外，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)有密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)作品大多刊載于天文學(xué)著作中的某些篇章。
《繩法經(jīng)》屬于古代婆羅門教的經(jīng)典，可能成書于公元前6世紀(jì)，是在數(shù)學(xué)史上有意義的宗教作品，其中講到拉繩設(shè)計(jì)祭壇時(shí)所體現(xiàn)到的幾何法則，并廣泛地應(yīng)用了勾股定理。
此后約1000年之中，由于缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少。
公元5-12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展時(shí)期，其成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位。在這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了一些著名的學(xué)者，如6世紀(jì)的阿利耶波多（第一）（ ryabhata），著有《阿利耶波多歷數(shù)書》；7世紀(jì)的婆羅摩笈多（Brahmagupta ），著有《婆羅摩笈多修訂體系》（Brahma-sphuta-sidd'h nta ），在這本天文學(xué)著作中，包括「算術(shù)講義」和「不定方程講義 」等數(shù)學(xué)章節(jié)；9世紀(jì)摩訶毗羅（Mah vira ）；12世紀(jì)的婆什迦羅（第二）（Bh skara ），著有《天文系統(tǒng)極致》（Siddh nta iromani ），有關(guān)數(shù)學(xué)的重要部份為《麗羅娃提》（Lil vati) ）和《算法本源》（V jaganita）等等。
在印度，整數(shù)的十進(jìn)制值制記數(shù)法產(chǎn)生于6世紀(jì)以前，用9個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈，再借助于位值制便可寫出任何數(shù)字。他們由此建立了算術(shù)運(yùn)算，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則；開(kāi)平方和開(kāi)立方的法則等。對(duì)于「零」，他們不單是把它看成「一無(wú)所有」或空位，還把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)來(lái)參加運(yùn)算，這是印度算術(shù)的一大貢獻(xiàn)。
印度人創(chuàng)造的這套數(shù)字和位值記數(shù)法在8世紀(jì)傳入伊斯蘭世界，被阿拉伯人采用并改進(jìn)。13世紀(jì)初經(jīng)斐波納契的《算盤書》 流傳到歐洲，逐漸演變成今天廣為利用的1，2，3，4，…，等等，稱為印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼。
印度對(duì)代數(shù)學(xué)做過(guò)重大的貢獻(xiàn)。他們用符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并用縮寫文字表示未知數(shù)。他們承認(rèn)負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)，對(duì)負(fù)數(shù)的四 則運(yùn)算法則有具體的描述，并意識(shí)到具有實(shí)解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足于對(duì)一個(gè)不定方程只求任何一個(gè)有理解，而致力于求所有可能的整數(shù)解。印度人還計(jì)算過(guò)算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù)的和，解決過(guò)單利 與復(fù)利、折扣以及合股之類的商業(yè)問(wèn)題。
印度人的幾何學(xué)是憑經(jīng)驗(yàn)的，他們不追求邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，只注重發(fā)展實(shí)用的方法，一般與測(cè)量相聯(lián)系，側(cè)重于面積、體積的計(jì)算。其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上他們?cè)谒阈g(shù)和代數(shù)方面的貢獻(xiàn)大。在三角學(xué)方面，印度人用半弦（即正弦）代替了希臘人的全弦， 制作正弦表，還證明了一些簡(jiǎn)單的三角恒等式等等。他們?cè)谌菍W(xué)所做的研究是十分重要的。
阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)［Arabic mathematics］
從九世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向阿拉伯和中亞細(xì)亞。
自從公元七世紀(jì)初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強(qiáng)大的勢(shì)力，迅速擴(kuò)展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內(nèi)，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，就是指用阿拉伯語(yǔ)研究的數(shù)學(xué)。
從八世紀(jì)起大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期，巴格達(dá)成為學(xué)術(shù)中心，建有科學(xué)宮、觀象臺(tái)、圖書館和一個(gè)學(xué)院。來(lái)自各地的學(xué)者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過(guò)程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證和增補(bǔ)，大量的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來(lái)文化的基礎(chǔ)上，迅速發(fā)展起來(lái)，直到15世紀(jì)還充滿活力。
花拉子米［Al-khowarizmi］是阿拉伯初期最主要的數(shù)學(xué)家，他編寫了第一本用阿拉伯語(yǔ)在伊斯蘭世界介紹印度數(shù)字和記數(shù)法的著作。公元十二世紀(jì)后，印度數(shù)字、十進(jìn)制值制記數(shù)法開(kāi)始傳入歐洲，又經(jīng)過(guò)幾百年的改革，這種數(shù)字成為我們今天使用的印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》［《代數(shù)學(xué)》］系統(tǒng)地討論了一元二次方程的解法，該種方程的求根公式便是在此書中第一次出現(xiàn)。現(xiàn)代”algebra”［代數(shù)學(xué)］一詞亦源于書名中出現(xiàn)的”al jabr”。
三角學(xué)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學(xué)有密切關(guān)系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了三角學(xué)。他們引進(jìn)了幾種新的三角量，揭示了它們的性質(zhì)和關(guān)系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學(xué)家有：阿爾．巴塔尼［Al-Battani］、阿卜爾．維法［Abu'l-Wefa］、阿爾．比魯尼［Al-Beruni］等。系統(tǒng)而完整地論述三角學(xué)的著作是由十三世紀(jì)的學(xué)者納西爾丁［Nasir ed-din］完成的，該著作使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，對(duì)三角學(xué)在歐洲的發(fā)展有很大的影響。
在近似計(jì)算方面，十五世紀(jì)的阿爾．卡西［Al-kashi］在他的《圓周論》中，敘述了圓周率π的計(jì)算方法，并得到精確到小數(shù)點(diǎn)后16位的圓周率，從而打破祖沖之保持了一千年的記錄。此外，阿爾．卡西在小數(shù)方面做過(guò)重要工作，亦是我們所知道的以「帕斯卡三角形」形式處理二項(xiàng)式定理的第一位阿拉伯學(xué)者。
阿拉伯幾何學(xué)的成就低于代數(shù)和三角。希臘幾何學(xué)嚴(yán)密的邏輯論證沒(méi)有被阿拉伯人接受。
總的來(lái)看，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)較缺少創(chuàng)造性，但當(dāng)時(shí)世界上大多數(shù)地方正處于科學(xué)上的貧瘠時(shí)期，其成績(jī)相對(duì)顯得較大，值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上大量精神財(cái)富的保存者，在黑暗時(shí)代過(guò)去后，這些精神財(cái)富才傳回歐洲。歐洲人主要就是通過(guò)他們的譯著才了解古希臘和印度以及中國(guó)數(shù)學(xué)的成就。
