二階常系數(shù)線性微分方程的通解是什么？
較常用的幾個：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
通解
1、兩個不相等的實根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2、兩根相等的實根：y=(C1+C2x)e^(r1x)
3、一對共軛復根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
擴展資料：
標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
解法
通解=非齊次方程特解+齊次方程通解
對二階常系數(shù)線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x) 的特解y*具有形式
y*= 其中Q(x)是與p(x)同次的多項式，k按α不是特征根、是單特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.
將y*代入方程，比較方程兩邊x的同次冪的系數(shù)（待定系數(shù)法），就可確定出Q(x)的系數(shù)而得特解y*。
多項式法：
設常系數(shù)線性微分方程y''+py'+qy =pm (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常數(shù)，pm(x)是x的m次多項式，令y=ze^(λz) 。
則方程可化為：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，這里F(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特征多項式。
升階法：
設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，當f(x)為多項式時，設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此時，方程兩邊同時對x求導n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此時，y^(n+2)=y^(n+1)=0。
參考資料：百度百科——二階常系數(shù)線性微分方程
解：舉例子，微分方程為xy"+(x+4)y'+3y=4x+4，假設微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解為y=xʳ，將特解帶入方程，有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0，r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0，(r²+3r)+(r+3)x=0，(r+3)(r+x)=0，得：r=-3，則微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解為y=x⁻³，再設微分方程的通解為y=x⁻³u，有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0，x²u"+(x²-2x)u'=0，u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0，(u'eˣ/x²)'=0，u'eˣ/x²=a(a為任意常數(shù))，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(為任意常數(shù))，微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解為y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c為任意常數(shù))；設原微分方程的特解為y=px+q，有p(x+4)+3(px+q)=4x+4，4px+4p+3q=4x+4，有4p=4，4p+3q=4，得：p=1，q=0，微分方程的特解為y=x，通解為y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x
如何求二階線性常系數(shù)微分方程的通解
較常用的幾個：1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 二階常系數(shù)線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數(shù)。自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連...
二階常系數(shù)線性微分方程的通解是什么?
二階非齊次線性微分方程的通解如下：y1,y2,y3是二階微分方程的三個解，則：y2-y1,y3-y1為該方程的兩個線性無關解，因此通解為：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。方程通解為：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。二階常系數(shù)線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數(shù)...
高等數(shù)學小練習題:求二階線性常系數(shù)微分方程的通解
對于微分方程 y''-5y'+6y = 4, 得特解 y = 2\/3;對于微分方程 y''-5y'+6y = -3e^(2x), λ=2 是單特征值，則 特解形式應設為 y = axe^(2x)，代入微分方程得 a = 3， 則特解是 y = 3xe^(2x)。于是 原微分方程的通解是 y = Ae^(2x) + Be^(3x) + 2\/3 +...
什么是常微分方程的特征方程和通解
二階常系數(shù)齊次線性方程的形式為： y "+ py + qy =0其中 p , q 為常數(shù)，其特征方程為入^2+ p 入＋ q =0依據(jù)判別式的符號，其通解有三種形式：1、 A = p ^2-4q>0，特征方程有兩個相異實根入1，入2，通解的形式為 y ( x )=C1*( e ^(A1* x )]+C2*( e ^(A2* x )]...
微分方程的解一般是怎么得到的?
則可推出C=1，而可知 y=-\\cos x+1。一階線性常微分方程 對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數(shù)變易法：對于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后將這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。二階常系數(shù)齊次常微分方程 對于二階常系數(shù)齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的...
二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程是什么?
二階齊次微分方程的通解是：y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。二階常系數(shù)齊次線性微分方程一般形式為：y"+py’+qy=0 ，其中p，q為常數(shù)。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2) ，得一代數(shù)方程：r2+pr+q=0，這方程稱為微分方程的特征方程，按特征根的情況，可直接寫出方程...
二階常系數(shù)齊次線性微分方程特解是怎么得到的
二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為：y'' + py' + qy = 0，其中p和q是常數(shù)。為了解這樣的方程，首先需要找到其特征方程：r^2 + pr + q = 0。特征方程的解有三種情況：1. 若特征方程有兩個不相等的實根r1和r2，則方程的通解為：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)。2. 若特征方程有...