很難確切地說(shuō)數(shù)學(xué)發(fā)生在何時(shí)何地。
人類最初的數(shù)和形的觀念，可以遠(yuǎn)溯到舊石器時(shí)代，在這個(gè)時(shí)期的數(shù)十萬(wàn)年時(shí)間內(nèi)，人類那時(shí)還處在穴居狀態(tài)，生活和動(dòng)物相差不多。以后隨著人類為了生存，需要尋找賴以生存的食物，于是就有打漁和狩獵等活動(dòng)，在圍獵與生存的斗爭(zhēng)中，人類逐步發(fā)展了語(yǔ)言和早期的繪畫，這加強(qiáng)了人類的相互交往與聯(lián)絡(luò)感情，有了一些簡(jiǎn)單的思維形式，但在這樣一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期中，還沒(méi)有文字，庚談不上數(shù)學(xué)的概念。
直到距今大約一萬(wàn)年以前，當(dāng)時(shí)覆蓋在亞洲、歐洲的水源開(kāi)始融化，地球上出現(xiàn)了森林和沙漠，于是尋找生存的食物和游牧生活也就慢慢地結(jié)束了，漁人和獵人逐漸在土地上定居下來(lái)，成為原始的靠農(nóng)業(yè)生存的原始的農(nóng)人，在水草豐滿的牧區(qū)，當(dāng)然也招引了大批的游牧民，從事畜牧業(yè)成為早期的牧民，在沿海一帶，人類逐漸聚居，從事航運(yùn)和貿(mào)易的事業(yè)。人類的勞動(dòng)逐漸地形成了一些區(qū)分，從僅僅為生存而采集食物到主動(dòng)向自然界開(kāi)挖潛力，發(fā)展農(nóng)業(yè)、漁業(yè)、畜牧業(yè)和其它的各項(xiàng)生產(chǎn)，人類從此進(jìn)入了新石器時(shí)代。
游牧民族為了確定季節(jié)，首先需要從天象來(lái)找到答案，天文學(xué)就成為一種不可缺少的需要，而天文學(xué)只有借助數(shù)學(xué)才能發(fā)展。因?yàn)樘煳膶W(xué)是一門以科學(xué)方法研究日月星辰的學(xué)問(wèn)。數(shù)千年前，居住在現(xiàn)金伊拉克地方的人們深信，行星是法力高強(qiáng)的神祗，會(huì)主宰人的生活，認(rèn)為將他們?cè)谔炜罩羞\(yùn)行的情形卻是記錄下來(lái)，對(duì)人類生活關(guān)系非常重要，因此近乎狂熱地對(duì)天體進(jìn)行觀測(cè)，研究天文學(xué)。在我國(guó)由于農(nóng)業(yè)和畜牧業(yè)的發(fā)展需要，特別是農(nóng)作物的下種、收獲，需要通過(guò)天象觀測(cè)來(lái)制訂歷法，在世界上還從來(lái)沒(méi)有一個(gè)國(guó)家象我國(guó)那樣，從研究天文開(kāi)始，制訂了一百多種歷法，實(shí)際使用過(guò)的也有四十多種，而歷法的制訂，沒(méi)有數(shù)學(xué)的觀測(cè)計(jì)算是不行的。
因此，古代的巴比倫人和加爾底亞人以及居住在中國(guó)土地上的中國(guó)人，就產(chǎn)生了最早的天文學(xué)家、歷法家和數(shù)學(xué)家，在我國(guó)，不少歷法家實(shí)際上也是數(shù)學(xué)家，象劉徽、祖沖之等。
由于農(nóng)業(yè)、畜牧業(yè)、漁業(yè)等生產(chǎn)的發(fā)展，促進(jìn)了貿(mào)易的發(fā)展，于是商業(yè)自然產(chǎn)生，帶來(lái)了貨幣制度，計(jì)數(shù)、計(jì)量、進(jìn)位制，有了數(shù)字、計(jì)算工具與計(jì)算方法，算術(shù)就逐步形成。
恩格斯很概括地說(shuō)明了數(shù)學(xué)的起源：數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測(cè)量容積，從計(jì)算時(shí)間和制造器皿產(chǎn)生的。大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂(lè)稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的"危機(jī)"，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
到了公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無(wú)理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之卻可以由幾何量來(lái)表示出來(lái)，整數(shù)的權(quán)威地位開(kāi)始動(dòng)搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開(kāi)始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！
無(wú)窮小是零嗎——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
18世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的。
1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無(wú)窮小的問(wèn)題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量0，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)——先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒(méi)有增量。"他認(rèn)為無(wú)窮小dx既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的，直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無(wú)窮大概念不清楚，以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性，符號(hào)的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。
直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
悖論的產(chǎn)生---第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來(lái)看，還沒(méi)有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。
1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問(wèn)時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)："理發(fā)師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。
承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來(lái)了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。
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中國(guó)是世界文明古國(guó)之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。數(shù)學(xué)在中國(guó)的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。下面我們依歷史的發(fā)展，分段敘述。
1.先秦萌芽時(shí)期
黃河流域和長(zhǎng)江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產(chǎn)生了第一個(gè)奴隸制國(guó)家——夏朝。其后有商、殷兩代［約1500 B.C -1027 B.C］、及周朝［1027 B.C -221 B.C］。歷史上又稱公元前八世紀(jì)至秦王朝的建立［221 B.C］為春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期。
據(jù)《易．系辭》記載：「上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬(wàn)是專用的記數(shù)文字，共有13個(gè)獨(dú)立符號(hào)，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬(wàn)。
算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。
用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí)，采用十進(jìn)制值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間［法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬(wàn)、百相當(dāng)］，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。
籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國(guó)古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。
在幾何學(xué)方面《史記．夏本記》中說(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理［西方稱勾股定理］的特例。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊國(guó)人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包含了一些測(cè)量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識(shí)，例如角的概念。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長(zhǎng)也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如「至大無(wú)外謂之大一，至小無(wú)內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。
此外，講述陰陽(yáng)八卦，預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。
2.漢唐初創(chuàng)時(shí)期
這一時(shí)期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展，所經(jīng)歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。 秦漢是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期。為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。
西漢末年［公元前一世紀(jì)］編纂的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法，為后來(lái)重差術(shù)的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。
《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年［公元前一世紀(jì)］。全書采用問(wèn)題集的形式編寫，共收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等。在代數(shù)方面，《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對(duì)中國(guó)古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。 魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，對(duì)《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術(shù)》，不僅對(duì)原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，且在論述過(guò)程中多有創(chuàng)新，更撰寫《海島算經(jīng)》，應(yīng)用重差術(shù)解決有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題。劉徽其中一項(xiàng)重要的工作是創(chuàng)立割圓術(shù)，為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。
南北朝時(shí)期的社會(huì)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》就是這個(gè)時(shí)期的作品。《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問(wèn)題，導(dǎo)致求解一次同余組問(wèn)題；《張丘建算經(jīng)》的「百雞問(wèn)題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問(wèn)題。
祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時(shí)期最具代表性，他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們?cè)跀?shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就：(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖 日桓定理［冪勢(shì)既同，則積不容異］并得到球體積公式；(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。
隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是討論土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題。
唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長(zhǎng)足的發(fā)展。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》［包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》］，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對(duì)保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。
此外，隋唐時(shí)期由于歷法需要，創(chuàng)立出二次內(nèi)插法，為宋元時(shí)期的高次內(nèi)插法奠定了基礎(chǔ)。而唐朝后期的計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書，對(duì)于乘除算法力求簡(jiǎn)捷。
3.宋元全盛時(shí)期
唐朝亡后，五代十國(guó)仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù)，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國(guó)，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)［宋、元兩代］，籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮，碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》［11世紀(jì)中葉］，劉益的《議古根源》［12世紀(jì)中葉］，秦九韶的《數(shù)書九章》［1247］，李冶的《測(cè)圓海鏡》［1248］和《益古演段》［1259］，楊輝的《詳解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《楊輝算法》［1274-1275］，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》［1299］和《四元玉鑒》［1303］等等。 宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)，甚至是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有：
1. 高次方程數(shù)值解法；
2. 天元術(shù)與四元術(shù)，即高次方程的立法與解法，是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題；
3. 大衍求一術(shù)，即一次同余式組的解法，現(xiàn)在稱為中國(guó)剩余定理；
4. 招差術(shù)和垛積術(shù)，即高次內(nèi)插法和高階等差級(jí)數(shù)求和。 另外，其它成就包括勾股形解法新的發(fā)展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖［幻方］的研究、小數(shù)［十進(jìn)分?jǐn)?shù)］具體的應(yīng)用、珠算的出現(xiàn)等等。 這一時(shí)期民間數(shù)學(xué)教育也有一定的發(fā)展，以及中國(guó)和伊斯蘭國(guó)家之間的數(shù)學(xué)知識(shí)的交流也得到了發(fā)展。
4.西學(xué)輸入時(shí)期
這一時(shí)期從十四世紀(jì)中葉明王朝建立到二十世紀(jì)清代結(jié)束共500多年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面，當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問(wèn)題，不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。十六世紀(jì)末，西方初等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，使中國(guó)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后，近代高等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時(shí)期。直到十九世紀(jì)末，中國(guó)的近代數(shù)學(xué)研究才真正開(kāi)始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》［1592］問(wèn)世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。