線性常系數(shù)微分方程的通解是什么?
線性常系數(shù)微分方程介紹如下：常系數(shù)線性齊次微分方程y"+y=0的通解為：y=（C1+C2 x）ex 故 r1=r2=1為其特征方程的重根，且其特征方程為 （r-1）2=r2-2r+1 故 a=-2，b=1 對于非齊次微分方程為y″-2y′+y=x 設其特解為 y*=Ax+B 代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x...
二階常系數(shù)齊次線性微分方程怎么解?
二階微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是實常數(shù)。自由項f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。若函數(shù)y1和y2之比為常數(shù)，稱y1和y2是線性相關的。若函數(shù)y1和y2之比不為常數(shù)，稱y1和y2是線性無關的。特征方程為：λ^2+p...
一階微分方程的通解是什么意思?
一階微分方程的通解是指該微分方程的一組解，其中包含了所有可能的解。通解通常由一個或多個特解組成，這些特解是滿足微分方程的特定解。對于一階常微分方程，其形式通常為 dy\/dx = f(x, y)，其中 f(x, y) 是一個已知的函數(shù)。通解的求解通常涉及到找到一個特定的函數(shù) y(x)，使得該函數(shù)滿足...
相關評說：
湖南省外螺： ______ y'' - 2y' + 5y = 0, 設y = e^[f(x)],則 y' = e^[f(x)]*f'(x), y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x). 0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)], 0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5, 當f(x) = ax + b, a,b是常數(shù)時. f''(x) = 0, f'(x) = a. 0 = a^2 - 2a ...
湖南省外螺： ______[答案] 方法一:可以先求對應齊次方程的通解,可以求特征值求出其通解. 然后再常數(shù)變異. 方法二:根據(jù)二階線性微分方程的解的結構,可以由待定系數(shù)法求出其線性無關的特解,然后寫出他們的線性組合即為通解.
湖南省外螺： ______ y''-5y'+6y=0 ------ 一種做法:根據(jù)通解的結構,可知它是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解,2與3是特征方程的根,所以特征方程是(r-2)(r-3)=0,即r^2-5r+6=0,所以微分方程是y''-5y'+6y=0. 常規(guī)的做法是:通解中含有兩個取值獨立的常數(shù),所以以此作為通解的微分方程是二階的,所以微分方程中一定含有y'',求導: y=C1e^(2x)+C2e^(3x),y'=2C1e^(2x)+3C2e^(3x),y''=4C1e^(2x)+9C2e^(3x). 利用y與y'消去y''中的C1與C2,得y''-5y'+6y=0.
湖南省外螺： ______ 驗證是解,只需要把y1和y2分別代入方程即可,y1=e^(x2) y1'=2x·e^(x2) y1''=(2+4x2)·e^(x2) 代入滿足微分方程,同理,y2代入也可滿足微分方程.∴y1、y2都是微分方程的解,微分方程的通解為 y=C1·y1+C2·y2=(C1+C2·x)·e^(x2)
湖南省外螺： ______ 特征根為r=1, -1, 即是y1,y2項,而特解為y3項 因此通解為y=C1e^x+C2e^(-x)+x^2
湖南省外螺： ______[答案] 令p=y' pp'+Ap+By+C=0 變成了p關于自變量y的微分方程 p'+A=-(By+C)/p 變成一階微分方程 解出他,然后帶回變量到y(tǒng)關于x的函數(shù)即可 通解應該是y=(c1+c2x)(e^x)
湖南省外螺： ______[答案] 將特解y=ex+(1+x)e-x代入原方程得: ex+(x-1)e-x+α(ex-xe-x)+β[ex+(1+x)e-x]=γe-x 即:[(β-γ-1)+(-α+β+1)x]e-x+(1+α+β)ex=0 ∴ ?α+β+1=0β?γ?1=0α+β+1=0 解得:α=0,β=-1,γ=-2 所以,原方程為:y″-y=-2e-x, 其特征方程為:r2-1=0 解得:r1=...
湖南省外螺： ______[答案] 缺條件,至少要有三個線性無關的特解才可以!
湖南省外螺： ______[答案] 同濟六版的高等數(shù)學微分方程常考內容: 1.一階二階常系數(shù)線性微分方程通解的一般解法 2.常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法 3.高階線性微分方程