隋及唐初，印度數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識(shí)曾傳入中國(guó)，但影響較細(xì)。到了十六世紀(jì)末，西方傳教士開(kāi)始到中國(guó)活動(dòng)，和中國(guó)學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷［1607］，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測(cè)量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國(guó)的勾股測(cè)望術(shù)。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前，三角學(xué)只有零星的知識(shí)，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測(cè)》［2卷，1631］、《割圓八線表》［6卷］和羅雅谷的《測(cè)量全義》［10卷，1631］。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》［137卷，1629-1633］中，介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識(shí)。
入清以后，會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」，對(duì)古代名著做了深入的研究，同時(shí)又能正確對(duì)待西方數(shù)學(xué)，使之在中國(guó)扎根，對(duì)清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛(ài)好科學(xué)研究，他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》［53卷，1723］，是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
干嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫(kù)全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作，為保存瀕于湮沒(méi)的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。
在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》［約1859］中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷［1795-1810］，開(kāi)數(shù)學(xué)史研究之先河。
1840年鴉戰(zhàn)爭(zhēng)后，閉關(guān)鎖國(guó)政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開(kāi)始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷［1857］，使中國(guó)有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷［1859］；《代微積拾級(jí)》18卷［1859］。李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說(shuō)》3卷，華蘅芳與英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷［1872］，《微積溯源》8卷［1874］，《決疑數(shù)學(xué)》10卷［1880］等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語(yǔ)，至今仍在應(yīng)用。 1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其它各國(guó)相仿。
5.近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期
這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間，常以1949年新中國(guó)成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。
中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。較早出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來(lái)［1915年轉(zhuǎn)留法］，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國(guó)后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國(guó)哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國(guó)數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國(guó)，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開(kāi)大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來(lái)分別在東南大學(xué)［今南京大學(xué)］和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來(lái)在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開(kāi)始招收研究生，陳省身、吳大任成為國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵［1927］、陳省身［1934］、華羅庚［1936］、許寶騄［1936］等人，他們都成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國(guó)數(shù)學(xué)家也有來(lái)華講學(xué)的，例如英國(guó)的羅素［1920］，美國(guó)的伯克霍夫［1934］、奧斯古德［1934］、維納［1935］，法國(guó)的阿達(dá)馬［1936］等人。1935年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開(kāi)，共有33名代表出席。1936年〈中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問(wèn)世，這些標(biāo)志著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。 解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國(guó)內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級(jí)數(shù)論，熊慶來(lái)的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開(kāi)創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外，李儼和錢寶琮開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究，他們?cè)诠潘闶妨系淖⑨屨砗涂甲C分析方面做了許多奠基性的工作，使我國(guó)的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。
1949年11月即成立中國(guó)科學(xué)院。1951年3月《中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊［1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》］，1951年10月《中國(guó)數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊［1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》］。1951年8月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)建國(guó)后第一次國(guó)代表大會(huì)，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問(wèn)題。
建國(guó)后的數(shù)學(xué)研究取得長(zhǎng)足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》［1953］、蘇步青的《射影曲線概論》［1954］、陳建功的《直角函數(shù)級(jí)數(shù)的和》［1954］和李儼的《中算史論叢》5集［1954-1955］等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬(wàn)余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時(shí)培養(yǎng)和成長(zhǎng)起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。
60年代后期，中國(guó)的數(shù)學(xué)研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對(duì)外交流中斷，后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版，并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》。1973年陳景潤(rùn)在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國(guó)數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過(guò)程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見(jiàn)。
1978年11月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)第三次代表大會(huì)，標(biāo)志著中國(guó)數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1985年中國(guó)開(kāi)始參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽。1981年陳景潤(rùn)等數(shù)學(xué)家獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)。1983年國(guó)家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位，其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國(guó)第一次派代表參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，加入國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)，吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來(lái)數(shù)學(xué)研究碩果累累，發(fā)表論文專著的數(shù)量成倍增長(zhǎng)，質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立50周年年會(huì)上，已確定中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力，爭(zhēng)取使中國(guó)在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國(guó)。
古代埃及數(shù)學(xué)（Ancient Egyptian Mathematics）
非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500～3000年間，這里曾建立了一個(gè)統(tǒng)一的帝國(guó)。
目前我們對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿梅斯（Ahmes）紙草書。阿梅斯紙草書的內(nèi)容相當(dāng)豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分?jǐn)?shù)的用法、試位法、求圓面積問(wèn)題的解和數(shù)學(xué)在許多實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。
古埃及人使用象形文字，其數(shù)字以十進(jìn)制表示，但并非位值制，而分?jǐn)?shù)還有一套專門的記法。由埃及數(shù)系建立起來(lái)的算術(shù)具有加法特征，其乘、除法的計(jì)算也只是利用連續(xù)加倍的方法來(lái)完成。古埃及人將所有的分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)（分子為 1的分?jǐn)?shù)之和），在阿梅斯紙草書中，有很大一張分?jǐn)?shù)表，把2/(2n+1)狀分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和，如：2/5=1/3+1/15，2/7=1/4+1/28，…，2/97=1/56+1/679+
1/776，等等。
古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡(jiǎn)單的二次方程的問(wèn)題，還有一些關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識(shí)。
如果說(shuō)巴比倫人發(fā)展了卓越的算術(shù)和代數(shù)學(xué)，那么在另一方面，人們一般認(rèn)為埃及人在幾何學(xué)方面要?jiǎng)龠^(guò)巴比倫人。一種觀點(diǎn)認(rèn)為尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒(méi)河流兩岸的谷地。大水過(guò)后，法老要重新分配土地，長(zhǎng)期積累起來(lái)的土地測(cè)量知識(shí)逐漸發(fā)展為幾何學(xué)。
埃及人能夠計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積，計(jì)算出的圓周率為 3.16049；他們還知道如何計(jì)算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計(jì)算，他們給出的計(jì)算過(guò)程與現(xiàn)代的公式相符。
至于在建造金字塔和神殿過(guò)程中，大量運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的事實(shí)表明，埃及人已積累了許多實(shí)用知識(shí)，而有待于上升為系統(tǒng)的理論。
印度數(shù)學(xué)（Hindu mathematics）
印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其它古老民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生 的。但是，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展也有一個(gè)特殊的因素，便是它的數(shù)學(xué)和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上 佛教的交流和貿(mào)易的往來(lái)，印度數(shù)學(xué)和近東，特別是中國(guó)的數(shù)學(xué)便在互相融合，互相促進(jìn)中前進(jìn)。另外，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)有密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)作品大多刊載于天文學(xué)著作中的某些篇章。
《繩法經(jīng)》屬于古代婆羅門教的經(jīng)典，可能成書于公元前6世紀(jì)，是在數(shù)學(xué)史上有意義的宗教作品，其中講到拉繩設(shè)計(jì)祭壇時(shí)所體現(xiàn)到的幾何法則，并廣泛地應(yīng)用了勾股定理。
此后約1000年之中，由于缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少。
公元5-12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展時(shí)期，其成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位。在這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了一些著名的學(xué)者，如6世紀(jì)的阿利耶波多（第一）（ ryabhata），著有《阿利耶波多歷數(shù)書》；7世紀(jì)的婆羅摩笈多（Brahmagupta ），著有《婆羅摩笈多修訂體系》（Brahma-sphuta-sidd'h nta ），在這本天文學(xué)著作中，包括「算術(shù)講義」和「不定方程講義 」等數(shù)學(xué)章節(jié)；9世紀(jì)摩訶毗羅（Mah vira ）；12世紀(jì)的婆什迦羅（第二）（Bh skara ），著有《天文系統(tǒng)極致》（Siddh nta iromani ），有關(guān)數(shù)學(xué)的重要部份為《麗羅娃提》（Lil vati) ）和《算法本源》（V jaganita）等等。
在印度，整數(shù)的十進(jìn)制值制記數(shù)法產(chǎn)生于6世紀(jì)以前，用9個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈，再借助于位值制便可寫出任何數(shù)字。他們由此建立了算術(shù)運(yùn)算，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則；開(kāi)平方和開(kāi)立方的法則等。對(duì)于「零」，他們不單是把它看成「一無(wú)所有」或空位，還把它當(dāng)作一個(gè)數(shù)來(lái)參加運(yùn)算，這是印度算術(shù)的一大貢獻(xiàn)。
印度人創(chuàng)造的這套數(shù)字和位值記數(shù)法在8世紀(jì)傳入伊斯蘭世界，被阿拉伯人采用并改進(jìn)。13世紀(jì)初經(jīng)斐波納契的《算盤書》 流傳到歐洲，逐漸演變成今天廣為利用的1，2，3，4，…，等等，稱為印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼。
印度對(duì)代數(shù)學(xué)做過(guò)重大的貢獻(xiàn)。他們用符號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，并用縮寫文字表示未知數(shù)。他們承認(rèn)負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)，對(duì)負(fù)數(shù)的四 則運(yùn)算法則有具體的描述，并意識(shí)到具有實(shí)解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足于對(duì)一個(gè)不定方程只求任何一個(gè)有理解，而致力于求所有可能的整數(shù)解。印度人還計(jì)算過(guò)算術(shù)級(jí)數(shù)和幾何級(jí)數(shù)的和，解決過(guò)單利 與復(fù)利、折扣以及合股之類的商業(yè)問(wèn)題。
印度人的幾何學(xué)是憑經(jīng)驗(yàn)的，他們不追求邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，只注重發(fā)展實(shí)用的方法，一般與測(cè)量相聯(lián)系，側(cè)重于面積、體積的計(jì)算。其貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上他們?cè)谒阈g(shù)和代數(shù)方面的貢獻(xiàn)大。在三角學(xué)方面，印度人用半弦（即正弦）代替了希臘人的全弦， 制作正弦表，還證明了一些簡(jiǎn)單的三角恒等式等等。他們?cè)谌菍W(xué)所做的研究是十分重要的。
阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)［Arabic mathematics］
從九世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向阿拉伯和中亞細(xì)亞。
自從公元七世紀(jì)初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強(qiáng)大的勢(shì)力，迅速擴(kuò)展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內(nèi)，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，就是指用阿拉伯語(yǔ)研究的數(shù)學(xué)。
從八世紀(jì)起大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期，巴格達(dá)成為學(xué)術(shù)中心，建有科學(xué)宮、觀象臺(tái)、圖書館和一個(gè)學(xué)院。來(lái)自各地的學(xué)者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過(guò)程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證和增補(bǔ)，大量的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來(lái)文化的基礎(chǔ)上，迅速發(fā)展起來(lái)，直到15世紀(jì)還充滿活力。
花拉子米［Al-khowarizmi］是阿拉伯初期最主要的數(shù)學(xué)家，他編寫了第一本用阿拉伯語(yǔ)在伊斯蘭世界介紹印度數(shù)字和記數(shù)法的著作。公元十二世紀(jì)后，印度數(shù)字、十進(jìn)制值制記數(shù)法開(kāi)始傳入歐洲，又經(jīng)過(guò)幾百年的改革，這種數(shù)字成為我們今天使用的印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》［《代數(shù)學(xué)》］系統(tǒng)地討論了一元二次方程的解法，該種方程的求根公式便是在此書中第一次出現(xiàn)。現(xiàn)代”algebra”［代數(shù)學(xué)］一詞亦源于書名中出現(xiàn)的”al jabr”。
三角學(xué)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學(xué)有密切關(guān)系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了三角學(xué)。他們引進(jìn)了幾種新的三角量，揭示了它們的性質(zhì)和關(guān)系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學(xué)家有：阿爾．巴塔尼［Al-Battani］、阿卜爾．維法［Abu'l-Wefa］、阿爾．比魯尼［Al-Beruni］等。系統(tǒng)而完整地論述三角學(xué)的著作是由十三世紀(jì)的學(xué)者納西爾丁［Nasir ed-din］完成的，該著作使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，對(duì)三角學(xué)在歐洲的發(fā)展有很大的影響。
在近似計(jì)算方面，十五世紀(jì)的阿爾．卡西［Al-kashi］在他的《圓周論》中，敘述了圓周率π的計(jì)算方法，并得到精確到小數(shù)點(diǎn)后16位的圓周率，從而打破祖沖之保持了一千年的記錄。此外，阿爾．卡西在小數(shù)方面做過(guò)重要工作，亦是我們所知道的以「帕斯卡三角形」形式處理二項(xiàng)式定理的第一位阿拉伯學(xué)者。
阿拉伯幾何學(xué)的成就低于代數(shù)和三角。希臘幾何學(xué)嚴(yán)密的邏輯論證沒(méi)有被阿拉伯人接受。
總的來(lái)看，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)較缺少創(chuàng)造性，但當(dāng)時(shí)世界上大多數(shù)地方正處于科學(xué)上的貧瘠時(shí)期，其成績(jī)相對(duì)顯得較大，值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上大量精神財(cái)富的保存者，在黑暗時(shí)代過(guò)去后，這些精神財(cái)富才傳回歐洲。歐洲人主要就是通過(guò)他們的譯著才了解古希臘和印度以及中國(guó)數(shù)學(xué)的成就。
很難確切地說(shuō)數(shù)學(xué)發(fā)生在何時(shí)何地。
人類最初的數(shù)和形的觀念，可以遠(yuǎn)溯到舊石器時(shí)代，在這個(gè)時(shí)期的數(shù)十萬(wàn)年時(shí)間內(nèi)，人類那時(shí)還處在穴居狀態(tài)，生活和動(dòng)物相差不多。以后隨著人類為了生存，需要尋找賴以生存的食物，于是就有打漁和狩獵等活動(dòng)，在圍獵與生存的斗爭(zhēng)中，人類逐步發(fā)展了語(yǔ)言和早期的繪畫，這加強(qiáng)了人類的相互交往與聯(lián)絡(luò)感情，有了一些簡(jiǎn)單的思維形式，但在這樣一個(gè)漫長(zhǎng)的時(shí)期中，還沒(méi)有文字，庚談不上數(shù)學(xué)的概念。
直到距今大約一萬(wàn)年以前，當(dāng)時(shí)覆蓋在亞洲、歐洲的水源開(kāi)始融化，地球上出現(xiàn)了森林和沙漠，于是尋找生存的食物和游牧生活也就慢慢地結(jié)束了，漁人和獵人逐漸在土地上定居下來(lái)，成為原始的靠農(nóng)業(yè)生存的原始的農(nóng)人，在水草豐滿的牧區(qū)，當(dāng)然也招引了大批的游牧民，從事畜牧業(yè)成為早期的牧民，在沿海一帶，人類逐漸聚居，從事航運(yùn)和貿(mào)易的事業(yè)。人類的勞動(dòng)逐漸地形成了一些區(qū)分，從僅僅為生存而采集食物到主動(dòng)向自然界開(kāi)挖潛力，發(fā)展農(nóng)業(yè)、漁業(yè)、畜牧業(yè)和其它的各項(xiàng)生產(chǎn)，人類從此進(jìn)入了新石器時(shí)代。
游牧民族為了確定季節(jié)，首先需要從天象來(lái)找到答案，天文學(xué)就成為一種不可缺少的需要，而天文學(xué)只有借助數(shù)學(xué)才能發(fā)展。因?yàn)樘煳膶W(xué)是一門以科學(xué)方法研究日月星辰的學(xué)問(wèn)。數(shù)千年前，居住在現(xiàn)金伊拉克地方的人們深信，行星是法力高強(qiáng)的神祗，會(huì)主宰人的生活，認(rèn)為將他們?cè)谔炜罩羞\(yùn)行的情形卻是記錄下來(lái)，對(duì)人類生活關(guān)系非常重要，因此近乎狂熱地對(duì)天體進(jìn)行觀測(cè)，研究天文學(xué)。在我國(guó)由于農(nóng)業(yè)和畜牧業(yè)的發(fā)展需要，特別是農(nóng)作物的下種、收獲，需要通過(guò)天象觀測(cè)來(lái)制訂歷法，在世界上還從來(lái)沒(méi)有一個(gè)國(guó)家象我國(guó)那樣，從研究天文開(kāi)始，制訂了一百多種歷法，實(shí)際使用過(guò)的也有四十多種，而歷法的制訂，沒(méi)有數(shù)學(xué)的觀測(cè)計(jì)算是不行的。
因此，古代的巴比倫人和加爾底亞人以及居住在中國(guó)土地上的中國(guó)人，就產(chǎn)生了最早的天文學(xué)家、歷法家和數(shù)學(xué)家，在我國(guó)，不少歷法家實(shí)際上也是數(shù)學(xué)家，象劉徽、祖沖之等。
由于農(nóng)業(yè)、畜牧業(yè)、漁業(yè)等生產(chǎn)的發(fā)展，促進(jìn)了貿(mào)易的發(fā)展，于是商業(yè)自然產(chǎn)生，帶來(lái)了貨幣制度，計(jì)數(shù)、計(jì)量、進(jìn)位制，有了數(shù)字、計(jì)算工具與計(jì)算方法，算術(shù)就逐步形成。
恩格斯很概括地說(shuō)明了數(shù)學(xué)的起源：數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測(cè)量容積，從計(jì)算時(shí)間和制造器皿產(chǎn)生的。大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文、音樂(lè)稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形，如直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的"危機(jī)"，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
到了公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無(wú)理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微妙之處。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之卻可以由幾何量來(lái)表示出來(lái)，整數(shù)的權(quán)威地位開(kāi)始動(dòng)搖，而幾何學(xué)的身份升高了。危機(jī)也表明，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開(kāi)始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上的一次巨大革命！
無(wú)窮小是零嗎——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
18世紀(jì)，微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的。
1734年，英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無(wú)窮小的問(wèn)題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量0，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)——先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒(méi)有增量。"他認(rèn)為無(wú)窮小dx既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無(wú)窮小量究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論。導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的，直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無(wú)窮大概念不清楚，以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性，符號(hào)的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。
直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
悖論的產(chǎn)生---第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，到現(xiàn)在，從整體來(lái)看，還沒(méi)有解決到令人滿意的程度。這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支，并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑。
1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論。兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論。1902年，羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問(wèn)時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)："理發(fā)師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。
承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來(lái)了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。
請(qǐng)問(wèn)有人知道些有關(guān)數(shù)學(xué)歷史嗎?
宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué),甚至是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有: 1. 高次方程數(shù)值解法; 2. 天元術(shù)與四元術(shù),即高次方程的立法與解法,是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào),并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題; 3. 大衍求一術(shù),即一次同余式組的解法,現(xiàn)在稱為中國(guó)剩余定理; 4. 招差術(shù)和垛積...
關(guān)于數(shù)學(xué)的小故事
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數(shù)學(xué)的歷史
春秋戰(zhàn)國(guó)之際,籌算已得到普遍的應(yīng)用,籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制,這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用,在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的...
中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成學(xué)科出現(xiàn)在哪個(gè)朝代?他比世界上其他國(guó)家早出現(xiàn)多少年...
公元1248年,李冶(李治,公元1192一1279年)著的《測(cè)圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作,這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。在《測(cè)圓海鏡?序》中,李冶批判了輕視科學(xué)實(shí)踐,以數(shù)學(xué)為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。 公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”...
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教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人,覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾個(gè)小猢猻讀書,真是大材小用。而他又有些偏見(jiàn):窮人的孩子天生都是笨蛋,教這些蠢笨的孩子念書不必認(rèn)真,如果有機(jī)會(huì)還應(yīng)該處罰他們,使自己在這枯燥的生活里添一些樂(lè)趣。這一天正是數(shù)學(xué)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔,心里畏縮起來(lái),知道老師...
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知道大有可為答主 回答量:1萬(wàn) 采納率:0% 幫助的人:3657萬(wàn) 我也去答題訪問(wèn)個(gè)人頁(yè) 關(guān)注 展開(kāi)全部 中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史 中國(guó)古代是一個(gè)在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國(guó)家,用近代科目來(lái)分類的話,可以看出無(wú)論在算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角各方而都十分發(fā)達(dá)。現(xiàn)在就讓我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國(guó)發(fā)展的歷史。 (一)屬...
大家給我講幾個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)故事,通俗點(diǎn)的
華羅庚雖然聰明過(guò)人,但從不提及自己的天分,而把比聰明重要得多的“勤奮”與“積累”作為成功的鑰匙,反復(fù)教育年青人,要他們學(xué)數(shù)學(xué)做到“拳不離手,曲不離口”,經(jīng)常鍛煉自己。50年代中期,針對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究所有些青年,做出一些成果后,產(chǎn)生自滿情緒,或在同一水平上不斷寫論文的傾問(wèn),華羅庚及時(shí)提出:“要有速度,還要有...
十個(gè)數(shù)學(xué)家的故事 50個(gè)字
7、哥德巴赫是一個(gè)德國(guó)數(shù)學(xué)家，生于1690年，從1725年起當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。在彼得堡，哥德巴赫結(jié)識(shí)了大數(shù)學(xué)家歐拉，兩人書信交往達(dá)30多年。他有一個(gè)著名的猜想，就是在和歐拉的通信中提出來(lái)的。這成為數(shù)學(xué)史上一則膾炙人口的佳話。8、高斯在上小學(xué)時(shí)，小學(xué)老師對(duì)學(xué)生很不負(fù)責(zé)任。這天，老師讓...
數(shù)學(xué)小故事
當(dāng)時(shí),羅馬帝國(guó)有一位學(xué)者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個(gè)符號(hào)。他發(fā)現(xiàn),有了“0”,進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算方便極了,還把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹。 這件事被當(dāng)時(shí)的羅馬教皇知道了。教皇非常惱怒,他斥責(zé)說(shuō),神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的,在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒(méi)有“0”這個(gè)怪物,于是下令,把這位學(xué)者抓了起來(lái),用夾子把他...
相關(guān)評(píng)說(shuō)：
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 最初的數(shù)學(xué)是古人為了記住一些物體的數(shù)量用一堅(jiān)一堅(jiān)來(lái)表示的
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 隨著人類社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展及人類社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)的頻繁發(fā)生,大約在公元前3000年左右,在四大文明古國(guó)—巴比倫、埃及、中國(guó)、印度出現(xiàn)了數(shù)學(xué)的萌芽.這是人類建立最基本的數(shù)學(xué)概念的時(shí)期,人類從數(shù)數(shù)開(kāi)始逐漸建立了自然數(shù)的概念、...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 發(fā)展史 世界數(shù)學(xué)發(fā)展史 數(shù)學(xué),起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng),為中國(guó)古代六藝之一,亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn).數(shù)學(xué)的希臘語(yǔ)Μαθηματικ? mathematikós)意思是“學(xué)問(wèn)的基礎(chǔ)...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史 中國(guó)古代是一個(gè)在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國(guó)家,用近代科目來(lái)分類的話,可以看出無(wú)論在算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角各方而都十分發(fā)達(dá).現(xiàn)在就讓我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國(guó)發(fā)展的歷史. (一)屬于算術(shù)方面的材料 大約在...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 數(shù)學(xué)的起源 埃及是數(shù)學(xué)的古國(guó), 被人們認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早國(guó)家之一.因此,在研究數(shù)學(xué)歷史的時(shí)候,必須提及埃及的數(shù)學(xué). 埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會(huì)背景 埃及位于尼羅河岸,在古代分為兩個(gè)王國(guó),把夾在兩個(gè)高原中間的狹長(zhǎng)谷地叫 做上埃及,...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 泊松光斑的故事知道吧,泊松算大數(shù)學(xué)家吧 法國(guó)著名物理學(xué)家菲涅耳(A.J.Fresnel 1788—1827)是光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)的先驅(qū),他以高超的實(shí)驗(yàn)技巧和杰出的數(shù)學(xué)才能,建立了光的衍射實(shí)驗(yàn)和理論,從而穩(wěn)固地確立了光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)在物理學(xué)史上...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 第一位:祖沖之祖沖之(公元429年一公元500年)是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家,科學(xué)家,南北朝時(shí)期人,漢族人,字文遠(yuǎn),生于宋文帝元嘉六年,辛于齊昏侯永元二年.祖籍范陽(yáng)郡道縣(今河北淶水縣),為避戰(zhàn)亂,祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 祖沖之,圓周率
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 一、數(shù)學(xué)的起源 1、記數(shù)的開(kāi)始 如同古代世界的許多偉人一樣,數(shù)學(xué)史上的先驅(qū)人物也消失在歷史的迷霧中.然而,數(shù)學(xué)每前進(jìn)一步,都伴隨著人類文明的一次進(jìn)步.億萬(wàn)年前,那些居住在巖洞里的人就有了數(shù)的概念,在為數(shù)不多的事物中間...
昔陽(yáng)縣細(xì)牙： ______ 畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參加一位富有政要的餐會(huì),這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚,由于大餐遲遲不上桌,這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言;這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形磁磚,但畢...
